Funciones y notación de funciones DEFINICIÓN DE FUNCIÓN REAL DE UNA VARIABLE REAL

Transcripción

1 SECCIÓN P. Funciones sus gráicas 9 P. Funciones sus gráicas Usar la notación de unción para representar evaluar unciones. Encontrar el dominio recorrido o rango de una unción. Trazar la gráica de una unción. Identiicar los dierentes tipos de transormaciones de las unciones. Clasiicar unciones reconocer combinaciones de ellas. X Dominio Funciones notación de unciones Una relación entre dos conjuntos X Y es un conjunto de pares ordenados, cada uno de la orma (, ), donde es un elemento de X un elemento de Y. Una unción de X a Y es una relación entre X Y con la propiedad de que si dos pares ordenados tienen el mismo valor de, entonces también tienen el mismo valor de. La variable se denomina variable independiente, mientras que la variable se denomina variable dependiente. Muchas situaciones de la vida real pueden describirse mediante unciones. Por ejemplo, el área A de un círculo es una unción de su radio r. A r A es una unción de r. En este caso, r es la variable independiente A, la variable dependiente. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN REAL DE UNA VARIABLE REAL Rango () Una unción real de una variable real Figura P. Y Sean X Y conjuntos de números reales. Una unción real de una variable real de X a Y es una regla de correspondencia que asigna a cada número de X eactamente un número de Y. El dominio de es el conjunto X. El número es la imagen de por se denota mediante (), a lo cual se le llama el valor de en. El recorrido o rango de se deine como el subconjunto de Y ormado por todas las imágenes de los números de X (ver la igura P.). Las unciones pueden especiicarse de muchas ormas. No obstante, este teto se concentra undamentalmente en unciones dadas por ecuaciones que contienen variables dependientes e independientes. Por ejemplo, la ecuación Ecuación en orma implícita. NOTACIÓN DE FUNCIONES Gottried Wilhelm Leibniz ue el primero que utilizó la palabra unción, en 69, para denotar cualquier cantidad relacionada con una curva, como las coordenadas de uno de sus puntos o su pendiente. Cuarenta años más tarde, Leonhard Euler empleó la palabra unción para describir cualquier epresión construida con una variable varias constantes. Fue él quien introdujo la notación (). deine, la variable dependiente, como unción de, la variable independiente. Para evaluar esta unción (esto es, para encontrar el valor de correspondiente a un valor de dado) resulta conveniente despejar en el lado izquierdo de la ecuación. ( ) Ecuación en orma eplícita. Utilizando como nombre de la unción, esta ecuación puede escribirse como:. Notación de unciones. La ecuación original deine implícitamente a como unción de. Cuando se despeja, se obtiene la ecuación en orma eplícita. La notación de unciones tiene la ventaja de que permite identiicar claramente la variable dependiente como (), inormando al mismo tiempo que la variable independiente es que la unción se denota por. El símbolo () se lee de. La notación de unciones permite ahorrar palabras. En lugar de preguntar cuál es el valor de que corresponde a? se puede preguntar cuánto vale ()?

2 0 CAPÍTULO P Preparación para el cálculo En una ecuación que deine a una unción, el papel de la variable es simplemente el de un hueco a llenar. Por ejemplo, la unción dada por () puede describirse como donde se usan paréntesis en lugar de. Para evaluar (), basta con colocar dentro de cada paréntesis. () () () Sustituir por. () 8 7 Simpliicar. Simpliicar. NOTA Aunque es recuente usar como un símbolo adecuado para denotar una unción para la variable independiente, se pueden utilizar otros símbolos. Por ejemplo, todas las ecuaciones siguientes deinen la misma unción. () 7 El nombre de la unción es, el de la variable independiente es. (t) t t 7 El nombre de la unción es, el de la variable independiente es t. g(s) s s 7 El nombre de la unción es g, el de la variable independiente es s. EJEMPLO Evaluación de una unción Para la unción deinida por () 7, calcular: a) (a) b) (b ) c) Solución ( ) ( ), 0 AYUDA DE ESTUDIO En cálculo, es importante especiicar con claridad el dominio de una unción o epresión. Por ejemplo, en el ejemplo c, las epresiones 0, son equivalentes, a que 0 se eclue del dominio de la unción o epresión. Si no se estableciera esa restricción del dominio, las dos epresiones no serían equivalentes. a) a a 7 Sustituir por a. Simpliicar. b) b b 7 Sustituir por b. c) 9a 7 b b 8 b b 7, 0 Desarrollar el binomio. Simpliicar NOTA La epresión del ejemplo c se llama cociente incremental o de dierencias tiene un signiicado especial en el cálculo. Se verá más acerca de esto en el capítulo.

