FORMULARIO DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

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1 FORMULARIO DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Jorge M. Galbiati pág. DISTRIBUCION BINOMIAL 2 DISTRIBUCION POISSON 4 DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA 5 DISTRIBUCION GEOMETRICA 7 DISTRIBUCION NORMAL 8 DISTRIBUCION JI-CUADRADO DISTRIBUCION T DE STUDENT 3 DISTRIBUCION F DE SNEDECOR 5 DISTRIBUCION UNIFORME 7 DISTRIBUCION EXPONENCIAL 8 DISTRIBUCION GAMA 20 DISTRIBUCION BETA 23 TRANSFORMACION DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 25

2 DISTRIBUCION BINOMIAL Función de probabilidad: p(x) = n! x!(n x)! px ( p) n x si x =0,, 2,..., n Espacio paramétrico: n {, 2, 3,...} p (0, ) Valor esperado: np Varianza: np( p) Función generadora de momentos: ( p + pe t ) n p(y) 0 x n y APROXIMACION NORMAL DE LA BINOMIAL Si una variable aleatoria X tiene distribución binomial con parámetros n y p, entonces si n es grande y si p no es ni muy cercano a cero ni muy cercano a, la variable aleatoria Z = X np (np( p)) tiene distribución aproximada normal es tandar. En la práctica, si n es grande y p no es ni muy pequeño ni muy grande, si se requiere la probabilidad acumulada F (x) conf distribución binomial, se puede obtener su valor aproximado buscando en la tabla normal ( x 0,5 np ) F N (np( p) en que F N es la distribución normal estándar. Se puede utilizar, como criterio, las condiciones simultáneas n>30, np > 5 y n( p) > 5. 2

3 APROXIMACION POISSON DE LA BINOMIAL. Si una variable aleatoria X tiene distribución binomial con parámetros n y p, entonces si n es grande, y p muy cercano a cero, la variable aleatoria X tiene distribución aproximada poisson con parámetro λ = np. En la práctica, si n es grande y p cercano a cero, si se requiere la probabilidad acumulada F (x) conf distribución binomial, se puede obtener su valor aproximado buscando en la tabla poisson F P (x) = x e λ (λ) y y=0 y! en que F P es la distribución poisson con parámetro λ = np. Se puede utilizar, como criterio, las condiciones simultáneas n > 30 y np 5. 3

4 DISTRIBUCION POISSON Función de probabilidad: p(x) = e λ λ x x! si x =0,, 2,... Espacio paramétrico: λ (0, + ) Valor esperado: λ Varianza: λ Función generadora de momentos: e [λ(et )] p(y) 0 x y APROXIMACION NORMAL DE LA POISSON. Si una variable aleatoria X tiene distribución Poisson con parámetro λ, entonces si λ es grande, la variable aleatoria Z = X λ λ tiene distribución aproximada normal estándar. En la práctica, si λ es grande, si se requiere la probabilidad acumulada F (x) conf distribución Poisson, se puede obtener su valor aproximado buscando en la tabla normal ( x λ ) F N (λ en que F N es la distribución normal estándar. Se puede utilizar, como criterio, la condición λ>36. 4

5 DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA Función de probabilidad: p(x) = k! (N k)! n!(n k)! (n x)!(n k n+x)! N! n!(n n)! si x = a, a +,a+2,..., b en que a = max(0; n + k N) yb = min(k, n). x es el número de éxitos en la muestra. Espacio paramétrico: N,k y n enteros positivos, tales que k < N, n < Ny n<n k. N es el tamaño de la población. k es el número de éxitos en la población. n es el tamaño de la muestra. Valor esperado: Varianza: nk N nk ( k )( ) N n N N N Función generadora de momentos: (N n)!(n k)! H( n; k; N k n +;e t ) N! donde H(p, q, r, z) =+ pq r z + p(p+)q(q+)! r(r+) z 2 + p(p+)(p+2)q(q+)(q+2) z 3 2! r(r+)(r+2) 3! (función hipergeométrica) p(y) a x b y 5

6 APROXIMACION BINOMIAL DE LA HIPERGEOMETRICA Si una variable aleatoria X tiene distribución hipergeométrica con parámetros k N, k y n, entonces si N es grande y si no es ni muy cercano a cero ni muy N cercano a, X tiene distribución aproximada binomial con parámetros n y p = k. N 6

7 DISTRIBUCION GEOMETRICA Función de probabilidad: p(x) = p( p) x si x =, 2, 3,...b x es el número de intentos hasta lograr el primer éxito. Espacio paramétrico: Valor esperado: p p (0, ), probabilidad de éxito en un intento. Varianza: p p 2 Función generadora de momentos: e t p si t< log( p) ( p)e t p(y) a x b y 7

