Modelos Básicos de Distribuciones Discretas y Continuas

Transcripción

1 Modelos de Distribuciones Discretas y Continuas 1/27 Modelos Básicos de Distribuciones Discretas y Continuas Departamento de Estadística e Investigación Operativa Universidad de Sevilla

2 Contenidos Modelos de Distribuciones Discretas y Continuas 2/27 1 Introducción. Variables Aleatorias 2 Distribución de Bernoulli 3 Distribución Uniforme Discreta en n puntos 4 Distribución Binomial 5 Distribución Geométrica 6 Distribución hipergeométrica 7 Distribución de Poisson 8 Distribución Uniforme Continua 9 Distribución Gamma 10 Distribución Exponencial 11 Distribución Beta 12 Distribución de Cauchy 13 Distribución Normal

3 Introducción. Variable Aleatoria. Modelos de Distribuciones Discretas y Continuas 3/27 Espacio Muestral [o de resultados del experimento]: Ω σ-álgebra [o espacio de sucesos]: F Probabilidad: función de conjunto P : F [0, 1]. Axiomática de Kolmogorov. Espacio de probabilidad: (Ω, F, P) σ-álgebra de Borel en IR: B(IR). Generada por los intervalos de la forma (, x]. Hay otras formas de generarla. En el Cálculo de Probabilidades es el σ-álgebra sobre IR usualmente empleada. Próximamente se generalizará para IR n. Variable Aleatoria, X 1 (B) F X : Ω IR B B(IR)

4 Función de Distribución Modelos de Distribuciones Discretas y Continuas 4/27 Función de distribución de X, F X (t) = P[X 1 ((, t])] = notación = P[X t] t IR Bien definida. Monótona no decreciente. Continua por la derecha t IR. F X ( ) = 0. F X (+ ) = 1

5 Variables Aleatorias Discretas X es discreta cuando F X es una función constante a trozos o escalonada. Saltos en un conjunto numerable {x k } k K, finito o infinito. Función de probablidad, P[X 1 ({x k })] = notación = P[X = x k ] = p k k K Esperanza matemática, E[X] = k K x k P[X = x k ] Siempre existe si K es finito. Si K es infinito, existe si la suma es convergente. Ejemplo. No existe la esperanza para una variable aleatoria con función de probabilidad, P[X = k] = 6 π 2 1 k 2 k IN por no ser convergente la serie, Modelos de Distribuciones Discretas y Continuas 5/27 k=1 1 k

6 Variables Aleatorias [Absolutamente] Continuas X es continua cuando F X es una función continua. La probabilidad no se reparte en un conjunto numerable. Si la función de distribución se puede expresar como, F X (t) = t f (x)dx siendo f no negativa, entonces diremos que X es absolutamente continua. La función f se denomina función de densidad, y obviamente ha de cumplir, Integrable en IR. + f (x)dx = 1 Esperanza matemática, E[X] = xf (x)dx No siempre existe pues la integral puede ser divergente. Ejemplo. No existe la esperanza para una variable aleatoria con función de densidad, f (x) = 1 1 π 1 + x 2 x IR Modelos de Distribuciones Discretas y Continuas 6/27

7 Función Generatriz de Momentos Modelos de Distribuciones Discretas y Continuas 7/27 Dada una variable aleatoria, X, se define la Función Generatriz de Momentos como, M X (t) = E[e tx ] supuesto que la región de convergencia no se reduce al caso trivial t = 0. X Discreta, M X (t) = k K e t x k P[X = x k ] X Continua, M X (t) = + e t x f (x)dx

8 Función Generatriz de Momentos. Ejemplos Modelos de Distribuciones Discretas y Continuas 8/27 X Discreta con función de probabilidad P[X = k] = 1/2 k, k IN siempre que, M X (t) = k=1 e t k 1 2 k = et /2 1 e t /2 e t 2 < 1 es decir t < ln(2) Región de convergencia X Continua con función de densidad, f (x) = 1 π M X (t) = x 2, x IR + 1 π e t x 1 + x 2 dx Integral divergente si t 0. No existe la función generatriz de momentos.

