Tablas de Probabilidades

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1 Tablas de Probabilidades Ernesto Barrios Zamudio José Ángel García Pérez José Matuk Villazón Departamento Académico de Estadística Instituto Tecnológico Autónomo de México Mayo 2016 Versión

2 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 2 Notas La idea de elaborar unas tablas de probabilidades surgió del afán de uniformar las tablas empleadas dentro de un mismo curso y entre distintos cursos. Para esto se construyeron las tablas de los cursos Estadística I, Estadística II e Inferencia Estadística, con el mismo contenido de las empleadas oficialmente. Se incluyeron los mismos formularios y distribuciones de probabilidad. Con las primeras versiones de las tablas nos dimos cuenta de las ventajas de contar con el correspondiente documento electrónico. Se puede extraer exclusivamente el material de interés e incluirlo en otro documento. Así pues, en este trabajo hemos compilado los formularios y las tablas de probabilidades utilizadas en los cursos mencionados y algunas distribuciones más para apoyo de cursos optativos. El cálculo de las probabilidades y las gráficas fueron generadas utilizando el lenguaje estadístico R. Para algunas distribuciones se programaron los correspondientes algoritmos que en un caso implicó incluso la liga de R con fortran. El documento fue preparado con L A TEX y el uso del paquete-r xtable. Si tiene algún comentario agradeceremos que nos lo haga llegar a: ebarrios at itam.mx. Copia electrónica de este documento y sus actualizaciones las encontrará en ebarrios/tablasprobabilidad

3 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 3 Índice I Formularios 5 1. Estadística I Análisis exploratorio de datos Variables aleatorias Algunas distribuciones de probabilidad Estadística II Algunas distribuciones de probabilidad Estimación puntual Algunos estadísticos y su distribución de muestreo Pruebas no paramétricas Probabilidad, Inferencia Estadística y Econometría Variables aleatorias Distribuciones de probabilidad Distribuciones bivariadas Distribución normal bivariada II Tablas de Probabilidades Distribución Binomial Distribución Poisson Distribución Normal Estándar Distribución χ 2 Ji-Cuadrada Distribución t de Student Distribución F Distribución del estadístico d de Durbin-Watson Distribución del estadístico U de Corridas (Wald-Wolfowitz) Distribución del estadístico ρ s de Spearman Distribución del estadístico U de Mann-Whitney Distribución del estadístico D de Kolmogorov-Smirnov Distribución del estadístico W + de Wilcoxon Números Seudoaleatorios Bibliografía

4 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 4

5 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 5 Parte I Formularios

6 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 6

7 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 7 1. Estadística I 1.1. Análisis exploratorio de datos Datos no agrupados Medida descriptiva Población Muestra Media µ = 1 N N i=1 x i x = 1 n n i=1 x i Mediana l(m d ) = 0.5N l( x) = 0.5n Cuartil inferior l(q 1 ) = 0.25N l(q 1 ) = 0.25n Cuartil superior l(q 3 ) = 0.75N l(q 3 ) = 0.75n Amplitud intercuartílica A.I. = Q 3 Q 1 a.i. = q 3 q 1 Desviación media a mediana Varianza D.M. = 1 N N i=1 x i m d d.m. = 1 n 1 n x i x i=1 σ 2 = 1 N (x i µ x ) 2 s 2 = 1 n (x i x) 2 N n 1 i=1 i=1 ( = 1 N x 2 i Nµ 2 = 1 n ) x 2 i n x 2 N n 1 i=1 i=1 Coeficiente de variación C.V. = σ µ c.v. = s x Covarianza σ xy = 1 N (x i µ X )(y i µ Y ) s xy = 1 n (x i x)(y i ȳ) N n 1 i=1 i=1 ( = 1 N x i y i µ Y µ Y = 1 n ) x i y i n xȳ N n 1 i=1 i=1 Coeficiente de correlación ρ = σ xy σ x σ y r = s xy s x s y x i : i-ésima observación de la variable X. N: número de elementos en la población. n: número de observaciones en la muestra. l(q): posición o índice de q, redondeado. m d : mediana poblacional. x: mediana muestral. Determinadas por la l-ésima observación de la población o muestra ordenada.