8 DISTRIBUCION NORMAL Función de probabilidad: [ p(x) = exp (2π) σ (x ] µ)2 2σ 2 para x (, + ) Espacio paramétrico: media µ (, + ) varianza σ 2 (0, + ) Valor esperado: µ Varianza: σ 2 Función generadora de momentos: e (µt+σ2 t 2 /2) f(y) 0 x y DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR Es un caso especial de la normal, en que µ =0yσ 2 =. Función de densidad: [ ] f(x) = exp x2 (2π) 2 para x (, + ) Valor esperado: 0 Varianza: Función generadora de momentos: e t2 /2 8

9 RELACION CON LA NORMAL ESTANDAR Los valores de la función de distribución de la normal con parámetros µ y σ 2 se obtienen de la tabla de distribución normal estándar (en que µ =0yσ 2 =) como se muestra a continuación. Por esa razón sólo se entrega la tabla de la normal estándar. Si se requiere la probabilidad acumulada hasta la cuantila x, se efectúa la transformación z = x µ y se busca la probabilidad asociada a la cuantila z en la tabla de σ distribución normal estándar. Al revés, si se quiere saber a qué cuantila corresponde una probabilidad acumulada dada, F (z), se busca la cuantila z asociada a F (z) en la tabla de distribución normal estándar. Entonces la correspondiente cuantila de la normal con parámetros µ y σ 2 es x = σz + µ. 9

10 FUNCIONES LINEALES DE NORMALES.- Si X es una variable aleatoria normal con valor esperado µ yvarianzaσ 2,sia y b son constantes, entonces la variable aleatoria a + bx tiene distribución normal, con valor esperado a + bµ yvarianzab 2 σ 2. Como caso particular, la variable aleatoria estandarizada Z = X µ tiene distribución normal estándar. σ 2.- Si X y X 2 son variables aleatorias normales (pág. 50), estadísticamente independientes, con valores esperados respectivos µ y µ 2, con varianzas respectivas σ 2 y σ2 2,ysia y b son dos números reales, entonces la variable aleatoria ax + bx 2 tiene distribución normal con valor esperado aµ + bµ 2 yvarianzaa 2 σ 2 + b 2 σ Si X, X 2,..., X n son n variables aleatorias normales con valor esperado µ, yvarianzaσ 2 entonces el promedio X= n n i= X i tiene distribución normal con valor esperado µ yvarianzaσ 2 /n. TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL Si X,X 2,..., X n son n variables aleatorias estadísticamente independientes, con valor esperado µ yvarianzaσ 2 y cualquier distribución probabilística, continua o discreta, entonces si n es grande, la variable aleatoria Z= X µ σ/ tiene distribución n aproximada normal estándar 0

11 DISTRIBUCION JI CUADRADO Función de densidad: f(x) = 2 k/2 Γ(k/2) xk/2 e x/2 si x > 0 Espacio paramétrico: Grados de libertad k {, 2, 3,...} Valor esperado: k Varianza: 2k Función generadora de momentos: ( 2t) para t < /2 k/2 f(y) 0 x y APROXIMACION NORMAL DE LA JI-CUADRADO. Si una variable aleatoria X tiene distribución ji-cuadrado con k grados de libertad, entonces si k es grande la variable aleatoria Z = X k (2k) tiene distribución aproximada normal standard. En la práctica, si k es grande, si se requiere la probabilidad acumulada F (x) con F distribución ji-cuadrado, se puede obtener su valor aproximado buscando en la tabla normal ( x k ) F N (2k) en que F N es la distribución normal estándar. Se puede utilizar, como criterio, la condición k>200.

12 CONSTRUCCION DE UNA JI-CUADRADO A PARTIR DE NORMALES.- Si Z, Z 2,..., Z n son n variables aleatorias normales estándar estadísticamente independientes, entonces la variable aleatoria n i= Z2 i tiene distribución ji-cuadrado con n grados de libertad. 2.- Si X, X 2,..., X n son n variables aleatorias normales con valor esperado µ y varianza σ 2, independientes, entonces la variable aleatoria n (X i X) 2 i= tiene distribución ji-cuadrado con n grados de libertad. σ 2 Además esta expresión es estadísticamente independiente del promedio X. 2

13 DISTRIBUCION T DE STUDENT Función de densidad: ( ) k+ Γ 2 f(x) = Γ ( k/2 ) (kπ) ( + x2 k ) k+ 2 para x (, + ) Espacio paramétrico: Grados de libertad k {, 2, 3,...} Valor esperado: 0 para k > Varianza: k para k > 2 k 2 Función generadora de momentos: no existe f(y) 0 x y VALORES DE PROBABILIDAD MENORES QUE 0.5 Por la simetría de la distribución t de student, rige la igualdad F ( x) = F (x). Por esa razón, la tabla sólo tiene probabilidades mayores que 0.5, asociadas a cuantiles positivos. Si se requiere el cuantil asociado a una probabilidad acumulada P menor que 0.5, se ingresa a la tabla el valor de probabilidad acumulada P ; al correspondiente cuantil x obtenido de la tabla se le pone signo menos, quedando x como el cuartil requerido. 3

