Tablas de Probabilidades

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1 Tablas de Probabilidades Ernesto Barrios Zamudio José Ángel García Pérez José Matuk Villazón Departamento Académico de Estadística Instituto Tecnológico Autónomo de México Mayo 2016 Versión

2 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 2 Notas La idea de elaborar unas tablas de probabilidades surgió del afán de uniformar las tablas empleadas dentro de un mismo curso y entre distintos cursos. Para esto se construyeron las tablas de los cursos Estadística I, Estadística II e Inferencia Estadística, con el mismo contenido de las empleadas oficialmente. Se incluyeron los mismos formularios y distribuciones de probabilidad. Con las primeras versiones de las tablas nos dimos cuenta de las ventajas de contar con el correspondiente documento electrónico. Se puede extraer exclusivamente el material de interés e incluirlo en otro documento. Así pues, en este trabajo hemos compilado los formularios y las tablas de probabilidades utilizadas en los cursos mencionados y algunas distribuciones más para apoyo de cursos optativos. El cálculo de las probabilidades y las gráficas fueron generadas utilizando el lenguaje estadístico R. Para algunas distribuciones se programaron los correspondientes algoritmos que en un caso implicó incluso la liga de R con fortran. El documento fue preparado con L A TEX y el uso del paquete-r xtable. Si tiene algún comentario agradeceremos que nos lo haga llegar a: ebarrios at itam.mx. Copia electrónica de este documento y sus actualizaciones las encontrará en ebarrios/tablasprobabilidad

3 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 3 Índice I Formularios 5 1. Estadística I Análisis exploratorio de datos Variables aleatorias Algunas distribuciones de probabilidad Estadística II Algunas distribuciones de probabilidad Estimación puntual Algunos estadísticos y su distribución de muestreo Pruebas no paramétricas Probabilidad, Inferencia Estadística y Econometría Variables aleatorias Distribuciones de probabilidad Distribuciones bivariadas Distribución normal bivariada II Tablas de Probabilidades Distribución Binomial Distribución Poisson Distribución Normal Estándar Distribución χ 2 Ji-Cuadrada Distribución t de Student Distribución F Distribución del estadístico d de Durbin-Watson Distribución del estadístico U de Corridas (Wald-Wolfowitz) Distribución del estadístico ρ s de Spearman Distribución del estadístico U de Mann-Whitney Distribución del estadístico D de Kolmogorov-Smirnov Distribución del estadístico W + de Wilcoxon Números Seudoaleatorios Bibliografía

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5 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 5 Parte I Formularios

6 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 6

7 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 7 1. Estadística I 1.1. Análisis exploratorio de datos Datos no agrupados Medida descriptiva Población Muestra Media µ = 1 N N i=1 x i x = 1 n n i=1 x i Mediana l(m d ) = 0.5N l( x) = 0.5n Cuartil inferior l(q 1 ) = 0.25N l(q 1 ) = 0.25n Cuartil superior l(q 3 ) = 0.75N l(q 3 ) = 0.75n Amplitud intercuartílica A.I. = Q 3 Q 1 a.i. = q 3 q 1 Desviación media a mediana Varianza D.M. = 1 N N i=1 x i m d d.m. = 1 n 1 n x i x i=1 σ 2 = 1 N (x i µ x ) 2 s 2 = 1 n (x i x) 2 N n 1 i=1 i=1 ( = 1 N x 2 i Nµ 2 = 1 n ) x 2 i n x 2 N n 1 i=1 i=1 Coeficiente de variación C.V. = σ µ c.v. = s x Covarianza σ xy = 1 N (x i µ X )(y i µ Y ) s xy = 1 n (x i x)(y i ȳ) N n 1 i=1 i=1 ( = 1 N x i y i µ Y µ Y = 1 n ) x i y i n xȳ N n 1 i=1 i=1 Coeficiente de correlación ρ = σ xy σ x σ y r = s xy s x s y x i : i-ésima observación de la variable X. N: número de elementos en la población. n: número de observaciones en la muestra. l(q): posición o índice de q, redondeado. m d : mediana poblacional. x: mediana muestral. Determinadas por la l-ésima observación de la población o muestra ordenada.