3 SECCIÓN P. Funciones sus gráicas Recorrido: 0 () = Dominio: a) El dominio de es [, ) el recorrido o rango [0, ) Dominio recorrido o rango de una unción El dominio de una unción puede describirse de manera eplícita, o bien de manera implícita mediante la ecuación empleada para deinir la unción. El dominio implícito es el conjunto de todos los números reales para los que está deinida la ecuación, mientras que un dominio deinido eplícitamente es el que se da junto con la unción. Por ejemplo, la unción dada por ( ), 5 tiene un dominio deinido de manera eplícita dado por {: 5}. Por otra parte, la unción dada por g ( ) () = tan tiene un dominio implícito: es el conjunto {: }. EJEMPLO Cálculo del dominio del recorrido de una unción Recorrido a) El dominio de la unción ( ) b) El dominio de lo constituen todos los valores reales de tales que Dominio n el recorrido o rango es (, ) Figura P. es el conjunto de los valores de tales que 0; es decir, el intervalo [, ). Para encontrar el recorrido o rango, se observa que ( ) nunca es negativo. Por ende, el recorrido o rango es el intervalo [0, ), como se señala en la igura P.a. b) Como se muestra en la igura P.b, el dominio de la unción tangente () tan es el conjunto de los valores de tales que n, con n entero. Dominio de la unción tangente. El recorrido o rango de esta unción es el conjunto de todos los números reales. Para repasar las características de ésta otras unciones trigonométricas, ver el apéndice C. EJEMPLO Una unción deinida por más de una ecuación Determinar el dominio el recorrido o rango de la unción Recorrido: 0 () =,, Dominio: todos los reales El dominio de es (, ) el recorrido es [0, ) Figura P., si ( ), si Solución Puesto que está deinida para, su dominio es todo el conjunto de los números reales. En la parte del dominio donde, la unción se comporta como en el ejemplo a. Para, todos los valores de son positivos. Por consiguiente, el recorrido de la unción es el intervalo [0, ). (Ver la igura P..) Una unción de X a Y es inectiva (o uno a uno) si a cada valor de perteneciente al recorrido o rango le corresponde eactamente un valor del dominio. Por ejemplo, la unción dada en el ejemplo a es inectiva, mientras que las de los ejemplos b no lo son. Se dice que una unción de X a Y es supraectiva (o sobreectiva) si su recorrido es todo Y.

4 CAPÍTULO P Preparación para el cálculo Gráica de una unción () (, ()) La gráica de una unción () está ormada por todos los puntos (, ()), donde pertenece al dominio de. En la igura P.5, puede observarse que () Gráica de una unción Figura P.5 distancia dirigida desde el eje () distancia dirigida desde el eje. Una recta vertical puede cortar la gráica de una unción de como máimo una vez. Esta observación proporciona un criterio visual adecuado, llamado criterio de la recta vertical, para unciones de. Es decir, una gráica en el plano de coordenadas es la gráica de una unción si sólo si ninguna recta vertical hace intersección con ella en más de un punto. Por ejemplo, en la igura P.6a puede verse que la gráica no deine a como unción de, a que ha una recta vertical que corta a la gráica dos veces, mientras que en las iguras P.6b c las gráicas sí deinen a como unción de. a) No es una unción de b) Una unción de c) Una unción de Figura P.6 En la igura P.7 se muestran las gráicas de ocho unciones básicas, las cuales ha que conocer bien. (Las gráicas de las otras cuatro unciones trigonométricas básicas se encuentran en el apéndice C.) () = () = () () = Función identidad Función cuadrática Función cúbica Función raíz cuadrada () () = () = sen () = cos Función valor absoluto Función racional Función seno Función coseno Gráicas de ocho unciones básicas Figura P.7