8 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 8 Datos agrupados Medida descriptiva Población Muestra Media µ = 1 N k f i m i i=1 x = 1 n k f i m i i=1 Mediana Desviación media a mediana Varianza m d = A C D D.M. = 1 N σ 2 = 1 N = 1 N k i=1 k i=1 k i=1 0.5 C (B A) x = A + (B A) D f i m i m d d.m. = 1 n 1 f i (m i µ) 2 s 2 = 1 n 1 f i m 2 i N 2 µ 2 = 1 n 1 k f i m i x i=1 k f i (m i x) 2 i=1 k f i m 2 i n 2 x 2 i=1 f i : frecuencia absoluta de la i-ésima clase. k: número de clases en la distribución de frecuencias. m i : marca de la i-ésima clase. A: frontera inferior del intervalo de clase que contiene a la mediana. B: frontera superior del intervalo de clase que contiene a la mediana. C: frecuencia relativa acumulada hasta la clase anterior a la que contiene a la mediana. D: frecuencia relativa de la clase que contiene a la mediana Variables aleatorias Esperanza, varianza y covarianza µ = E(X) σ 2 = var(x) σ XY = Cov(X, Y ) Discretas xp (X = x) x R X (x µ) 2 P (X = x) x R X xyp (X = x, Y = y) x R X y R Y xp (X = x) yp (Y = y) x R X y R Y Continuas xf X (x)dx R X (x µ) 2 f X (x)dx R X xyf(x, y)dydx R X R Y xf X (x)dx R X R Y yf Y (y)dy

9 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 9 Propiedades E(aX + b) = ae(x) + b Cov(X, Y ) = E [(X E(X))(Y E(Y ))] [ var(x) = E (X E(X)) 2] = E(XY ) E(X)E(Y ) = E(X 2 ) E(X) 2 Cov(aX + b, cy + d) = accov(x, Y ) var (ax + by ) = a 2 var(x) + b 2 var(y ) ρ = Corr(X, Y ) = σ XY σ X σ Y + 2abCov(X, Y ) 1.3. Algunas distribuciones de probabilidad Distribución Notación Soporte R X Función de probabilidad E(X) var(x) Uniforme discreta Unif{x 1,..., x K} x {x 1,..., x K} 1 K 1 K K i=1 x i 1 K K (x i E(X)) 2 i=1 Bernoulli Be(p) x {0, 1} p x (1 p) 1 x p p(1 p) Binomial Bin(n, p) x {0, 1,..., n} ( ) n x p x (1 p) n x np np(1 p) Poisson Po(λ) x {0, 1, 2,...} λ x e λ x! λ λ Uniforme continua Unif(a, b) a x b Normal N(µ, σ 2 ) < x < 1 b a { 1 σ 2π exp 1 2 ( x µ ) 2 } σ a + b 2 (b a) 2 12 µ σ 2 Exponencial Exp(θ) 0 x < 1 θ exp{ x θ } θ θ2

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11 Barrios et al. Tablas de Probabilidades Estadística II 2.1. Algunas distribuciones de probabilidad Distribución Notación Soporte R X Función de probabilidad E(X) var(x) Uniforme discreta Unif{x 1,..., x K} x {x 1,..., x K} 1 K 1 K K i=1 x i 1 K K (x i E(X)) 2 i=1 Bernoulli Be(p) x {0, 1} p x (1 p) 1 x p p(1 p) Binomial Bin(n, p) x {0, 1,..., n} ( ) n x p x (1 p) n x np np(1 p) Poisson Po(λ) x {0, 1, 2,...} λ x e λ x! λ λ Uniforme continua Unif(a, b) a x b Normal N(µ, σ 2 ) < x < 1 b a { 1 σ 2π exp 1 2 ( x µ ) 2 } σ a + b 2 (b a) 2 12 µ σ 2 Exponencial Exp(θ) 0 x < 1 θ exp{ x θ } θ θ Estimación puntual Parámetro Estimador Sesgo B(ˆθ) = E(ˆθ θ) 1 Media X = Xi n Error de estimación ˆθ θ Varianza S 2 (Xi = X) 2 n 1 Correlación r = SXY (Xi, S XY = X)(Y i Ȳ ) S XS Y n 1 Error Cuadrático Medio ) ECM(ˆθ) = E ((ˆθ θ) 2 = var(ˆθ) + B(ˆθ) 2

