Probabilidad y Estadística

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Probabilidad y Estadística"

Pilar Carrizo Farías
hace 7 años
Vistas:

1 robabilidad y stadística robabilidad y stadística Tema 3 Técnicas de Conteo Objetivo de aprendizaje del tema Al finalizar el tema serás capaz de: Analizar los principios de conteo utilizados en probabilidad. Aplicar las técnicas de conteo en experimentos con resultados finitos.

robabilidad y stadística Introducción al tema l problema principal en la probabilidad consiste en determinar el espacio muestral que tiene nuestro experimento.

2 robabilidad y stadística Introducción al tema l problema principal en la probabilidad consiste en determinar el espacio muestral que tiene nuestro experimento. Mientras más grande es el experimento, mayor será el espacio muestral que presentará. n la vida real determinar el espacio muestral puede ser imposible de representar o incluso, de contabilizar. Introducción al tema Dada la magnitud de posibilidades, resultaría casi imposible poner por escrito todas las posibles combinaciones y de ahí, tomar aquellas que cumplen con nuestro experimento. Cómo le haríamos para determinar el número de posibles eventos que cumplen nuestro requerimiento, aún sin describir el total del espacio muestral? l desarrollo de técnicas de conteo ha permitido a los estadistas determinar probabilidades sin necesidad de describir el total del espacio muestral. Durante el tema, exploraremos las principales técnicas de conteo y resolveremos problemas de conteo utilizando estas herramientas.

3 robabilidad y stadística rincipio multiplicativo n algunos experimentos, el número de eventos posibles en un experimento es relativamente pequeño, por lo que resulta sencillo enlistarlos, como el tirar un dado balanceado. xisten experimentos en donde describir eventos posibles resultaría tedioso el enlistar y contar todas las formas posibles de obtener los eventos, pues la cantidad de posibles combinaciones puede llegar a ser enorme. rincipio multiplicativo l principio multiplicativo establece que si hay m formas de hacer una cosa y n formas de hacer otra, existen m x n formas de realizar ambas. Matemáticamente, se expresa así:

4 robabilidad y stadística rincipio multiplicativo De cuántas maneras puede ir vestido una persona si cuenta con: Cuatro trajes (a1) Siete camisas de vestir (a2) Cinco corbatas (a3) Aplicando la fórmula, tenemos que: ntonces: Número total de arreglos = a1 * a2 * a3 = 4 * 7 * 5 = 140 rincipio aditivo l principio aditivo establece que si existen dos actividades en donde la primera tiene M formas de ser realizada y la segunda N formas de ser realizadas, entonces el conjunto de actividades puede ser llevado a cabo de M + N formas. La expresión matemática es : Donde cada Ai es un resultado de una serie de combinaciones.

5 robabilidad y stadística ermutaciones La fórmula de la multiplicación nos ayuda a determinar la cantidad de arreglos posibles en dos o más grupos. xisten experimentos en donde sólo se tiene un grupo de donde se seleccionarán una serie de elementos y queremos determinar el número de arreglos posibles en la selección. La permutación nos ayuda a determinar el número posible de arreglos cuando sólo hay un grupo de elementos. ermutaciones La permutación es la disposición en orden de un conjunto de objetos en el que hay un primero, un segundo, un tercero, etc., hasta n. Cada elemento es distinguible y no se puede repetir la selección de un objeto. Supone que primero se obtiene un elemento, después el segundo y así sucesivamente hasta obtener el total de objetos requeridos del grupo en cuestión.

robabilidad y stadística ermutaciones Matemáticamente, la expresión es: Donde: = Número de permutaciones n = Número total de objetos en el conjunto r = Número de objetos a seleccionar del conjunto

6 robabilidad y stadística ermutaciones Matemáticamente, la expresión es: Donde: = Número de permutaciones n = Número total de objetos en el conjunto r = Número de objetos a seleccionar del conjunto ermutaciones n un evento de caridad, existe una urna con 10 pelotas diferentes e identificables entre sí. Suponga que el presidente de la institución de caridad desea obtener tres pelotas que definirán a los ganadores de una rifa del primero, segundo y tercer premio respectivamente. Cuál es la cantidad de permutaciones posibles al seleccionar tres ganadores de un total de 10?

robabilidad y stadística ermutaciones Aplicando la fórmula, tenemos que: Donde: n = 10 pelotas r = 3 pelotas Se tienen 720 diferentes formas de obtener tres ganadores seleccionando 3 pelotas en una