8 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 8 Datos agrupados Medida descriptiva Población Muestra Media µ = 1 N k f i m i i=1 x = 1 n k f i m i i=1 Mediana Desviación media a mediana Varianza m d = A C D D.M. = 1 N σ 2 = 1 N = 1 N k i=1 k i=1 k i=1 0.5 C (B A) x = A + (B A) D f i m i m d d.m. = 1 n 1 f i (m i µ) 2 s 2 = 1 n 1 f i m 2 i N 2 µ 2 = 1 n 1 k f i m i x i=1 k f i (m i x) 2 i=1 k f i m 2 i n 2 x 2 i=1 f i : frecuencia absoluta de la i-ésima clase. k: número de clases en la distribución de frecuencias. m i : marca de la i-ésima clase. A: frontera inferior del intervalo de clase que contiene a la mediana. B: frontera superior del intervalo de clase que contiene a la mediana. C: frecuencia relativa acumulada hasta la clase anterior a la que contiene a la mediana. D: frecuencia relativa de la clase que contiene a la mediana Variables aleatorias Esperanza, varianza y covarianza µ = E(X) σ 2 = var(x) σ XY = Cov(X, Y ) Discretas xp (X = x) x R X (x µ) 2 P (X = x) x R X xyp (X = x, Y = y) x R X y R Y xp (X = x) yp (Y = y) x R X y R Y Continuas xf X (x)dx R X (x µ) 2 f X (x)dx R X xyf(x, y)dydx R X R Y xf X (x)dx R X R Y yf Y (y)dy

9 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 9 Propiedades E(aX + b) = ae(x) + b Cov(X, Y ) = E [(X E(X))(Y E(Y ))] [ var(x) = E (X E(X)) 2] = E(XY ) E(X)E(Y ) = E(X 2 ) E(X) 2 Cov(aX + b, cy + d) = accov(x, Y ) var (ax + by ) = a 2 var(x) + b 2 var(y ) ρ = Corr(X, Y ) = σ XY σ X σ Y + 2abCov(X, Y ) 1.3. Algunas distribuciones de probabilidad Distribución Notación Soporte R X Función de probabilidad E(X) var(x) Uniforme discreta Unif{x 1,..., x K} x {x 1,..., x K} 1 K 1 K K i=1 x i 1 K K (x i E(X)) 2 i=1 Bernoulli Be(p) x {0, 1} p x (1 p) 1 x p p(1 p) Binomial Bin(n, p) x {0, 1,..., n} ( ) n x p x (1 p) n x np np(1 p) Poisson Po(λ) x {0, 1, 2,...} λ x e λ x! λ λ Uniforme continua Unif(a, b) a x b Normal N(µ, σ 2 ) < x < 1 b a { 1 σ 2π exp 1 2 ( x µ ) 2 } σ a + b 2 (b a) 2 12 µ σ 2 Exponencial Exp(θ) 0 x < 1 θ exp{ x θ } θ θ2

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11 Barrios et al. Tablas de Probabilidades Estadística II 2.1. Algunas distribuciones de probabilidad Distribución Notación Soporte R X Función de probabilidad E(X) var(x) Uniforme discreta Unif{x 1,..., x K} x {x 1,..., x K} 1 K 1 K K i=1 x i 1 K K (x i E(X)) 2 i=1 Bernoulli Be(p) x {0, 1} p x (1 p) 1 x p p(1 p) Binomial Bin(n, p) x {0, 1,..., n} ( ) n x p x (1 p) n x np np(1 p) Poisson Po(λ) x {0, 1, 2,...} λ x e λ x! λ λ Uniforme continua Unif(a, b) a x b Normal N(µ, σ 2 ) < x < 1 b a { 1 σ 2π exp 1 2 ( x µ ) 2 } σ a + b 2 (b a) 2 12 µ σ 2 Exponencial Exp(θ) 0 x < 1 θ exp{ x θ } θ θ Estimación puntual Parámetro Estimador Sesgo B(ˆθ) = E(ˆθ θ) 1 Media X = Xi n Error de estimación ˆθ θ Varianza S 2 (Xi = X) 2 n 1 Correlación r = SXY (Xi, S XY = X)(Y i Ȳ ) S XS Y n 1 Error Cuadrático Medio ) ECM(ˆθ) = E ((ˆθ θ) 2 = var(ˆθ) + B(ˆθ) 2

12 Barrios et al. Tablas de Probabilidades Algunos estadísticos y su distribución de muestreo Poblaciones con distribución normal Estadístico Distribución n( X µ) Z = σ Z N(0, 1) n( X µ) τ = S τ t n 1 Z = ( X 1 X 2 ) (µ 1 µ 2 ) σ1 2 + σ2 2 n 1 n 2 Z N(0, 1) S 2 p = (n 1 1)S (n 2 1)S 2 2 (n 1 + n 2 2) (n 1 + n 2 2)S 2 p σ 2 χ 2 n 1+n 2 2 τ = ( X 1 X 2 ) (µ 1 µ 2 ) ( ) τ t (n1+n 2 2) 1 S 2 p n n 2 J = (n 1)S2 σ 2 J χ 2 n 1 F = S2 1/σ 2 1 S 2 2 /σ2 2 F F (n1 1,n 2 1) τ = n( D µd ) S D, D = X 1 X 2 τ t n 1 τ = r n 2 1 r 2, r = S XY S X S Y τ t n 2