12 Barrios et al. Tablas de Probabilidades Algunos estadísticos y su distribución de muestreo Poblaciones con distribución normal Estadístico Distribución n( X µ) Z = σ Z N(0, 1) n( X µ) τ = S τ t n 1 Z = ( X 1 X 2 ) (µ 1 µ 2 ) σ1 2 + σ2 2 n 1 n 2 Z N(0, 1) S 2 p = (n 1 1)S (n 2 1)S 2 2 (n 1 + n 2 2) (n 1 + n 2 2)S 2 p σ 2 χ 2 n 1+n 2 2 τ = ( X 1 X 2 ) (µ 1 µ 2 ) ( ) τ t (n1+n 2 2) 1 S 2 p n n 2 J = (n 1)S2 σ 2 J χ 2 n 1 F = S2 1/σ 2 1 S 2 2 /σ2 2 F F (n1 1,n 2 1) τ = n( D µd ) S D, D = X 1 X 2 τ t n 1 τ = r n 2 1 r 2, r = S XY S X S Y τ t n 2

13 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 13 Poblaciones con distribución Bernoulli Estadístico Distribución Y = nˆp Y Bin(n, p) Z = ˆp p p(1 p)/n Z N(0, 1), para n grande Z = (ˆp 1 ˆp 2 ) (p 1 p 2 ) ˆp1 (1 ˆp 1 )/n 1 + ˆp 2 (1 ˆp 2 )/n 2 Z N(0, 1), para n 1 y n 2 grandes Si p 1 = p 2, Z = (ˆp 1 ˆp 2 ) (p 1 p 2 ) ( 1 ˆp(1 ˆp) + 1 ) Z N(0, 1), para n 1 y n 2 grandes n 1 n 2 con ˆp = n 1 ˆp 1 + n 2 ˆp 2 n 1 + n Pruebas no paramétricas Prueba Estadístico Propiedades Signos M = # de signos positivos E(M) = np, var(m) = np(1 p) Mann-Whitney T x = R(X i ) n(n + 1) 2 E(T x ) = nm 2, var(t x) = nm(n + m + 1) 12 Correlación de Spearman r s = 1 6 d 2 i n 3 n r s (n 1) N(0, 1), para n grande Ji cuadrada (χ 2 ) J = rc i=1 (Obs i Esp i ) 2 Esp i J χ 2 (r 1)(c 1), r = # renglones c = # columnas

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15 Barrios et al. Tablas de Probabilidades Probabilidad, Inferencia Estadística y Econometría 3.1. Variables aleatorias Valor esperado de g(x) E(g(X)) = g(x)p (X = x) x g(x)f X (x)dx caso discreto caso continuo Propiedades de la función generadora de momentos M X+a (t) = e at M X (t) M bx (t) = M X (bt) ) ( M X+a (t) = e a t b t M X b b Tercer y cuarto momentos con respecto a la media E[(X µ) 3 ] = E(X 3 ) 3E(X)E(X 2 ) + 2(E(X)) 3 E[(X µ) 4 ] = E(X 4 ) 4E(X)E(X 3 ) + 6(E(X)) 2 E(X 2 ) 3(E(X)) 4 Coeficientes de asimetría y de curtosis C A = α 3 = µ 3 µ 3/2 2 C K = α 4 = µ 4 µ 2 2 Método de transformación de variables Sea U = h(y ), con h función monótona creciente o decreciente en y, entonces f U (u) = f Y (y) dy du donde y = h 1 (u)

