Probabilidad y Estadística

Transcripción

1 Probabilidad y Estadística Tema 8 Distribución normal estándar y distribuciones relacionadas Objetivo de aprendizaje del tema Al finalizar el tema serás capaz de: Explicar los conceptos de la distribución normal estándar en el ámbito de poblaciones no finitas. Aplicar la distribución normal estándar en problemas con poblaciones no finitas.

2 Introducción al tema El proceso de calidad Seis Sigma está basado en la distribución normal estándar. Dicha distribución de probabilidad es una de las más importantes pues describe el comportamiento de varios fenómenos naturales, sociales, psicológicos y de los procesos como el de manufactura en las plantas de producción. Introducción al tema Qué características tiene los procesos que siguen la distribución normal estándar?, cuál es su utilidad práctica?, qué tipo de problemas podemos resolver con ella? Durante este tema, conocerás la distribución de probabilidad normal estándar y algunas de las distribuciones relacionadas.

3 Distribución de Probabilidad Normal La curva normal tiene forma de campana y presenta un solo pico en el centro de la distribución. La media aritmética, la mediana y la moda de la distribución son iguales en el punto central. La distribución probabilística normal es simétrica respecto a su media. La mitad del área bajo la curva se halla por encima del valor central y la otra mitad se halla por abajo del valor central. La curva normal es asintótica en ambas direcciones. Distribución de Probabilidad Normal Gráficamente, la distribución de probabilidad normal se describe como: La curva es simétrica Extremidad o cola Extremidad o cola En teoría, se extiende hasta - Media, mediana y moda En teoría, se extiende hasta +

4 Distribución de Probabilidad Normal En una población normal: % de los puntos están a una distancia de +-1 desviación estándar de la media % de los puntos están a una distancia de +-2 desviaciones estándar de la media % de los puntos están a una distancia de +-3 desviaciones estándar de la media % de los puntos están a una distancia de +-6 desviaciones estándar de la media. Si tomamos un elemento, tenemos 68.25% de posibilidades de que sea un elemento que está en promedio entre más y menos una desviación estándar con respecto a la media. Distribución de Probabilidad Normal Una prueba de duración de pilas alcalinas reveló que la duración media antes de que falle es de 19 horas, con una desviación estándar de 1.2 horas, si se distribuye de forma normal entonces: Aproximadamente el 99.73% de las baterías falló entre 15.5 horas y 22.6 horas (más menos tres desviaciones estándar) Aproximadamente el 68.25% de las baterías falló entre 17.8 horas y 20.2 horas (más menos una desviación estándar) Aproximadamente el 95.45% de las baterías falló entre 16.6 horas y 21.4 horas (más menos dos desviaciones estándar)

5 Distribución de Probabilidad Normal Estándar Distribución Normal Estándar: Elemento de la familia de distribuciones normales con media igual a 0 y desviación estándar igual a 1. Cada distribución normal estándar tiene una media y una desviación estándar diferente. Se utiliza un elemento de la familia de distribuciones normales para todos los casos donde la distribución normal resulte aplicable. El número de distribuciones normales es ilimitado. Distribución de Probabilidad Normal Estándar El valor Z (o desvío normal): Es la diferencia entre un valor seleccionado, denotado por X y la media poblacional, dividida entre la desviación estándar de la población: Matemáticamente, se expresa:

6 Distribución de Probabilidad Normal Estándar En una empresa de consultoría se está evaluando el esquema de compensaciones de los programadores. El estudio revela la siguiente información: El sueldo promedio de un programador es de 1,000 pesos diarios. La desviación estándar es de 100 pesos diarios. Cuál es la probabilidad un programador seleccionado al azar obtenga un sueldo entre 790 y 1000 pesos diarios? Distribución de Probabilidad Normal Estándar Primeramente calculamos el valor de Z para 790. Dado que la curva es simétrica, podemos obtener el valor de Z = 2.10 de la tabla de la distribución normal estándar:

7 Distribución de Probabilidad Normal Estándar El valor de Z = 2.10 es de , gráficamente: Z = 0 Lo anterior nos dice que existe una probabilidad del 48.21% de que un programador seleccionado al azar obtenga un sueldo entre 790 y 1000 pesos semanales. 2.1 Aproximación de Normal a Binomial En la distribución de probabilidad binomial pueden construirse tablas de distribución parecidas a la tabla de distribución normal. La distribución binomial, al aumentar el tamaño de la muestra, se acerca a una distribución de probabilidad normal. La distribución exponencial es el equivalente continuo de la distribución geométrica discreta.