13 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 13 Poblaciones con distribución Bernoulli Estadístico Distribución Y = nˆp Y Bin(n, p) Z = ˆp p p(1 p)/n Z N(0, 1), para n grande Z = (ˆp 1 ˆp 2 ) (p 1 p 2 ) ˆp1 (1 ˆp 1 )/n 1 + ˆp 2 (1 ˆp 2 )/n 2 Z N(0, 1), para n 1 y n 2 grandes Si p 1 = p 2, Z = (ˆp 1 ˆp 2 ) (p 1 p 2 ) ( 1 ˆp(1 ˆp) + 1 ) Z N(0, 1), para n 1 y n 2 grandes n 1 n 2 con ˆp = n 1 ˆp 1 + n 2 ˆp 2 n 1 + n Pruebas no paramétricas Prueba Estadístico Propiedades Signos M = # de signos positivos E(M) = np, var(m) = np(1 p) Mann-Whitney T x = R(X i ) n(n + 1) 2 E(T x ) = nm 2, var(t x) = nm(n + m + 1) 12 Correlación de Spearman r s = 1 6 d 2 i n 3 n r s (n 1) N(0, 1), para n grande Ji cuadrada (χ 2 ) J = rc i=1 (Obs i Esp i ) 2 Esp i J χ 2 (r 1)(c 1), r = # renglones c = # columnas

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15 Barrios et al. Tablas de Probabilidades Probabilidad, Inferencia Estadística y Econometría 3.1. Variables aleatorias Valor esperado de g(x) E(g(X)) = g(x)p (X = x) x g(x)f X (x)dx caso discreto caso continuo Propiedades de la función generadora de momentos M X+a (t) = e at M X (t) M bx (t) = M X (bt) ) ( M X+a (t) = e a t b t M X b b Tercer y cuarto momentos con respecto a la media E[(X µ) 3 ] = E(X 3 ) 3E(X)E(X 2 ) + 2(E(X)) 3 E[(X µ) 4 ] = E(X 4 ) 4E(X)E(X 3 ) + 6(E(X)) 2 E(X 2 ) 3(E(X)) 4 Coeficientes de asimetría y de curtosis C A = α 3 = µ 3 µ 3/2 2 C K = α 4 = µ 4 µ 2 2 Método de transformación de variables Sea U = h(y ), con h función monótona creciente o decreciente en y, entonces f U (u) = f Y (y) dy du donde y = h 1 (u)

16 Barrios et al. Tablas de Probabilidades Distribuciones de probabilidad Función Función Distribución Notación Soporte RX de E(X) var(x) generadora probabilidad de momentos 1 Uniforme discreta Unif{x1,..., xk} x {x1,..., xk} K 1 K K i=1 xi 1 K K i=1 (xi E(X)) 2 1 k i etxi Bernoulli Be(p) x {0, 1} p x (1 p) 1 x p p(1 p) pe t + (1 p) ( ) n Binomial Bin(n, p) x {0, 1,..., n} p x (1 p) n x np np(1 p) [pe t + (1 p)] n x λ x e λ Poisson Po(λ) x {0, 1, 2,...} λ λ e λ(et 1) x! Uniforme continua Unif(a, b) a x b 1 b a a + b 2 (b a) 2 12 e tb e ta t(b a) Normal N(µ, σ 2 ) < x < 1 { σ exp 1 2π 2 ( x µ σ ) 2 } µ σ 2 e µt+ 1 2 σ2 t 2 Gama Gama(α, β) x R + x α 1 e x/β Γ(α)β α αβ αβ 2 (1 βt) α Notas: Γ(α) = 0 u α 1 e u du. Entonces, Γ(α + 1) = α Γ(α); Γ(1/2) = π; Γ(1) = 1; Γ(n + 1) = n!, para n = 1, 2,.... Distribución exponencial: X Exp(λ). Entonces, X Gama(1, 1/λ) y E(X) = 1/λ. Distribución Ji-cuadrada: Y χ 2 n. Entonces, Y Gama(n/2, 2) y E(Y ) = n.