16 Barrios et al. Tablas de Probabilidades Distribuciones de probabilidad Función Función Distribución Notación Soporte RX de E(X) var(x) generadora probabilidad de momentos 1 Uniforme discreta Unif{x1,..., xk} x {x1,..., xk} K 1 K K i=1 xi 1 K K i=1 (xi E(X)) 2 1 k i etxi Bernoulli Be(p) x {0, 1} p x (1 p) 1 x p p(1 p) pe t + (1 p) ( ) n Binomial Bin(n, p) x {0, 1,..., n} p x (1 p) n x np np(1 p) [pe t + (1 p)] n x λ x e λ Poisson Po(λ) x {0, 1, 2,...} λ λ e λ(et 1) x! Uniforme continua Unif(a, b) a x b 1 b a a + b 2 (b a) 2 12 e tb e ta t(b a) Normal N(µ, σ 2 ) < x < 1 { σ exp 1 2π 2 ( x µ σ ) 2 } µ σ 2 e µt+ 1 2 σ2 t 2 Gama Gama(α, β) x R + x α 1 e x/β Γ(α)β α αβ αβ 2 (1 βt) α Notas: Γ(α) = 0 u α 1 e u du. Entonces, Γ(α + 1) = α Γ(α); Γ(1/2) = π; Γ(1) = 1; Γ(n + 1) = n!, para n = 1, 2,.... Distribución exponencial: X Exp(λ). Entonces, X Gama(1, 1/λ) y E(X) = 1/λ. Distribución Ji-cuadrada: Y χ 2 n. Entonces, Y Gama(n/2, 2) y E(Y ) = n.

17 Barrios et al. Tablas de Probabilidades Distribuciones bivariadas Función de densidad condicional f(x 2 x 1 ) = f X 1,X 2 (x 1, x 2 ) f X1 (x 1 ) Valor esperado de g(x 1, X 2 ) g(x 1, x 2 )P (X 1 = x 1, X 2 = x 2 ) caso discreto E[g(X 1, X 2 )] = x 1 x 2 g(x 1, x 2 )f X1,X 2 (x 1, x 2 )dx 1 dx 2 caso continuo Función generadora de momentos conjunta M X1,X 2 (t 1, t 2 ) = E(e t1x1+t2x2 ) Covarianza y coeficiente de correlación σ 12 = Cov(X 1, X 2 ) = E [(X 1 E(X 1 ))(X 2 E(X 2 ))] = E(X 1 X 2 ) E(X 1 )E(X 2 ) ρ X1X 2 = σ 12 σ 1 σ 2 Método de transformación de variables Sean las variables aleatorias Y 1 y Y 2 funciones de las variables aleatorias X 1 y X 2, de manera que las ecuaciones en y 1 y y 2 tienen solución única para x 1 y x 2 en términos de y 1 y y 2. Esto es, y 1 = g 1 (x 1, x 2 ) x 1 = h 1 (y 1, y 2 ) y y 2 = g 2 (x 1, x 2 ) x 2 = h 2 (y 1, y 2 ) Si las funciones h 1 y h 2 tienen derivadas parciales continuas en todos los puntos (y 1, y 2 ) y el determinante Jacobiano h 1 h 1 J (h 1 (y 1, y 2 ), h 2 (y 1, y 2 )) = y 1 y 2 h 2 h 2 0 para todo (h 1 (y 1, y 2 ), h 2 (y 1, y 2 )) y 1 y 2 entonces, f Y1,Y 2 (y 1, y 2 ) = f X1,X 2 (h 1 (y 1, y 2 ), h 2 (y 1, y 2 )) J (h 1 (y 1, y 2 ), h 2 (y 1, y 2 ))

18 Barrios et al. Tablas de Probabilidades Distribución normal bivariada Función de densidad conjunta { [ (x1 ) 2 ( ) ( ) ( ) ]} 2 1 f X1,X 2 (x 1, x 2 ) = 2πσ 1 σ exp 1 µ 1 x1 µ 1 x2 µ 2 x2 µ ρ 2 2(1 ρ 2 2ρ + ) σ 1 σ 1 σ 2 σ 2 Función generadora de momentos conjunta { M X1,X 2 (t 1, t 2 ) = exp (t 1 µ 1 + t 2 µ 2 ) + 1 ( σ t ρσ 1 σ 2 t 1 t 2 + σ2t 2 2 ) } 2 Valor esperado y varianza condicionales E(X 2 X 1 = x 1 ) = µ 2 + ρ σ 2 σ 1 (x 1 µ 1 ) var(x 2 X 1 = x 1 ) = σ 2 2(1 ρ 2 )

19 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 19 Parte II Tablas de Probabilidades

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21 Barrios et al. Tablas de Probabilidades Distribución Binomial X Binomial(n, p) p = P (X x) = x k=0 ( ) n p k (1 p) n k = 1 α k p 0 x α Tabla 4A. Probabilidades acumuladas p de la distribución binomial (n = 5, 6, 7, 8, 9). p x n = n = n = n = n =