5 SECCIÓN P. Funciones sus gráicas EXPLORACIÓN Escritura de ecuaciones de unciones Cada una de las pantallas de la herramienta de graicación mostradas abajo ehibe la gráica de una de las ocho unciones básicas de la página anterior. Cada pantalla muestra también una transormación de la gráica. Describir esta transormación usar su descripción para escribir la ecuación de la transormación. a) 9 Transormaciones de unciones Algunas amilias de gráicas tienen la misma orma básica. Por ejemplo, vamos a comparar la gráica de con las gráicas de las otras cuatro unciones cuadráticas de la igura P.8. = = ( ) a) Traslación vertical (hacia arriba) b) Traslación horizontal (a la izquierda) 9 9 b) 6 6 ( ) 5 c) d) c) Releión d) Traslación a la izquierda, releión traslación hacia arriba Figura P.8 Cada una de las gráicas de la igura P.8 es una transormación de la gráica de. Los tres tipos básicos de transormaciones ilustrados por estas gráicas son las traslaciones verticales, las traslaciones horizontales las releiones. La notación de unciones es adecuada para describir transormaciones de gráicas en el plano. Por ejemplo, si se considera que () es la unción original en la igura P.8, las transormaciones mostradas pueden representarse por medio de las siguientes ecuaciones. () ( ) Traslación vertical de unidades hacia arriba. Traslación horizontal de unidades a la izquierda. () Releión respecto al eje. ( ) Traslación de unidades a la izquierda, releión respecto al eje traslación de unidad hacia arriba. TIPOS BÁSICOS DE TRANSFORMACIONES (c > 0) Gráica original: () Traslación horizontal de c unidades a la derecha: ( c) Traslación horizontal de c unidades a la izquierda: ( c) Traslación vertical de c unidades hacia abajo: () c Traslación vertical de c unidades hacia arriba: () c Releión (respecto al eje ): () Releión (respecto al eje ): () Releión (respecto al origen): ()

6 CAPÍTULO P Preparación para el cálculo Clasiicaciones combinaciones de unciones La noción moderna de unción es ruto de los esuerzos de muchos matemáticos de los siglos XVII XVIII. Mención especial merece Leonhard Euler, a quien debemos la notación (). Hacia inales del siglo XVIII, los matemáticos cientíicos habían llegado a la conclusión de que un gran número de enómenos de la vida real podían representarse mediante modelos matemáticos, construidos a partir de una colección de unciones denominadas unciones elementales. Estas unciones se dividen en tres categorías. Bettmann/Corbis LEONHARD EULER (707-78) Además de sus contribuciones esenciales a casi todas las ramas de las matemáticas, Euler ue uno de los primeros en aplicar el cálculo a problemas reales de la ísica. Sus numerosas publicaciones incluen temas como construcción de barcos, acústica, óptica, astronomía, mecánica magnetismo.. Funciones algebraicas (polinómicas, radicales, racionales).. Funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc.).. Funciones eponenciales logarítmicas. En el apéndice C se encuentra un repaso de las unciones trigonométricas. El resto de las unciones no algebraicas, como las unciones trigonométricas inversas las unciones eponenciales logarítmicas, se presentan en el capítulo 5. El tipo más común de unción algebraica es una unción polinomial a n n a n n... a a a 0, donde n es un entero no negativo. Las constantes a i son coeicientes siendo a n el coeiciente dominante a 0 el término constante de la unción polinomial. Si a n 0, entonces n es el grado de la unción polinomial. La unción polinomial cero () 0 no se considera grado. Aunque se suelen utilizar subíndices para los coeicientes de unciones polinomiales en general, para las de grados más bajos se utilizan con recuencia las siguientes ormas más sencillas. (Notar que a 0.) Grado cero: () a Función constante. Grado uno: () a b Función lineal. PARA MAYOR INFORMACIÓN Puede encontrarse más inormación sobre la historia del concepto de unción en el artículo Evolution o the Function Concept: A Brie Surve, de Israel Kleiner, en The College Mathematics Journal. Grado dos: () a b c Función cuadrática. Grado tres: () a b c d Función cúbica. Aunque la gráica de una unción polinomial no constante puede presentar varias inleiones, en algún momento ascenderá o descenderá sin límite al moverse hacia la izquierda o hacia la derecha. Se puede determinar qué ocurre en la gráica de a n n a n n... a a a 0 eventualmente crece o decrece a partir del grado de la unción (par o impar) del coeiciente dominante a n, como se indica en la igura P.9. Observar que las regiones punteadas muestran que la prueba o el criterio del coeiciente dominante sólo determina el comportamiento a la derecha a la izquierda de la gráica. a n 0 a n < 0 a n 0 a n 0 Crece a la derecha Crece a la izquierda Crece a la izquierda Crece a la derecha Decrece a la izquierda Decrece a la derecha Decrece a la izquierda Decrece a la derecha Gráicas de unciones polinomiales de grado par Prueba del coeiciente dominante para unciones polinomiales Figura P.9 Gráicas de unciones polinomiales de grado impar