14 APROXIMACION NORMAL DE LA T DE STUDENT Si una variable aleatoria X tiene distribución t de student con k grados de libertad, entonces si k es grande la variable aleatoria X tiene distribución aproximada normal standard. En consecuencia, si k es grande, si se requiere la probabilidad acumulada F (x) con F distribución t de student, se puede obtener su valor aproximado buscando en la tabla normal el valor F N (x),enquef N es la distribución normal standard. Se puede utilizar, como criterio, la condición k>200. CONSTRUCCION DE UNA T DE STUDENT A PARTIR DE UNA NORMAL Y UNA JI-CUADRADO.- Si Z es una variable aleatoria normal estándar y V es una variable aleatoria ji-cuadrado con n grados de libertad, ambas estadísticamente independientes, Z entonces la variable aleatoria (X/n) tiene distribución t de student con n grados de libertad. 2.- Si X, X 2,..., X n son n variables aleatorias normales con valor esperado µ yvarianzaσ 2,estadísticamente independientes, entonces la variable aleatoria X µ s/ n tiene distribución t de student con n grados de libertad, en que X es el promedio y s 2 = n i= (X i X) 2 n es la varianza muestral. 4

15 DISTRIBUCION F DE SNEDECOR Función de densidad: ( ) n+d Γ 2 f(x) = ( ) ( ) Γ Γ n 2 d 2 ( n/d) n/2 x n/2 (+ nd x ) n+d 2 si x > 0 Espacio paramétrico: grados de libertad del numerador n y grados de libertad del denominador d ambos enteros positivos. Valor esperado: d para d > 2 d 2 Varianza: 2d 2 (n+d 2) n(d 2) 2 (d 4) para d > 4 Función generadora de momentos: no existe f(y) 0 x y INVERSION DE LA F DE SNEDECOR Se puede usar la siguiente relación para calcular valores que no aparecen en la tabla: Si la variable aleatoria X tiene distribución F con n grados de libertad del numerador y d grados de libertad del denominador, entonces /X tiene distribución F, cond grados de libertad del numerador y n grados de libertad del denominador. Por lo tanto se pueden obtener más valores de los que aparecen en la tabla, mediante en la relación F n,d (x) = F d,n ( )enquef es el valor de probabilidad acumulada x de la tabla, el primer subíndice corresponde a los grados de libertad del numerador, el segundo a los grados de libertad del denominador. 5

16 CONSTRUCCION DE UNA F DE SNEDECOR A PARTIR DE DOS JI-CUADRADO.- Si X es una variable aleatoria ji-cuadrado con n grados de libertad e Y es una variable aleatoria ji-cuadrado con d grados de libertad, estadísticamente independientes, entonces el cuociente X/n tiene distribución F de Snedecorcon n grados Y/d delibertadenelnumeradoryd grados de libertad en el denominador. 2.-También Y/d tiene distribución F de Snedecor con d grados de libertad en el X/n numerador y n grados de libertad en el denominador. 6

17 DISTRIBUCION UNIFORME Función de densidad: Espacio paramétrico: f(x) = b a si a < x b <a,b< a<b Valor esperado: a+b 2 Varianza: (b a) 2 2 Función generadora de momentos: e bt e at (b a)t f(y) b - a 0 a x b y VALORES DE LA DISTRIBUCION UNIFORME La función de distribución de la uniforme se puede calcular analíticamente mediante la fórmula { 0 si x a F (x) = si a < x b x a b a si x > b 7

18 DISTRIBUCION EXPONENCIAL Función de densidad: f(x) = λ e λx si x > 0 Espacio paramétrico: Tasamediadeocurrencia λ>0 Valor esperado: λ Varianza: λ 2 Función generadora de momentos: λ para t < λ λ t f(y) 0 x y VALORES DE LA DISTRIBUCION EXPONENCIAL La función de distribución de la exponencial se puede calcular analíticamente mediante la fórmula F (x) = e λx para x>0. 8

19 RELACION ENTRE UNA POISSON Y UNA EXPONENCIAL.- Si X es una variable aleatoria Poisson con parámetro λ, que describe el número de ocurrencias de un fenómeno por unidad de tiempo, entonces la variable aleatoria que describe el tiempo entre ocurrencias tiene distribución exponencial con parámetro λ. En tal caso el parámetro λ es la tasa media de ocurrencias por unidad de tiempo, y θ = /λ es el tiempo medio entre ocurrencias. 2.- En forma recíproca, si Y es una variable aleatoria exponencial con parámetro λ, que describe el tiempo entre ocurrencias de un fenómeno, entonces el número de veces que ocurre el fenómeno en una unidad de tiempo, es una variable aleatoria con distribución Poisson, con el mismo parámetro, que representa la tasa media de ocurrencias por unidad de tiempo. 9