22 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 22 Tabla 4B. Probabilidades acumuladas p de la distribución binomial (n = 10, 11, 12, 13, 14). p x n = n = n = n = n =

23 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 23 Tabla 4C. Probabilidades acumuladas p de la distribución binomial (n = 15, 16, 17, 18). p x n = n = n = n =

24 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 24 Tabla 4D. Probabilidades acumuladas p de la distribución binomial (n = 19, 20, 21). p x n = n = n =

25 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 25 Tabla 4E. Probabilidades acumuladas p de la distribución binomial (n = 22, 23). p x n = n =

26 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 26 Tabla 4F. Probabilidades acumuladas p de la distribución binomial (n = 24, 25). p x n = n =

27 Barrios et al. Tablas de Probabilidades Distribución Poisson X Poisson(λ) x λ k e λ p = P (X x) = k! k=0 = 1 α p 0 x α Tabla 5A. Probabilidades acumuladas p de la distribución Poisson. λ x Tabla 5B. Probabilidades acumuladas p de la distribución Poisson. λ x

28 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 28

29 Barrios et al. Tablas de Probabilidades Distribución Normal Estándar Z Normal(0, 1) p = P (Z z) = Φ(z) = donde z φ(u) = 1 2π e 1 2 u2 φ(u)du = 1 α p 0 z α Nota: Si X N(µ, σ 2 ), entonces Z = (X µ)/σ N(0, 1). Luego, ( ) x µ P (X x) = Φ σ Tabla 6A. Probabilidades acumuladas p de la distribución normal estándar. z

30 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 30 Tabla 6B. Probabilidades acumuladas p de la distribución normal estándar. z

31 Barrios et al. Tablas de Probabilidades Distribución χ 2 Ji-Cuadrada Y χ 2 ν siendo ν los grados de libertad. p = P (Y y) = donde, para u 0, f Y (u) = y 0 f Y (u)du = 1 α 1 2 ν/2 Γ (ν/2) uν/2 1 e u/2 p 0 y α Tabla 7. Valores críticos χ 2 (α;ν) de la distribución χ2 ν Ji-Cuadrada. p α ν

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33 Barrios et al. Tablas de Probabilidades Distribución t de Student T t ν siendo ν los grados de libertad. p = P (T t) = t donde, para < u <, f T (u) = 1 Γ ( ) ν+1 2 νπ Γ ( ) ν 2 f T (u)du = 1 α ) ν+1 (1 + u2 2 ν p 0 t α Tabla 8. Valores críticos t (α;ν) de la distribución t de Student. p α ν

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35 Barrios et al. Tablas de Probabilidades Distribución F X F ν1,ν 2 con ν 1 y ν 2 los grados de libertad (del numerador y denominador, respectivamente). donde, para u > 0, p = P (X x) = f X (u) = Γ( (ν 1 + ν 2 )/2 ) Γ(ν 1 /2)Γ(ν 2 /2) x 0 ( ) ν1/2 ν1 ν 2 f X (u)du = 1 α u ν1/2 1 [1 + (ν 1 /ν 2 )u] (ν1+ν2)/2 p 0 x α Nota: Si X F ν1,ν 2, entonces, p = P (X F (1 α; ν1,ν 2)) = P ( X 1 F (α; ν2,ν 1) ) = 1 α

36 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 36 Tabla 9A. Valores críticos F (α;ν1,ν2) de la distribución F. p = 0.90 α = 0.10 ν1 ν

37 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 37 Tabla 9B. Valores críticos F (α;ν1,ν2) de la distribución F. p = 0.95 α = 0.05 ν1 ν

38 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 38 Tabla 9C. Valores críticos F (α;ν1,ν2) de la distribución F. p = α = ν1 ν

39 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 39 Tabla 9D. Valores críticos F (α;ν1,ν2) de la distribución F. p = 0.99 α = 0.01 ν1 ν

40 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 40 Tabla 9E. Valores críticos F (α;ν1,ν2) de la distribución F. p = α = ν1 ν

