UNIVERSIDAD DE ATACAMA

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1 UNIVERSIDAD DE ATACAMA FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD PAUTA SEGUNDA PRUEBA PARCIAL Profesor: Hugo S. Salinas. Segundo Semestre El problema de Galileo. Un príncipe italiano preguntó en una ocasión al famoso físico Galileo, por qué cuando se lanzan tres dados, se obtiene con más frecuencia la suma 10 que la suma 9, aunque se puedan obtener de seis maneras distintas cada una?. En relación a esta situación: a) (5 %) Determinar el espacio muestral Ω asociado a este experimento aleatorio. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} {1, 2, 3, 4, 5, 6} {1, 2, 3, 4, 5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 3 b) (5 %) Identificar la variable aleatoria X asociada a este experimento. X : suma de los números que aparecen en los tres dados. c) (5 %) Cuál es el rango de X? X {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18} d) (5 %) Calcular P (dados sumen 9) y P (dados sumen 10). Suman 9 Suman casos casos casos casos casos casos casos casos casos casos caso casos Total 25 casos Total 27 casos P (sumen 9) = = 0,116, P (sumen 10) = 63 6 = 0, da. PRUEBA PARCIAL 1

2 2. La probabilidad de que un Banco reciba un cheque sin fondos es 1 %. a) (5 %) Si en una hora reciben 20 cheques, cuál es la probabilidad de que se tenga algún cheque sin fondos? n = 20, X : número de cheques sin fondos, X Bin(20, 0,01) ( ) 20 P (X 1) = 1 P (X < 1) = 1 P (X = 0) = 1 (0,01) 0 (0,99) 20 = 1 0,8179 = 0,182 0 b) (5 %) El Banco dispone de 12 sucursales en la capital, cuál es la probabilidad de que al menos 4 de las sucursales reciban algún cheque sin fondos? n = 12, Y : número de sucursales que reciben al menos 1 cheque sin fondos, Y Bin(12, 0,182) P (Y 4) = 1 P (Y < 4) = 1 {P (Y = 0)+P (Y = 1)+P (Y = 2)+P (Y = 3)} = 0,1599 c) (5 %) Si la media del valor de los cheques sin fondos es de $ y el Banco trabaja 6 horas diarias, qué cantidad total de pesos no se espera pagar? 1 hora 20 cheques, 6 horas 120 cheques. E(X) = np = (120)(0,01) = 1,2 cheques sin fondos, y por lo tanto (1,2)(580000) = pesos no se espera pagar. d) (5 %) Si se computaran los primeros 500 cheques, cuál es la probabilidad de recibir entre 3 y 6 (inclusive) cheques sin fondos? n = 500, X : número de cheques sin fondos, X Bin(500, 0,01), λ = np = (500)(0,01) = 5. Como n es grande y la probabilidad p muy pequeña, se usa la distribución Poisson, es decir X P(5) P (3 X 6) = P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) + P (X = 6) = 53 e e e e 5 3! 4! 5! 6! = 0, , , ,1462 = 0,6376 2da. PRUEBA PARCIAL 2

3 3. Una caja contiene 100 artículos, de los que 4 son defectuosos. Sea X el número de artículos defectuosos encontrados en una muestra de tamaño 9. a) (6 %) Hallar P (X = 2) El número de defectuosos X sigue una hipergeométrica con N = 100, D = 4, N D = 96 y tamaño de la muestra n = 9. P (X = 2) = ( 4 )( 96 ) 2 7 ( 100 ) = 0, b) (7 %) Aproximar la probabilidad anterior por una Binomial. Con una Binomial con n = 9 y p = 4 = 0.04 tenemos: 100 ( ) 9 P (X = 2) = (0,04) 2 (0,96) 7 = 0, c) (7 %) Aproximar la probabilidad anterior por una Poisson. Por Poisson con λ = np = 9(0,04) = 0,36, obtenemos: P (X = 2) = (0,36)2 e 0,36 2! = 0,0452 2da. PRUEBA PARCIAL 3

4 4. Una fábrica dispone de 20 transportistas, 45 empleados de mantenimiento y 5 ingenieros supervisores. La contratación de todo el personal se divide en planta y contrata. De los transportistas 8 son de planta; de los empleados de mantenimiento 35 son de planta y de los ingenieros 3 son de planta. Si elegimos una persona al azar: Se diseña una tabla de doble entrada para obtener las probabilidades con facilidad: Empleado Planta (P L) Contrata (C) Transporte (T ) Mantenimiento Ingeniero (I) a) (6 %) Cuál es la probabilidad de que sea un trabajador a contrata? P (C) = 24 b) (7 %) Cuál es la probabilidad de que sea un trabajador a contrata y no sea ingeniero? P (C I c ) = 22 c) (7 %) Si elegimos una persona de planta, cuál es la probabilidad de que sea un transportista? P (T P L) = P (T P L) P (P L) = 8 46 = da. PRUEBA PARCIAL 4

5 5. Una agencia inmobiliaria dedicada a la venta de departamentos en Caldera ha realizado un estudio de ventas, comprobando que solo el 5 % de las personas que acuden a visitar el piso piloto compran un departamento. Se pide: a) (6 %) Calcular la probabilidad de que tenga que recibir 10 visitas hasta vender un departamento. Sea X el número de visitas hasta vender un departamento, X es Ge(p = 0,05): P (X = 10) = (1 0,05) 9 (0,05) = 0,03151 b) (7 %) Calcular la probabilidad de que tenga que recibir 10 visitas hasta vender dos departamentos. Sea Y el número de visitas hasta vender dos departamentos, Y es BN(r = 2, p = 0, 05): P (Y = 10) = ( ) 9 (1 0,05) 8 (0,05) 2 = 0, c) (7 %) Se han tenido que recibir 10 visitas hasta vender 2 departamentos. Cuál es la probabilidad de que las 3 primeras visitas no efectuaran ninguna compra? Equivale a que las tres primeras han sido fracasos y en las siete restantes dos éxitos siendo uno de ellos la última visita, es decir: P (Y > 3 sin éxito en las tres primeras Y = 10) = (0,95)(0,95)(0,95)( ) 6 1 (0,05) 2 (0,95) 5 P (Y = 10) = 6 9 2da. PRUEBA PARCIAL 5