7 SECCIÓN P. Funciones sus gráicas 5 Del mismo modo que un número racional puede escribirse como el cociente de dos enteros, una unción racional puede epresarse como el cociente de dos polinomios. De manera especíica, una unción es racional si tiene la orma ( p ( ) ) ( ), q q ( ) 0 donde p() q() son polinomiales. Las unciones polinomiales las racionales son ejemplos de unciones algebraicas. Se llama unción algebraica de a aquella que puede epresarse mediante un número inito de sumas, dierencias, productos, cocientes raíces que contengan n. Por ejemplo, ( ) es algebraica. Las unciones no algebraicas se denominan trascendentes. Por ejemplo, las unciones trigonométricas son trascendentes. Es posible combinar dos unciones de varias ormas para crear nuevas unciones. Por ejemplo, dadas () g(), se pueden construir las siguientes unciones. g g g g g g g g Suma. Dierencia. Producto. Cociente. Dominio de g g Aún ha otra manera de combinar dos unciones, llamada composición. La unción resultante recibe el nombre de unción compuesta. g g() Dominio de El dominio de la unción compuesta g Figura P.0 (g()) DEFINICIÓN DE FUNCIÓN COMPUESTA Sean g dos unciones. La unción dada por ( g)() (g()) se llama unción compuesta de con g. El dominio de g es el conjunto de todas las del dominio de g tales que g() esté en el dominio de (ver la igura P.0). La unción compuesta de con g puede no ser igual a la unción compuesta de g con. EJEMPLO Composición de unciones Dadas () g() cos, encontrar cada una de las unciones compuestas: a) g b) g Solución a) g g Deinición de g. cos Sustituir g() cos. cos Deinición de (). cos Simpliicar. b) g g g cos Deinición de g. Sustituir (). Deinición de g(). Observar que g g.

8 6 CAPÍTULO P Preparación para el cálculo EXPLORACIÓN Utilice una herramienta de graicación para representar cada unción. Determinar si la unción es par, impar, o ninguna de las dos. g h 5 j 6 8 k 5 p 9 5 Describir una manera de identiicar una unción como par o impar mediante un análisis visual de la ecuación. En la sección P. se deinió la intersección en de una gráica como todo punto (a, 0) en el que la gráica corta al eje. Si la gráica representa una unción, el número a es un cero de. En otras palabras, los ceros de una unción son las soluciones de la ecuación () 0. Por ejemplo, la unción () tiene un cero en porque () 0. En la sección P. también se estudiaron dierentes tipos de simetrías. En la terminología de unciones, se dice que una unción es par si su gráica es simétrica respecto al eje, se dice que es impar si su gráica es simétrica con respecto al origen. Los criterios de simetría de la sección P.l conducen a la siguiente prueba para las unciones pares e impares. PRUEBA PARA LAS FUNCIONES PARES E IMPARES La unción () es par si () (). La unción () es impar si () (). NOTA Con ecepción de la unción constante, por ejemplo () 0, la gráica de una unción de no puede ser simétrica con respecto al eje, puesto que entonces violaría la prueba de la recta vertical para la gráica de una unción. EJEMPLO 5 Funciones pares o impares ceros de unciones (, 0) (, 0) (0, 0) () = Determinar si cada una de las siguientes unciones es par, impar o ninguna de ambas. Después, calcular los ceros de la unción. a) () b) g() cos Solución a) La unción es impar, porque. Los ceros de se calculan como sigue. a) Función impar 0 0 0,, Hacer () 0. Factorizar. Ceros de. g() cos Ver la igura P.la. b) La unción es par, porque g cos cos g. Los ceros de g se calculan como sigue. cos () cos (). cos 0 cos Hacer g() 0. Restar en ambos miembros. (n ), con n entero Ceros de g. b) Función par Figura P. Ver la igura P.b. NOTA Cada una de las unciones del ejemplo 5 es par o impar. Sin embargo, muchas unciones, como () no son pares ni impares.