20 DISTRIBUCION GAMA Función de densidad: Hay dos formas usuales de parametrizar esta distribución. Primera parametrización (Par. ): f(x) = λp Γ(p) xp e λx si x > 0 Segunda parametrización (Par. 2): f(x) = θ p Γ(p) xp e x θ si x > 0 Espacio paramétrico: Par. : Parametro de escala λ > 0 P arametro de forma p > 0 Par. 2: Parametro de escala θ > 0 P arametro de forma p > 0 Valor esperado: Par. : p λ Par. 2: pθ Varianza: Par. : p λ 2 Par. 2: pθ 2 Función generadora de momentos: Par. : ( λ λ t) p para t < λ Par. 2: ( θt) p para t < θ 20

21 f(y) 0 x y Casos particulares: ) Si p= (parámetro de forma) entonces la gama se convierte en una exponencial cuyo parámetro es igual al parámetro de escala de la gama, λ (Par. ) o equivalentemente θ (Par. 2). 2) Si p= k,enquek es cualquier número entero positivo, y si λ= (Par. ) o 2 2 equivalentemente θ=2 (Par. 2), entonces la gama se convierte en una ji-cuadrado cuyo parámetro grados de libertad es igual a k. La función de distribución gama no se puede calcular analíticamente, salvo en casos especiales. 2

22 RELACIONES ENTRE GAMAS Lo siguiente se expresa en términos de la primera parametrización, con el parámetro λ. Es equivalente para la segunda parametrización, con el parámetro θ. Sólo se debe sustituir λ por θ..- Si X, X 2,..., X n son n variables aleatorias gama estadísticamente independientes, conparámetros de forma respectivos p, p 2,..., p n,yconparámetro de escala común λ, entonces la variable aleatoria Y = n i= X i tiene distribución gama con parámetro de forma p = n i= p i yparámetro de escala λ. 2.- Si X y X 2 son variables aleatorias gama estadísticamente independientes, con parámetros de forma respectivos p y p 2 yparámetro de escala común λ entonces las variables aleatorias U=X + X 2 y V = X X +X 2 son independientes, U tiene distribución gama con parámetro de forma p + p 2 ydeescalaλ,yv tiene distribución beta (pág. 04) con parámetros r = p y s = p Caso especial de. Si X,X 2,..., X n son n variables aleatorias exponenciales estadísticamente independientes, conparámetro común λ, entonces la variable aleatoria Y = n i= X i tiene distribución gama con parámetro de forma p = n y parámetro de escala λ. A esta forma especial de gama, conparámetro de forma entero, se le suele dar el nombre de distribución erlang. 4.- Caso especial de. Si X, X 2,..., X n son n variables aleatorias ji-cuadrado estadísticamente independientes, con parámetros respectivos (grados de libertad) k,k 2,..., k n, entonces la variable aleatoria Y = n i= X i tiene distribución jicuadrado con k = n i= k i grados de libertad. 22

23 DISTRIBUCION BETA Función de densidad: Γ(r + s) f(x) = Γ(r) Γ(s) xr ( x) s si 0 <x< Espacio paramétrico: r>0,s>0 Valor esperado: r r+s Varianza: rs (r+s) 2 (r+s+) Momentos: La función generadora de momentos no tiene una forma analítica. Sin embargo, el momento m-ésimo puede obtenerse directamente, mediante la fórmula (r+s+)! (r+m)! µ m = para m=, 2,.. (r+s+m+)! r! f(y) f(y) 0 x y 0 x y En la figura de la izquierda, r<s, mientras que en la figura de la derecha, r>s. Si r y s son iguales, la densidad es simétrica. 23

24 La función de distribución beta no se puede calcular analíticamente, salvo en casos especiales. Caso particular: Si r= y s= entonces la beta se convierte en una uniforme con parámetros a=0 y b=. 24

25 TRANSFORMACION DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS.- Si X es una variable aleatoria continua con función de densidad f X (x) yg() es una función creciente, entonces la nueva variable aleatoria Y = g(x) tiene función de densidad dada por la fórmula f Y (y) = g [g (y)] f X[g (y)] en que denota el valor absoluto, g es la derivada y g es la inversa de la función g. 2.- Caso especial de. Si la función g(x) delpárrafo es una función lineal g(x) =a + bx, enquea y b son constantes, b 0, entonces la variable aleatoria Y = g(x) tiene densidad f Y (y) = f ( y a b X )) b 25