41 Barrios et al. Tablas de Probabilidades Distribución del estadístico d de Durbin-Watson Se define el estadístico de Durbin-Watson n i=2 d = (e i e i 1 ) 2 n i=1 e2 i donde los e i son los residuales del modelo lineal e i = y i ˆβ 0 ˆβ 1 x i1... ˆβ k x ik, con i = 1,..., n. H 0 : ρ = 0 vs. H a : ρ 0 Inconclusa Rechazar Aceptar d L d U d Prueba para autocorrelacíón positiva (ρ > 0) de significancia α: Si d < dl (α;n,k) Los datos sugieren autocorrelación positiva Si d > du (α;n,k) No hay evidencia de autocorrelación positiva Si dl (α;n,k) < d < du (α;n,k) La prueba es inconcluyente Prueba para autocorrelación negativa (ρ < 0) de significancia α: Si 4 d < dl (α;n,k) Los datos sugieren autocorrelación negativa Si 4 d > du (α;n,k) No hay evidencia de autocorrelación negativa Si dl (α;n,k) < 4 d < du (α;n,k) La prueba es inconcluyente Prueba de dos colas para autocorrelación ( ρ > 0) de significancia α: Si Si d < dl ( α 2 ;n,k) o 4 d < dl ( α 2 ;n,k) Los datos sugieren autocorrelación d > du ( α 2 ;n,k) o 4 d > du ( α 2 ;n,k) No hay evidencia de autocorrelación En otro caso La prueba es inconcluyente

42 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 42 Tabla 10A.1 Cotas críticas dl (α;n,k), du (α;n,k) del estadístico de Durbin-Watson. α = 0.01 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5 k = 6 k = 7 k = 8 k = 9 k = 10 k = 11 n dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du

43 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 43 Tabla 10A.2 Cotas críticas dl (α;n,k), du (α;n,k) del estadístico de Durbin-Watson. α = 0.01 k = 12 k = 13 k = 14 k = 15 k = 16 k = 17 k = 18 k = 19 k = 20 k = 25 k = 30 n dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du

44 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 44 Tabla 10B.1 Cotas críticas dl (α;n,k), du (α;n,k) del estadístico de Durbin-Watson. α = k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5 k = 6 k = 7 k = 8 k = 9 k = 10 k = 11 n dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du

45 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 45 Tabla 10B.2 Cotas críticas dl (α;n,k), du (α;n,k) del estadístico de Durbin-Watson. α = k = 12 k = 13 k = 14 k = 15 k = 16 k = 17 k = 18 k = 19 k = 20 k = 25 k = 30 n dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du

46 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 46 Tabla 10C.1 Cotas críticas dl (α;n,k), du (α;n,k) del estadístico de Durbin-Watson. α = 0.05 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5 k = 6 k = 7 k = 8 k = 9 k = 10 k = 11 n dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du

47 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 47 Tabla 10C.2 Cotas críticas dl (α;n,k), du (α;n,k) del estadístico de Durbin-Watson. α = 0.05 k = 12 k = 13 k = 14 k = 15 k = 16 k = 17 k = 18 k = 19 k = 20 k = 25 k = 30 n dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du

48 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 48 Tabla 10D.1 Cotas críticas dl (α;n,k), du (α;n,k) del estadístico de Durbin-Watson. α = 0.10 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5 k = 6 k = 7 k = 8 k = 9 k = 10 k = 11 n dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du

49 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 49 Tabla 10D.2 Cotas críticas dl (α;n,k), du (α;n,k) del estadístico de Durbin-Watson. α = 0.10 k = 12 k = 13 k = 14 k = 15 k = 16 k = 17 k = 18 k = 19 k = 20 k = 25 k = 30 n dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du