17 Barrios et al. Tablas de Probabilidades Distribuciones bivariadas Función de densidad condicional f(x 2 x 1 ) = f X 1,X 2 (x 1, x 2 ) f X1 (x 1 ) Valor esperado de g(x 1, X 2 ) g(x 1, x 2 )P (X 1 = x 1, X 2 = x 2 ) caso discreto E[g(X 1, X 2 )] = x 1 x 2 g(x 1, x 2 )f X1,X 2 (x 1, x 2 )dx 1 dx 2 caso continuo Función generadora de momentos conjunta M X1,X 2 (t 1, t 2 ) = E(e t1x1+t2x2 ) Covarianza y coeficiente de correlación σ 12 = Cov(X 1, X 2 ) = E [(X 1 E(X 1 ))(X 2 E(X 2 ))] = E(X 1 X 2 ) E(X 1 )E(X 2 ) ρ X1X 2 = σ 12 σ 1 σ 2 Método de transformación de variables Sean las variables aleatorias Y 1 y Y 2 funciones de las variables aleatorias X 1 y X 2, de manera que las ecuaciones en y 1 y y 2 tienen solución única para x 1 y x 2 en términos de y 1 y y 2. Esto es, y 1 = g 1 (x 1, x 2 ) x 1 = h 1 (y 1, y 2 ) y y 2 = g 2 (x 1, x 2 ) x 2 = h 2 (y 1, y 2 ) Si las funciones h 1 y h 2 tienen derivadas parciales continuas en todos los puntos (y 1, y 2 ) y el determinante Jacobiano h 1 h 1 J (h 1 (y 1, y 2 ), h 2 (y 1, y 2 )) = y 1 y 2 h 2 h 2 0 para todo (h 1 (y 1, y 2 ), h 2 (y 1, y 2 )) y 1 y 2 entonces, f Y1,Y 2 (y 1, y 2 ) = f X1,X 2 (h 1 (y 1, y 2 ), h 2 (y 1, y 2 )) J (h 1 (y 1, y 2 ), h 2 (y 1, y 2 ))

18 Barrios et al. Tablas de Probabilidades Distribución normal bivariada Función de densidad conjunta { [ (x1 ) 2 ( ) ( ) ( ) ]} 2 1 f X1,X 2 (x 1, x 2 ) = 2πσ 1 σ exp 1 µ 1 x1 µ 1 x2 µ 2 x2 µ ρ 2 2(1 ρ 2 2ρ + ) σ 1 σ 1 σ 2 σ 2 Función generadora de momentos conjunta { M X1,X 2 (t 1, t 2 ) = exp (t 1 µ 1 + t 2 µ 2 ) + 1 ( σ t ρσ 1 σ 2 t 1 t 2 + σ2t 2 2 ) } 2 Valor esperado y varianza condicionales E(X 2 X 1 = x 1 ) = µ 2 + ρ σ 2 σ 1 (x 1 µ 1 ) var(x 2 X 1 = x 1 ) = σ 2 2(1 ρ 2 )

19 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 19 Parte II Tablas de Probabilidades

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21 Barrios et al. Tablas de Probabilidades Distribución Binomial X Binomial(n, p) p = P (X x) = x k=0 ( ) n p k (1 p) n k = 1 α k p 0 x α Tabla 4A. Probabilidades acumuladas p de la distribución binomial (n = 5, 6, 7, 8, 9). p x n = n = n = n = n =

22 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 22 Tabla 4B. Probabilidades acumuladas p de la distribución binomial (n = 10, 11, 12, 13, 14). p x n = n = n = n = n =

23 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 23 Tabla 4C. Probabilidades acumuladas p de la distribución binomial (n = 15, 16, 17, 18). p x n = n = n = n =

24 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 24 Tabla 4D. Probabilidades acumuladas p de la distribución binomial (n = 19, 20, 21). p x n = n = n =

25 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 25 Tabla 4E. Probabilidades acumuladas p de la distribución binomial (n = 22, 23). p x n = n =

26 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 26 Tabla 4F. Probabilidades acumuladas p de la distribución binomial (n = 24, 25). p x n = n =

27 Barrios et al. Tablas de Probabilidades Distribución Poisson X Poisson(λ) x λ k e λ p = P (X x) = k! k=0 = 1 α p 0 x α Tabla 5A. Probabilidades acumuladas p de la distribución Poisson. λ x Tabla 5B. Probabilidades acumuladas p de la distribución Poisson. λ x

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29 Barrios et al. Tablas de Probabilidades Distribución Normal Estándar Z Normal(0, 1) p = P (Z z) = Φ(z) = donde z φ(u) = 1 2π e 1 2 u2 φ(u)du = 1 α p 0 z α Nota: Si X N(µ, σ 2 ), entonces Z = (X µ)/σ N(0, 1). Luego, ( ) x µ P (X x) = Φ σ Tabla 6A. Probabilidades acumuladas p de la distribución normal estándar. z