7 robabilidad y stadística ermutaciones Aplicando la fórmula, tenemos que: Donde: n = 10 pelotas r = 3 pelotas Se tienen 720 diferentes formas de obtener tres ganadores seleccionando 3 pelotas en una urna de 10. ermutaciones n el planteamiento original, la permutación obtiene r elementos de un conjunto de n, en donde no se puede volver a seleccionar más de una vez un elemento dado. Cuando en un experimento pueden existir repeticiones, la fórmula de las permutaciones es:

8 robabilidad y stadística ermutaciones Supongamos que en el alfabeto solo existen 5 letras, cuántas palabras de tres letras podrían formarse con 5 letras? n este caso, las letras pudieran repetirse al ir formando palabras, por tanto, se aplica la fórmula de la permutación con repeticiones Donde: n = 5 letras disponibles r = 3 letras a seleccionar ermutaciones Aplicando la fórmula, tenemos que:

9 robabilidad y stadística Combinaciones n las permutaciones importa el orden en que se obtienen los objetos del conjunto. n el ejemplo de obtener dos pelotas de una urna de 10, no es lo mismo obtener primero la pelota A y en segundo lugar la pelota B que obtener primero la pelota B y en segundo lugar la pelota A. n este caso, la permutación contaría dos veces el obtener la pelota A y B. Combinaciones Cuando en el experimento no importa el orden en que se obtienen los objetos, o bien, cuando los arreglos de objetos obtenidos son iguales no importando el orden en que se seleccionaron, se usa la fórmula de la combinación, que es la siguiente:

10 robabilidad y stadística Combinaciones Supongamos que en la rifa efectuada en el evento de caridad, el premio para cada uno de los tres elegidos es el mismo sin importar quién salga en primero, quién en segundo y quién en tercero. Cuál es la cantidad de combinaciones posibles al seleccionar tres pelotas de un total de 10? Combinaciones Aplicando la fórmula, tenemos que: Donde: n = 10 pelotas r = 3 pelotas Se tienen 120 diferentes formas de obtener tres pelotas en una urna de 10 pelotas sin importar el orden en que se seleccionen.

11 robabilidad y stadística Diagrama de árbol Una forma gráfica para obtener el total de eventos resultado de un experimento es a través de un diagrama de árbol. Veamos un ejemplo: n el mundial de futbol del 2010, la Selección Mexicana deberá enfrentar a tres rivales en la primera fase y obtener la mayor cantidad de puntos posibles para acceder a la siguiente fase. Considerando únicamente la primera fase, cuántas posibles combinaciones de resultados puede obtener la Selección Mexicana? Cierre Como podemos observar, algunos experimentos tienen un gran número de posibles resultados y resulta de utilidad saber el total de eventos que pueden generarse, para así obtener una probabilidad de ocurrencia de eventos que cumplan con algún requerimiento.

12 robabilidad y stadística Cierre Las técnicas de conteo nos permiten determinar la cantidad de eventos que tiene un experimento sin tener que describir por completo el espacio muestral del mismo. l principio matemático y el principio aditivo son las dos técnicas de conteo básicas y están presentes en nuestra vida diaria, como por ejemplo, al momento de seleccionar nuestra ropa para el día o bien, cuando tomamos una decisión de hacia a dónde ir de vacaciones y cómo transportarnos hacia el lugar decidido. Cierre Sin embargo, cuando se tiene un problema de selección de un subconjunto de resultados o eventos, las técnicas de permutación y combinación son de gran utilidad. Ambas determinan el total de eventos posibles para un experimento, sin embargo presentan una diferencia fundamental. n las permutaciones, el orden en que se seleccionan los objetos es importante, mientras que en las combinaciones importa el resultado final sin considerar el orden. sto es trascendental en la determinación de qué fórmula utilizar en un experimento, como el ejemplo del sorteo visto en la sesión.

13 robabilidad y stadística Referencias bibliográficas Devore, J. (2008). robabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. (7a. d.). México: Cengage Learning. Capítulo: 2. Wakerly, D., Mendenhall, W. et al. (2002). stadística matemática con aplicaciones. (6a. d). México: Cengage Learning. Spiegel, M.(2004). robabilidad y estadística (2a. d). México: Mcraw Hill. Créditos Diseño de contenido: Ing. Armando Calzada Mezura, MA, M Coordinador académico: Lic. José de Jesús Romero Álvarez, MC y MD. dición de contenido: Lic. Verónica Montes de Oca inzón. dición de texto: Lic. Arcelia Ramos Monobe, M Diseño ráfico: Lic. Alejandro Calderas onzález, MATI

Documentos relacionados

Probabilidad y Estadística

Probabilidad y Estadística Tema 2 Probabilidad condicional e independencia Objetivo de aprendizaje del tema Al finalizar el tema serás capaz de: Distinguir los eventos condicionales de los eventos independientes.