9 Momentos. Cálculo a partir de M X (t) Modelos de Distribuciones Discretas y Continuas 9/27 Dada la variable aleatoria X, se define el momento de orden n IN como, k K x k n P[X = x k ] X discreta E[X n ] = + f (x)dx X continua supuesto convergentes la serie o la integral. Esperanza. Momento de orden n = 1. E[X]. Momento de orden n = 2. E[X 2 ]. Varianza. V [X] = E[X 2 ] E[X] 2 Relación con la Función Generatriz de Momentos, E[X n ] = d n dt M n X (t) Derivamos n veces, y hacemos t = 0, ó t 0 si se produce indeterminación. t=0

10 Distribución de Bernoulli Modelos de Distribuciones Discretas y Continuas 10/27 Es de una variable aleatoria X : Ω {0, 1}, es decir, recorre dos valores, 0 ó 1, con probabilidades, E[X] = p V [X] = pq P[X = 1] = p P[X = 0] = 1 p = q p [0, 1] M X (t) = e t p + q Notación X Be(p)

11 Distribución Uniforme Discreta en n puntos Modelos de Distribuciones Discretas y Continuas 11/27 Dado n IN, diremos que la variable aleatoria discreta X tiene una distribución uniforme discreta en n puntos cuando recorre los valores {1, 2,..., n} con probabilidades, P[X = k] = 1 n k = 1, 2,... n E[X] = (n + 1)/2 V [X] = (n 2 1)/12 Función Generatriz de Momentos, Notación X U[1..n] M X (t) = et (e nt 1) n(e t 1)

12 Distribución Binomial Modelos de Distribuciones Discretas y Continuas 12/27 Dados n IN y p [0, 1], diremos que la variable aleatoria discreta X tiene una distribución binomial de parámetros n y p, si recorre los valores {0, 1,..., n}, siendo, P[X = k] = ( n k ) p k (1 p) n k, k = 0,..., n E[X] = np V [X] = npq M X (t) = (q + pe t ) n Notación X Bi(n, p)

13 Distribución Binomial. Propiedades. Modelos de Distribuciones Discretas y Continuas 13/27 Si repetimos n veces un experimento con dos resultados posibles, E, éxito, y F, fracaso, y probabilidad de éxito p, siendo independientes las repeticiones, el número de éxitos obtenidos es una variable aleatoria con distribución Bi(n, p). Si X 1,..., X n son variables aleatorias de Bernoulli, Be(p), independientes, entonces, n X i Bi(n, p) i=1 Si X 1,..., X n son variables aleatorias independientes, con distribución binomial, siendo X i Bi(n i, p), i = 1,..., n, entonces n i=1 X i Bi( n i=1 n i, p). [Reproductividad con respecto a n].

14 Distribución Geométrica Modelos de Distribuciones Discretas y Continuas 14/27 Diremos que la variable aleatoria discreta X tiene una distribución geométrica si recorre los valores k IN con función de probabilidad, P[X = k] = (1 p) k 1 p k IN E[X] = 1/p V [X] = q/p 2 M X (t) = pe t /(1 qe t ) Notación X Ge(p) t < ln(q) Si consideramos el experimento consistente en repetir un experimento con dos resultados posibles, E, éxito, y F, fracaso, con probabilidades respectivas p y q = 1 p, y las repeticiones son independientes, el número de repeticiones o ensayos hasta obtener el primer éxito es una variable aleatoria con distribución Ge(p).

15 Distribución Geométrica. Definición Alternativa Modelos de Distribuciones Discretas y Continuas 15/27 Si consideramos el experimento consistente en repetir un experimento con dos resultados posibles, E, éxito, y F, fracaso, con probabilidades respectivas p y q = 1 p, y las repeticiones son independientes, el número de fracasos PREVIOS al primer éxito es una variable aleatoria que también se suele denominar como Geométrica. En en este caso, P[X = k] = (1 p) k p k IN E[X] = q/p V [X] = q/p 2 M X (t) = p/(1 qe t ) Notación X Ge(p) t < ln(q)

16 Distribución Hipergeométrica Modelos de Distribuciones Discretas y Continuas 16/27 Consideremos un conjunto, U, con N elementos, de los cuales, N 1 son de tipo I y N 2 = N N 1 de tipo II. De la población se extrae una muestra de n N elementos, sin reemplazamiento y sin considerar el orden como característica diferenciadora, de forma que todas las posibles combinaciones sean equiprobables, y se considera la variable aleatoria X = número de elementos de tipo I en la muestra obtenida. Observemos que si k es un valor factible, entonces, ) P[X = k] = ( N1 )( N2 k n k ( N n) debiendo verificarse k n, k N 1, n k N 2, k 0, es decir, max{0, n + N 1 N} k min{n, N 1 } La distribución así obtenida se denomina hipergeométrica. E[X] = nn 1 /N V [X] = (N n)(n N 1 )nn 1 /(N 2 (N 1)) Notación X H(N, N 1, n)

