Gráfica de la función f de X en Y El conjunto X se llama dominio de la función f.

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Estefania Espejo Sosa
hace 5 años
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1 FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS Funciones y notación de funciones Una relación entre dos conjuntos X e Y es un conjunto de pares ordenados, cada uno de la forma (, y) donde es un elemento del conjunto X e y, es un elemento del conjunto Y. Una función de X a Y es una relación entre X e Y que asigna a cada número de X eactamente un número y de Y. La variable se denomina variable independiente, mientras que la variable y se denomina variable dependiente. Gráfica de la función f de X en Y El conjunto X se llama dominio de la función f. El número y se denomina la imagen de mediante f. El recorrido de f se define como el subconjunto de Y formado por todas las imágenes de los números de X Muchas situaciones de la vida real pueden describirse mediante funciones. Por ejemplo, el área A de un círculo es una función de su radio r; A π r, A es una función de r; En este caso, r es la variable independiente y A, la variable dependiente. Las funciones pueden especificarse de muchas formas. No obstante nos concentramos fundamentalmente en funciones dadas por ecuaciones que involucran las variables dependientes e independientes. Por ejemplo, la ecuación: + y Ecuación en forma implícita define y, la variable dependiente, como función de, la variable independiente. Para evaluar esta función (esto es, para hallar el valor de y correspondiente a un valor de dado) resulta conveniente despejar y, y Ecuación en forma eplícita Denotando por f la función, se puede escribir esta ecuación como: Notación de funciones La ecuación original + y define implícitamente a la variable y como función de la variable. Cuando despejamos y, estamos escribiendo la ecuación en forma eplícita. Ejercicio: Para la función + 7, calcular: (a) f ( a) ; (b) f ( b ) ; (c) f ( + )

2 Dominio y recorrido de una función. El dominio de una función puede describirse eplícitamente, o bien implícitamente mediante la ecuación empleada para definir la función. El dominio implícito es el conjunto de todos los números reales para los que está definida la ecuación, mientras que un dominio definido eplícitamente es el que se da junto con la función. Por ejemplo, la función dada por, 5, tiene un dominio definido eplícitamente como / 5,5 ; { } ó [ ] por otra parte, la función ( ) g tiene el dominio implícito { / ±} Ejemplo: a) El dominio de la función, es el conjunto de los valores de tales que 0, es decir el intervalo [, ). Para hallar el recorrido, observamos que nunca es negativo. Así pues, el recorrió es el intervalo 0, ), a continuación se muestra la gráfica de la función. [ GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN La gráfica de una función está formada por todos los puntos (, f ()), donde pertenece al dominio de f. En la figura siguiente, puede observarse que: X distancia dirigida desde el eje y f() distancia dirigida desde el eje. Una recta vertical puede cortar la gráfica de una función de a lo sumo una vez. Esta observación proporciona un criterio visual adecuado (llamado criterio de la recta vertical) para funciones de. A continuación se muestran las gráficas de ocho funciones básicas que todos debiéramos reconocer

3 Función Identidad Función cuadrática Función cúbica Función raíz cuadrada Función valor absoluto Función racional Función seno f() sen Función coseno f() cos

4 Otras aplicaciones del enfoque de funciones (como modelos matemáticos para resolver problemas): EJEMPLO: El volumen de un gas a presión constante es directamente proporcional a la temperatura absoluta y a la temperatura de 75 el gas ocupa 00mts cúbicos.(a) Encuentre un modelo matemático que eprese el volumen como una función de la temperatura. (b) Cuál es el volumen del gas a una temperatura de 0? SOLUCIÓN (a) Sea f () en metros cúbicos el volumen del gas cuya temperatura es grados. Entonces, por la definición de variación directamente proporcional. k (). donde k es una constante. Como el volumen del gas es 00mts cúbicos a la temperatura de 75, se sustituye por 75 y f () por 00 en (). de donde se obtiene: 00 k. (75) k /7 Al sustituir este valor de k en (), se obtiene: 7 (b) A partir de la epresión anterior para f (), se obtiene: f ( 0) (0) 80 7 CONCLUSIÓN: A una temperatura de 0, el volumen del gas es de 80mts cúbicos. EJERCICIOS. En cada uno de los siguientes ejercicios, evaluar (si es posible) la función en los valores dados de la variable independiente. Simplificar los resultados: a) f ( 0); f ( ); f ( b); f ( ) b) f ( ) + f ( 6); f ( 5); f ( c); f ( + ) c) cos f ( 0); f ( π ); f ( π ) +, < 0 d) +, 0 f ( ); f (0); f (); f ( t + ) +, e) +, > f (); f (0); f ( ); f ( t ) f) f ( + ). Encuentra el dominio, el recorrido y esboza un gráfico para c/u de las siguientes funciones: a) + b) c) d) +, si ( ) si > g( ) g), si < h) 5 + si si > h ( )

5 ee. La fórmula de la Ley de Coulomb f k, epresa la relación de dependencia que eiste entre la r fuerza f de interacción de dos cargas eléctricas e y e, por una parte, y la distancia r que media entre ellas, por otra.; poniendo e e k, formar la tabla de los valores de la función dada para r,,,..., 0 y construir su gráfica uniendo los puntos con una línea suave.. Escribir la función que eprese la dependencia entre el radio r de un cilindro y su altura h siendo el volumen dado v, Calcular los valores de r, teniendo h los siguientes valores: 0.5; ;.5; ;.5;.5; ;.5; 5. Construir la gráfica de la función. (El volumen del cilindro es v r h ). 5. Epresar el área de un trapecio isósceles de bases a y b como función del ángulo α de la base. a + b Construir la gráfica de la función para a. b. (El área del trapecio es A h, a y b bases, h altura) 6. Epresar la dependencia entre la longitud b de un cateto de un triángulo rectángulo y la longitud a de otro cateto. Siendo la hipotenusa c 5. Construir la gráfica de esta función. 7. Escribir en forma eplícita la función y dada en forma implícita mediante la siguiente ecuación: a) + y b) c) C + y a y y d) b a En los siguientes ejercicios realiza una gráfica para resolver el interrogante: 8. Un triángulo isósceles de base a y altura h lleva inscrito un rectángulo de la manera representada en la figura siguiente. Cuál debe ser la altura del rectángulo para que su superficie sea la mayor posible? (Utiliza una gráfica) π 9. De un cartón de forma rectangular de dimensiones 0 cm. 50 cm. se deben cortar cuadrados de manera que doblando la hoja a lo largo de las líneas punteadas se obtenga una de superficie lateral máima (véase figura siguiente). Hallar el lado de los cuadrados cortados. 5

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