8 Aproximación de Normal a Binomial En una pizzería, el 70% de sus clientes nuevos vuelven una segunda ocasión. En una semana en la que 80 clientes nuevos cenaron en el establecimiento, cuál es la probabilidad de que regresen 60 o más en otra ocasión? Debido a que estamos aproximando una distribución discreta a una distribución continua, es necesario hacer un ajuste llamado factor de corrección de continuidad. Esto obliga a restar 0.5 al valor que estamos buscando, es decir, = Aproximación de Normal a Binomial Consideremos lo siguiente: Obtenemos el valor de Z para 60 clientes:

9 Aproximación de Normal a Binomial Obtenemos el valor del área bajo la curva para Z = 0.85: Debido a que buscamos la probabilidad de que regresen 60 o más clientes, lo que nos interesa es el valor de la probabilidad del z = 0.85 en adelante. Aproximación de Normal a Binomial También sabemos que el área bajo la curva de cada mitad es de 0.5, entonces: El resultado indica que existe un 19.77% de probabilidades de regresen 60 o más clientes de los 80 clientes nuevos que visitaron la pizzería.

10 Distribución de Probabilidad de Weibull Se aplica en los análisis de fiabilidad para establecer, por ejemplo, el periodo de vida de un componente hasta que presenta una falla. La distribución de Weibull es útil por su habilidad para simular un amplio rango de distribuciones como la distribución de probabilidad normal y la distribución de probabilidad exponencial. Distribución de Probabilidad Lognormal Representa la evolución con el tiempo de la tasa de fallos. Permite fijar tiempos de reparación de componentes, siendo también en este caso el tiempo la variable independiente de la distribución. Describe la dispersión de las tasas de fallo de componentes, ocasionada por diferente origen de los datos, distintas condiciones de operación, entorno, bancos de datos diferentes, etc.

11 Distribución de Probabilidad Lognormal Asigna a valores de la variable < 0 la probabilidad 0 y de este modo se ajusta a las tasas y probabilidades de fallo que de esta forma sólo pueden ser positivas. Como depende de dos parámetros, se ajusta bien a un gran número de distribuciones empíricas. Es idónea para parámetros que son a su vez producto de numerosas cantidades aleatorias. La esperanza matemática o media en la distribución lognormal es mayor que su mediana. Distribución de Probabilidad Beta La distribución de probabilidad beta es una función de densidad con dos parámetros definida en el intervalo cerrado 0 x 1. Se utiliza frecuentemente como modelo para fracciones, tal como la proporción de impurezas en un producto químico o la fracción de tiempo que una maquina está en reparación.

12 Cierre En los problemas en donde el número de variables involucradas hace imposible un análisis detallado, la selección de variables correctas y la aplicación de la distribución de probabilidad normal estándar, nos permite obtener resultados confiables para ese problema en particular. Cierre Como vimos en el tema, no sólo podemos utilizar la distribución normal en problemas típicos donde la población es muy grande, también podemos hacer uso de la distribución normal para aproximarla a otro tipo de distribuciones, incluso distribuciones discretas como la distribución de probabilidad binomial. Durante el siguiente tema del curso de Probabilidad y Estadística, conocerás los conceptos básicos de la estadística descriptiva, extenderás tu conocimiento acerca de la utilidad de los espacios muestrales y nos adentraremos en los conceptos de la inferencia estadística.

13 Referencias bibliográficas Devore, J. (2008). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. (7a. Ed.). México: Cengage Learning. Capítulo: 4 Wakerly, D., Mendenhall, W. et al. (2002). Estadística matemática con aplicaciones. (6a. Ed). México: Cengage Learning Spiegel, M.(2004). Probabilidad y estadística (2a. Ed). México: McGraw Hill Créditos Diseño de contenido: Ing. Armando Calzada Mezura, MA, PMP Coordinador académico: Lic. José de Jesús Romero Álvarez, MC y MED. Edición de contenido: Lic. Verónica Montes de Oca Pinzón. Edición de texto: Lic. Arcelia Ramos Monobe, MEE Diseño Gráfico: Lic. Alejandro Calderas González, MATI