17 Distribución de Poisson Modelos de Distribuciones Discretas y Continuas 17/27 Diremos que una variable aleatoria discreta, X, sigue una distribución de Poisson si recorre los valores k IN con función de probabilidad, P[X = k] = e λ λ k k! λ > 0 E[X] = λ V [X] = λ M X (t) = e λ(et 1) Notación X P(λ) t IR Si X P(λ 1 ) e Y P(λ 2 ) son independientes, entonces X + Y P(λ 1 + λ 2 ). Esta propiedad se generaliza inmediatamente a un número finito de variables aleatorias independientes, que siguen una distribución de Poisson. Reproductividad respecto a λ.

18 Distribución Uniforme Continua Diremos que la la variable aleatoria X se distribuye uniformemente en el intervalo [a, b] con a, b IR, a < b, o que es uniforme en dicho intervalo, o que sigue una distribución uniforme, si es absolutamente continua, con función de densidad, f (x) = 1 1, x [a, b] = b a b a I [a,b](x) x IR Función de distribución, F(x) = 0 x a x a a < x b b a 1 x > b E[X k ] = bk+1 a k+1 (b a)(k+1) k 0. E[X] = a+b 2 V [X] = (b a)2 12 M X (t) = etb e ta (b a)t Notación X U[a, b] También se puede definir en el abierto (a, b). Todo es igual salvo la notación Modelos de Distribuciones Discretas y Continuas 18/27

19 La Función Gamma Modelos de Distribuciones Discretas y Continuas 19/27 Es una función que aparece en numerosos campos de las Matemáticas Γ : IR + IR + Γ(p) = Algunas propiedades, Γ(1) = 1 + Γ(p) = (p 1)Γ(p 1) p > 1 Γ(n) = (n 1)! n IN Γ( 1 ) = π 2 0 x p 1 e x dx p > 0

20 Distribución Gamma La variable aleatoria X se distribuye según una distribución Gamma de parámetros a y p, si es absolutamente continua, con función de densidad, f (x) = ap Γ(p) e ax x p 1 I (0,+ ) (x) x IR, a > 0, p > 0 Momentos de orden k. E[X k ] = Γ(k + p) a k Γ(p) k IN Esperanza, momento de segundo orden y varianza. E[X] = p a E[X 2 ] = Función Generatriz de Momentos. p(p + 1) a 2 V [X] = p a 2 1 M X (t) = ( 1 t ) p t < a a Notación X Ga(p, a) Si X 1,..., X n son variables aleatorias independientes, con X k Ga(p k, a), k = 1,..., n, entonces n k=1 X k Ga( k p k, a) Modelos de Distribuciones Discretas y Continuas 20/27

21 Distribución Exponencial Diremos que X tiene una distribución exponencial de parámetro λ > 0, cuando X Ga(λ, 1). Se tiene pues que es absolutamente continua, con función de densidad, Función de distribución, F(x) = f (x) = λe λx I (0,+ ) (x) x Momentos de orden k. λe λt I (0,+ ) (t) dt = E[X k ] = k! λ k x R ( 1 e λx) I (0,+ ) (x) k IN Esperanza, momento de segundo orden y varianza. E[X] = 1 E[X 2 ] = 2 V [X] = 1 λ λ 2 λ 2 Función Generatriz de Momentos. 1 M X (t) = ( 1 t ) t < λ λ Notación X Exp(λ). Modelos de Distribuciones Discretas y Continuas 21/27

22 Distribución Beta La variable aleatoria X se distribuye según una distribución Beta de parámetros a y b, si es absolutamente continua, con función de densidad, f (x) = 1 B(a, b) x a 1 (1 x) b 1 I (0,1) (x) x IR a, b > 0 B(a, b) representa la función beta, definida como, B(a, b) = 1 Relación con la función Gamma, 0 x a 1 (1 x) b 1 dx a, b > 0 B(a, b) = Γ(a)Γ(b) Γ(a + b) Momentos ordinarios de orden k. E[X k B(a + k, b) ] = B(a, b) k IN Esperanza, momento ordinario de segundo orden y varianza. E[X] = a a + b E[X 2 ] = a(a + 1) (a + b)(a + b + 1) Notación X Be(a, b) Si a = b = 1 entonces X U(0, 1). V [X] = ab (a + b) 2 (a + b + 1) Modelos de Distribuciones Discretas y Continuas 22/27