9 SECCIÓN P. Funciones sus gráicas 7 P. Ejercicios En los ejercicios, utilizar las gráicas de g para resolver lo siguiente: a) Identiicar los dominios los recorridos o rangos de g. b) Identiicar () g(). c) Para qué valor(es) de es () g()? d) Calcular la(s) solución(es) de (). e) Calcular las soluciones de g() 0... g En los ejercicios a, evaluar (si es posible) la unción en los valores dados de la variable independiente. Simpliicar los resultados.. 7. a) 0 a) b) b) c) b c) d) d) 5. g 5 6. a) g0 a) b) g5 b) c) g c) d) gt d) 7. cos 8. a) 0 a) b) b) c) c) g g g gc gt sen 5 En los ejercicios a 0, encontrar el dominio el recorrido o rango de la unción... g 5 5. g 6 6. h t 7. t sec 8. ht cot t g g En los ejercicios a 6, encontrar el dominio de la unción.... g. cos g h sen En los ejercicios 7 a 0, evaluar la unción como se indica. Determinar su dominio su recorrido o rango ,, a) b) 0 c) d),, a) b) 0 c) d),, a) b) c) d), 5, < 0 0 > < 5 > 5 a) b) 0 c) 5 d) 0 En los ejercicios a 8, trazar la gráica de la unción encontrar su dominio su recorrido o rango. Utilizar una herramienta graicadora para comprobar las gráicas.... h gt sen t 8. h 5 cos Desarrollo de conceptos 9. En la igura se muestra la gráica de la distancia que recorre un estudiante en su camino de 0 minutos a la escuela. Dar una descripción verbal de las características del recorrido del estudiante hacia la escuela. Distancia (en millas) g s (0, 0) (, ) t s b (0, 6) (6, ) Tiempo (en minutos) t

10 8 CAPÍTULO P Preparación para el cálculo Desarrollo de conceptos (continuación) 0. Tras unos minutos de recorrido, un estudiante que conduce 7 millas para ir a la universidad recuerda que olvidó en casa el trabajo que tiene que entregar ese día. Conduciendo a maor velocidad de la que acostumbra, regresa a casa, recoge su trabajo reemprende su camino a la universidad. Trazar la posible gráica de la distancia de la casa del estudiante como unción del tiempo. En los ejercicios a, aplicar la prueba de la recta vertical para determinar si es una unción de.. 0., 0.., > En los ejercicios 5 a 8, determinar si es una unción de En los ejercicios 9 a 5, utilizar la gráica de () para relacionar la unción con su gráica. e d c b () g 5 a 55. Utilizar la gráica de que se muestra en la igura para dibujar la gráica de cada unción. a) b) c) d) e) ) a) b) c) d) e) ) a) d) c) a) h sen b) h sen 59. Dadas () g(), evaluar cada epresión. a) g b) g c) g 0 d) g e) g ) g 60. Dadas () sen g(), evaluar cada epresión. a) g b) c) g 0 d) g e) g ) g g 56. Utilizar la gráica de que se muestra en la igura para dibujar la gráica de cada unción. 57. Utilizar la gráica de () para dibujar la gráica de cada unción. En todos los casos, describa la transormación. 58. Especiicar una secuencia de transormaciones que tenga como resultado cada gráica de h a partir de la gráica de la unción () sen. g a) g b) g c) g 5 d) g e) g ) g g cos g En los ejercicios 6 a 6, encontrar las unciones compuestas ( g) (g ). Cuál es el dominio de cada unción compuesta? Son iguales ambas unciones compuestas? g 65. Utilizar las gráicas de de g para evaluar cada epresión. Si el resultado es indeinido, eplicar por qué (, ) (, ) 5 g 9