VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

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1 VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS M. en C. Juan Carlos Gutiérrez Matus Instituto Politécnico Nacional Primavera 2004 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus

2 Definición de una V.A.C. Definición de una V.A.C. Si por ejemplo; un experimento consiste en seleccionar en forma aleatoria un número entre 0 y 1. Existen un número infinito de posibles resultados con la misma probabilidad. Por lo cual: P(cada punto) = P(X = x) = 0 Entonces, una Variable Aleatoria Continua es aquella con una cantidad infinita e incontable de posibles valores y con una probabilidad de cero para cada valor particular. IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 1

3 Función de Densidad de Probabilidad Función de Densidad de Probabilidad Sea X una variable aleatoria continua, entonces f(x) es una legítima función de densidad de probabilidad (fdp) si: 1) El área bajo f(x) es igual a 1 2) Nunca es negativa R f(x)dx = 1 f(x) 0, x IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 2

4 Función de Densidad de Probabilidad 3) La probabilidad de que X esté en cierta región A A R P(X A) = f(x)dx esto es, A P(x 1 < X < x 2 ) = x2 x 1 f(x)dx Lo cual quiere decir, que la probabilidad de que la VAC X tome un valor dentro del intervalo (x 1, x 2 ), es igual a el área bajo f(x) en dicho intervalo. IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 3

5 Función de Densidad de Probabilidad Ejemplo: Sea X una variable aleatoria continua con fdp: { cx 2 si 0 < x < 2 f(x) = 0 otro caso Encuentre el valor de la constante c. 1 = R f(x)dx = 2 0 Encuentre P(0 < X < 1). cx 2 dx = 8 3 c, c = 3 8 P(0 < X < 1) = x2 dx = 1 8 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 4

6 Función de Densidad de Probabilidad f(x) = { 3x 2 /8 si 0 < x < 2 0 otro caso f(x) X IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 5

7 Función de Densidad de Probabilidad Encuentre P (0 < X < < X < 1.5). = = P [(0 < X < 1) (0.5 < X < 1.5)] P(0.5 < X < 1.5) P(0.5 < X < 1) P(0.5 < X < 1.5) = (3/8) x 2 dx (3/8) x 2 dx = 7/26 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 6

8 Función de Distribución Acumulada Función de Distribución Acumulada La función de distribución acumulada (fda), está definida por F(x) = P(X x) En el caso de una variable aleatoria continua esto implica F(x) = x f(x)dx Teorema: Si X es una V.A. Continua: f(x) = F (x) o F(x) = f(x)dx IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 7

9 Función de Distribución Acumulada Ejemplo: Sea X una variable aleatoria continua con fdp: f(x) = { 3x 2 /8 si 0 < x < 2 0 otro caso Calcular la función de distribución acumulada. F(x) = f(x) dx = 3x 2 8 dx = x3 8 0 si x 0 x 3 /8 si 0 < x < 2 1 si x 2 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 8

10 F(x) = 0 si x 0 x 3 /8 si 0 < x < 2 1 si x 2 Función de Distribución Acumulada F(x) X IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 9

11 Valor Esperado o Media Valor Esperado o Media La media o valor esperado de una V.A.C. X, esta dado por µ = E[X] = xf(x)dx El valor esperado de una función de X, por ejemplo g(x), esta dado por µ = E[g(X)] = g(x)f(x)dx R R IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 10

12 Valor Esperado o Media Ejemplo: Sea X una variable aleatoria continua con fdp: f(x) = { 3x 2 /8 si 0 < x < 2 0 otro caso a) Calcular el valor esperado de X: E[X] = xf(x) dx R 2 3x 3 = 0 8 dx 2 = 3x4 = IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 11 0

13 b) Calcular el valor esperado de g(x) = X 2 : E [ X 2] = x 2 f(x) dx = R 2 3x dx 2 = 3x Valor Esperado o Media = 12 5 = 2.4 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 12

14 Varianza Varianza La varianza para una VA Continua X está dada por Var(X) = E [ (X µ) 2] = E [ X 2] (E[X]) 2 Desviación Estándar: σ = + Var(X) Ejemplo: En el ejemplo anterior la varianza está dada Var(X) = E [ X 2] (E[X]) 2 = 2.4 (1.5) 2 = 0.15 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 13

15 Modelo Uniforme Continuo Modelo Uniforme Continuo Si X es igualmente probable en cualquier parte dentro del intervalo (a, b), entonces X tiene una distribución uniforme en (a, b). Es decir X U(a, b). f(x) = 1 b a, a < x < b 0, de otro modo. IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 14

16 Modelo Uniforme Continuo Modelo Uniforme Continuo F(x) = 0, x a x a b a, a < x < b 1, x b E[X] = a + b (b a)2 ; Var(X) = 2 12 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 15

17 Modelo Triangular Modelo Triangular Este es muy bueno cuando se quiere modelar variables aleatorias a partir de una cantidad limitada de datos (mínimo, moda, máximo). Si se aplica a una VAC, X Tri(a, b, c). 2(x a) a x < b (b a)(c a) f(x) = 2(c x) b x c (c b)(c a) 0 de otro modo IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 16

18 Modelo Triangular Modelo Triangular E[X] = a + b + c 3 Var(X) = a2 + b 2 + c 2 ab ac bc 18 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 17

