Variables aleatorias

Transcripción

1 Ejemplo: Suponga que un restaurant ofrecerá una comida gratis al primer cliente que llegue que cumpla años ese día. Cuánto tiene que esperar el restaurant para que la primera persona cumpliendo años aparezca? i.e., cuántos clientes visitarán el restaurant antes de que aparezca la primera persona que cumple años?

2 Distribuciones continuas Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución continua, o que X es una variable continua, si existe una función no negativa f, definida sobre los números reales, tal que para cada intervalo en los reales, la probabilidad de que X tome un valor es igual a la integral sobre ese mismo intervalo

3 Por ejemplo: A la función f se le llama función de densidad de probabilidad o simplemente densidad de probabilidad

4 Alternativamente: Variables aleatorias Se define la función de densidad de probabilidad (pdf), f(x), de una variable aleatoria continua X como aquella que satisface: es decir, la probabilidad de que x se encuentre entre x y x+dx

5 La densidad de probabilidad, f(x), debe satisfacer que:

6 Comentario: las distribuciones continuas asignan probabilidad cero a valores individuales, es decir, si X es una variable continua Pr(X=a)=0 Esto no implica el evento X=a sea imposible!

7 Ejemplo: Distribución uniforme Si X tiene una distribución uniforme en el intervalo [a,b], entonces la densidad de probabilidad (pdf) f(x) es El intervalo [a,b] es el soporte de la distribución

8 Comentario: La densidad de probabilidad NO es la probabilidad de X cerca de x''. Es la integral de f la que da la probabilidad

9 Ejemplo: Suponga que la función de densidad de probabilidad (pdf) está dada por: Cuál es el valor de c? Determine :

10 Similarmente al caso discreto, se define la función de distribución acumulativa (cdf) F(x): De modo que Además:,

11 Comentarios: - La función de distribución cumulativa F(x) Es una función no decreciente con x - Una función de distribución cumulativa es siempre continua por la derecha: para cada valor de x

12 Ejemplo: Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo [a,b]. Cuál es la función de distribución acumulativa?

13 Comentario: Una variable aleatoria discreta puede tratarse como una variable aleatoria continua y asignarse la correspondiente densidad de probabilidad. Si X es una variable discreta que toma los valores x 1,...,x n con probabilidades p 1,...,p n, entonces la densidad de probabilidad continua puede escribirse como

14 Función Cuantil Definici on Si es la función de distribución acumulativa, se dice que es la función cuantil. Así es el valor más pequeño de x tal que

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16 Funciones de variables aleatorias Frecuentemente se requiere la distribución de una función de las variables aleatorias. Por ejemplo, si X es una variable aleatoria, quisieramos saber la distribución de 1/X, o bien para dos variables X 1,X 2, cuál es la probabilidad de exp(x 1 +X 2 )?

17 Funciones de variables aleatorias o bien

18 Varias variables aleatorias Es común encontrar problemas que dependen de más de una variable aleatoria. Los resultados que hemos visto pueden extenderse a dos o más variables aleatorias. Veamos el caso de dos variables.

19 Varias variables aleatorias Distribucion conjunta discreta. Sean X e Y dos variables aleatorias y consideremos el par ordenado (X,Y). Si existe un número contable de diferentes valores (x i,y i ) para el par (X,Y), entonces X, Y tienen una distribución discreta. Definición: La función de probabilidad conjunta de X,Y se define como la función f tal que para cada punto (x i,y i ) en el plano xy,

20 Varias variables aleatorias Con Si (x i,y i ) NO es uno de los valores posibles del par (X,Y) entonces f(x i,y i ) = 0.