23 Distribución de Cauchy Modelos de Distribuciones Discretas y Continuas 23/27 Diremos que la variable aleatoria X se distribuye según una distribución de Cauchy si es absolutamente continua, con función de densidad, Función de Distribución, F(x) = f (x) = 1 π x x 2 x IR f (t) dt = 1 π arctg(x) x IR No existen los momentos de orden mayor o igual que 1. En particular, no existe ni la esperanza ni la varianza. NO existe la función generatriz de momentos en un entorno abierto de t = 0 Notación X C(0, 1)

24 Distribución Normal N(0, 1) Modelos de Distribuciones Discretas y Continuas 24/27 Diremos que la variable aleatoria Z se distribuye según una distribución normal de parámetros 0 y 1, si es absolutamente continua, con función de densidad, f (z) = 1 e 2 1 z2 z IR 2π Observemos que f 0 y además, haciendo el cambio de variable z 2 = 2t, obtenemos, e z2 dz = 2 e z2 dz = t e t dt = Γ( 1 2 ) = 1 2π 0 2π 2π 0 π La correpondiente función de distribución, F Z, se denota tradicionalmente por Φ, es decir, Φ(z) = z E[X] = 0, E[X 2 ] = 1, V [X] = 1 M X (t) = e t2 /2 Notación Z N(0, 1) 1 2π e 1 2 t 2 dt

25 Distribución Normal N (µ, σ 2 ) Sea Z N(0, 1) y µ, σ IR con σ > 0, y sea X = µ + σz. La función de distribución de X será pues, x IR, [ F X (x) = P[X x] = P Z x µ ] = Φ σ ( x µ ) x µ σ = σ y mediante el cambio de variable t = zσ + µ, se obtiene, ( ) 2 1 t µ x 1 F X (x) = σ 2π e 2 σ dt 1 2π e 1 2 z2 dz La variable aleatoria X, absolutamente continua, tiene pues como función de densidad, f (x) = 1 1 ( x µ ) 2 σ 2π e 2 σ x IR y diremos que sigue una distribución normal de parámetros µ y σ 2. denotándose X N(µ, σ 2 ) (también se suele denominar de parámetros µ y σ, denotándose X N(µ, σ)). Algunas de sus características son, E[X] = µ, E[X 2 ] = µ 2 + σ 2, V [X] = σ 2 M X (t) = e tµ+σ2 t 2 /2 Notación X N(µ, σ 2 ) Modelos de Distribuciones Discretas y Continuas 25/27

26 Resultados Modelos de Distribuciones Discretas y Continuas 26/27 (1) [Reproductividad respecto a µ y σ 2 ]. Si X 1,..., X n son variables aleatorias independientes, con X k N(µ k, σk 2 ), k = 1,..., n, entonces, ( n n ) n X k N µ k, k=1 (2) Si X 1,..., X n son variables aleatorias independientes, con X k N(µ k, σk 2 ), k = 1,..., n, y a 0, a 1,..., a n IR tales que n k=1 a k = 0, entonces, ( ) n n n a 0 + a k X k N a 0 + a k µ k, akσ 2 k 2 k=1 k=1 (3) Dados µ, σ IR con σ > 0, se verifica, o, equivalentemente, k=1 k=1 σ 2 k k=1 Z N(0, 1) (µ + σ Z ) N(µ, σ 2 ) X N(µ, σ 2 ) X µ σ N(0, 1)

27 Modelos de Distribuciones Discretas y Continuas 27/27 Definición Dada una variable aleatoria X N(µ, σ 2 ), la variable aleatoria, Z = (X µ)/σ N(0, 1) se denomina tipificación de X o variable X tipificada. OBSERVACIÓN: La tipificación permite hallar probabilidades para una variable aleatoria cualquiera si se conocen las probabilidades para la N(0, 1). Por ejemplo, sea X N(6, 4), entonces, si queremos calcular P[X 10], tendremos, P[X 10] = P[(X 6)/ 4 2] = P[Z 2] = Φ(2) donde hemos denotado Z = (X 6)/2, siendo Z N(0, 1) por el resultado anterior. Así, para calcular probabilidades de una normal cualquiera basta tener tabulada la función Φ. FIN