19 Modelo Exponencial Modelo Exponencial Esta distribución puede describir fenómenos físicos, tales como, el tiempo t para que un núcleo radioactivo decaiga, el tiempo x para que un componente falle, etc. Así, X Exp(λ), es decir, que X tiene una distribución exponencial con parámetro λ > 0, E[X] = 1/λ, Var(X) = 1/λ 2, IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 18

20 Modelo Exponencial Modelo Exponencial función de densidad de probablidad f(x) = { λe λx x > 0 0 x 0 y función de distribución acumulada F(x) = { 1 e λx x > 0 0 x 0 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 19

21 Modelo Exponencial Modelo Exponencial f(x) = { 4e 4x x > 0 0 x IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 20

22 Modelo Exponencial Modelo Exponencial F(x) = { 1 e 4x x > 0 0 x IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 21

23 Teorema: Sea X Exp(λ), entonces P(X > s + t X > s) = P(X > t) Modelo Exponencial Ejemplo: Suponga que la vida de un foco es exponencial con una media de 1000 horas. Si el foco sobrevive 1500 horas, cuál es la probabilidad de que sobreviva otras 1000 horas? P(X > 2500 X > 1500) = P(X > 1000) = 1 F(1000) = e λ(1000) = e 1 = 0.37 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 22

24 Relación con la distribución de Poisson Relación con la distribución de Poisson Sea X la cantidad de tiempo hasta el primer arribo en un proceso Poisson con un ritmo λ. Entonces X Exp(λ). Note que el número de arribos en [0, x] es una VAD Pois(λx). F(x) = P(X x) = 1 P(ningún arrivo en [0, x]) = 1 e λx(λx) 0 0! = 1 e λx IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 23

25 Modelo Normal Modelo Normal Es quizá, la más importante función de densidad en probabilidad y estadística. Sea X Nor(µ, σ 2 ), es decir, X tiene una distribución normal con parámetros µ (media) y σ 2 (varianza), así como una fdp: f(x) = 1 2πσ 2 e (x µ)2 2σ 2, x R Esta distribución describe en forma aproximada muchos de los fenómenos que ocurren en la naturaleza, la industria y la investigación; como lo son, mediciones y errores. IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 24

26 Curva Normal Modelo Normal µ σ µ µ+σ IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 25

27 Misma media pero diferente varianza µ = 0, σ = 1.0 µ = 0, σ = 0.6 Modelo Normal IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 26

28 Misma varianza pero diferente media 0.5 µ = -0.5, σ = 1.0 µ = 1.5, σ = 1.0 Modelo Normal IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 27

29 Distribución Normal Estándar Distribución Normal Estándar La distribución Nor(0, 1) es llamada distribución normal estándar. Lo bueno de esta distribución normal estándar, es el hecho de que hay tablas disponibles para su función de distribución acumulada. Es posible estandarizar cualquier variable aleatoria normal X en una normal estándar al aplicar la transformación: Z = x µ σ IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 28

30 Distribución Normal Estándar Distribución Normal Estándar Notación: La variable normal estándar Nor(0, 1) es frecuentemente denotada por la letra Z. La función de densidad de Nor(0,1) es: φ(z) 1 2π e z2 2, z R La función de distribución acumulada de Nor(0, 1) es: Φ(z) z φ(t)dt, z R IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 29

31 Distribución Normal Estándar Distribución Normal Estándar Por ello: P(Z a) = Φ(a) P(Z b) = 1 Φ(b) P(a Z b) = Φ(b) Φ(a) Φ(0) = 1/2 Φ( b) = P(z b) = P(z b) = 1 Φ(b) P( b Z b) = 2Φ(b) 1 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 30

32 Distribución Normal Estándar Distribución Normal Estándar Ejemplo: Sea X Nor(21, 4), determine la probabilidad P(19 < X < ( 22.5) 19 µ = P < X µ < 22.5 µ ) ( σ σ σ ) = P < Z < 2 2 = P( 1 < Z < 0.75) = Φ(0.75) Φ( 1) = Φ(0.75) [1 Φ(1)] = [ ] = IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 31

33 Propiedad Aditiva de la Distribución Normal Propiedad Aditiva de la Distribución Normal Teorema: Si X 1,..., X n son independientes y X i Nor(µ i, σ 2 i ), i = 1,..., n Entonces: Y n a i X i + b Nor( n a i µ i + b, n a 2 i σ2 i ) i=1 i=1 i=1 Es decir, una combinación lineal variables normales independientes es en sí misma normal. IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 32

34 Propiedad Aditiva de la Distribución Normal Propiedad Aditiva de la Distribución Normal Ejemplo: Suponga que, en UPIICSA, los pesos de los hombres es H Nor(68,4) y los pesos de las mujeres es M Nor(65,1). Si se selecciona a un hombre y una mujer al azar de forma independiente. Encuentre la probabilidad de que la mujer sea más pesada que el hombre. M H Nor(E[M H],Var(M H)) Nor(65 68,1 + 4) Nor( 3, 5) IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 33

35 Propiedad Aditiva de la Distribución Normal P(M > H) = P(M H > 0) ( = P Z > ) 5 = 1 Φ(3/ 5) = 0.09 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 34