21 Varias variables aleatorias Similarmente al caso continuo para una variable, tenemos ahora que: donde f(x,y) es la función de densidad de probabilidad conjunta que satisface: y

22 Varias variables aleatorias Caso especial: variables independientes. Es frecuente encontrar casos donde las variables aleatorias X, Y no dependen una de otra. En este caso la densidad de probabilidad puede escribirse como Pr(X=x i,y=y i )=g(x i )h(y i ), donde g(x i ) y h(y i ) son las densidades de probabilidad de X e Y. Similarmente para el caso continuo:

23 Varias variables aleatorias Sobre el tema de variables aleatorias independientes, supongamos que nos interesa saber la densidad de probabilidad de la suma de variables independientes. Sea Y = X 1 + X 2, donde X 1, X 2 son variables aleatorias independientes con densidades de probabilidad f 1 y f 2. La densidad de probabilidad de Y está dada por (convolución)

24 Varias variables aleatorias

25 Varias variables aleatorias

26 Varias variables aleatorias

27 Varias variables aleatorias

28 Varias variables aleatorias Distribución acumulativa conjunta La distribución cumulativa conjunta para dos variables aleatorias X e Y está definida como la función F tal que para todos los valores de x e y de modo que

29 Varias variables aleatorias Si X e Y tienen una densidad de probabilidad conjunta f(x,y) entonces De aquí que

30 Varias variables aleatorias Distribución marginal Frecuentemente en un problema de varias variables, digamos 2 variables, estamos interesados en la distribución de una sóla de las variables. Dicha distribución se obtiene a través de la distribución conjunta y se le llama distribución marginal. Por ejemplo, para el caso discreto, si X e Y son variables aleatorias con función de distribución conjunta f(x,y), entonces la distribución marginal f 1 está dada por

31 Varias variables aleatorias Por ejemplo, para el caso discreto, si X e Y son variables aleatorias con distribución conjunta f(x,y), entonces la distribución marginal f 1 está dada por Similarmente para el caso continuo:

32 Varias variables aleatorias Ejemplo. Si la densidad de probabilidad conjunta está dada por Encuentre la densidad marginal de probabilidad de X e Y

33 Varias variables aleatorias Distribución condicional Así como en el cálculo de probabilidades era de interés conocer la probabilidad de un evento dado que otro había sucedido, ahora nos preguntamos por la distribución de una variable X dado que otra, Y, ha tomado un valor Y=y. La distribución de la probabilidad condicional viene dada por:

34 Varias variables aleatorias Distribución condicional Para n variables: donde f 2 es la distribución marginal de X 1,... X k

35 Varias variables aleatorias Ley de la probabilidad total y teorema de Bayes Para n variables: donde y Y el teorema de Bayes para variables aleatorias es:

36 Algunas propiedades de las distribuciones Las distribuciones de probabilidad tienen toda la información estadística de las variables aleatorias en cuestión. En muchas ocasiones algunas propiedades de las distribuciones nos dan suficiente información estadística de las variables aleatorias.

37 Función Cuantil Si es la función de distribución acumulativa, se dice que es la función cuantil. Así es el valor más pequeño de x tal que

38 Otras propiedades: Variables aleatorias Moda Mediana Valor medio

39 Los llamados valores esperados (o promedios o momentos) son cantidades estadísticas simples que nos dan información de las variables aleatorias.

40 Valor esperado, valor promedio, promedio, valor medio, media, o primer momento La propiedad más utilizada para caracterizar una distribución de variables aleatorias es el llamado valor medio. Si X es una variable aleatoria el valor esperado E[X] está definido como f(x) es la función de probabilidad (discreto) o densidad de probabilidad (continuo)

41 En general, para una función de variables aleatorias, tenemos

42 Una propiedad: También, si f(x) y g(x) son funciones de probabilidad discretas (o continuas) tenemos que: donde a y b son constantes (números reales)

43 Varianza (que tan dispersos se encuentran los valores de una variable aleatoria respecto al valor medio) Sea X es una variable aleatoria, su varianza está dada por: donde

44 Se pueden demostrar las siguientes igualdades para la varianza (a y b constantes):

45 Generalización: k-ésimo momento Este se define como: donde

46 Similarmente, el k-ésimo momento central viene definido por

47 Comentario: Los momentos centrales y (normalizados) se les llama: coeficiente de asimetría/sesgo (skewness) y curtosis (kurtosis). Sesgo negativo Sesgo positivo

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49 En ocasiones es conveniente calcular los momentos a trave s de otra funcio n: Función generadora (generatriz) de probabilidad donde f n =Pr(X=x n ) y x n toma valores enteros no negativos. De aquí tenemos que

50 Evaluando en t=1: Variables aleatorias

51 Utilizando el resultado anterior, vemos que