50 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 50

51 Barrios et al. Tablas de Probabilidades Distribución del estadístico U de Corridas (Wald-Wolfowitz) U = número de corridas. P (U = u) = ( (m 1 k 1 2 ( m 1 k 1 )( n 1 k 2 )( n 1 k 1 ) + ( m 1 k 2 ) ( / m+n ) m )( n 1 k 1 ) ) / ( ) m+n m si u = 2k si u = 2k 1 donde m y n son el total de ceros y unos en la secuencia, respectivamente. u p = P (U u) = P (U = k) = 1 α k=1 p 2 u α Tabla 11A. Probabilidades acumuladas p de la distribución de corridas. u (m, n) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) (2, 7) (2, 8) (2, 9) (2, 10) (2, 11) (2, 12) (2, 13) (2, 14) (2, 15) (2, 16) (2, 17) (2, 18) (2, 19) (2, 20) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (3, 7) (3, 8) (3, 9) (3, 10) (3, 11) (3, 12) (3, 13) (3, 14) (3, 15) (3, 16) (3, 17) (3, 18) (3, 19) (3, 20) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (4, 7) (4, 8) (4, 9) (4, 10) (4, 11) (4, 12) (4, 13) (4, 14) (4, 15) (4, 16) (4, 17) (4, 18) (4, 19) (4, 20) (5, 5) (5, 6) (5, 7) (5, 8) (5, 9) (5, 10) (5, 11) (5, 12) (5, 13) (5, 14) (5, 15) (5, 16) (5, 17) (5, 18) (5, 19) (5, 20)

52 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 52 Tabla 11B. Probabilidades acumuladas p de la distribución de corridas. u (m, n) (6, 6) (6, 7) (6, 8) (6, 9) (6, 10) (6, 11) (6, 12) (6, 13) (6, 14) (6, 15) (6, 16) (6, 17) (6, 18) (6, 19) (6, 20) (7, 7) (7, 8) (7, 9) (7, 10) (7, 11) (7, 12) (7, 13) (7, 14) (7, 15) (7, 16) (7, 17) (7, 18) (7, 19) (7, 20) (8, 8) (8, 9) (8, 10) (8, 11) (8, 12) (8, 13) (8, 14) (8, 15) (8, 16) (8, 17) (8, 18) (8, 19) (8, 20) (9, 9) (9, 10) (9, 11) (9, 12) (9, 13) (9, 14) (9, 15) (9, 16) (9, 17) (9, 18) (9, 19) (9, 20) (10, 10) (10, 11) (10, 12) (10, 13) (10, 14) (10, 15) (10, 16) (10, 17) (10, 18) (10, 19) (10, 20)

53 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 53 Tabla 11C.1 Probabilidades acumuladas p de la distribución de corridas. u (m, n) (11, 11) (11, 12) (11, 13) (11, 14) (11, 15) (11, 16) (11, 17) (11, 18) (11, 19) (11, 20) (12, 12) (12, 13) (12, 14) (12, 15) (12, 16) (12, 17) (12, 18) (12, 19) (12, 20) (13, 13) (13, 14) (13, 15) (13, 16) (13, 17) (13, 18) (13, 19) (13, 20) (14, 14) (14, 15) (14, 16) (14, 17) (14, 18) (14, 19) (14, 20) (15, 15) (15, 16) (15, 17) (15, 18) (15, 19) (15, 20) (16, 16) (16, 17) (16, 18) (16, 19) (16, 20) (17, 17) (17, 18) (17, 19) (17, 20) (18, 18) (18, 19) (18, 20) (19, 19) (19, 20) (20, 20)

54 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 54 Tabla 11C.2 Probabilidades acumuladas p de la distribución de corridas. 20 (m, n) (11, 11) (11, 12) (11, 13) (11, 14) (11, 15) (11, 16) (11, 17) (11, 18) (11, 19) (11, 20) (12, 12) (12, 13) (12, 14) (12, 15) (12, 16) (12, 17) (12, 18) (12, 19) (12, 20) (13, 13) (13, 14) (13, 15) (13, 16) (13, 17) (13, 18) (13, 19) (13, 20) (14, 14) (14, 15) (14, 16) (14, 17) (14, 18) (14, 19) (14, 20) (15, 15) (15, 16) (15, 17) (15, 18) (15, 19) (15, 20) (16, 16) (16, 17) (16, 18) (16, 19) (16, 20) (17, 17) (17, 18) (17, 19) (17, 20) (18, 18) (18, 19) (18, 20) (19, 19) (19, 20) (20, 20)

55 Barrios et al. Tablas de Probabilidades Distribución del estadístico ρ s de Spearman ρ s = 1 6 d 2 i n 3 n donde d i es la diferencia de rangos para el individuo i. Notas: 1 ρ s 1. La distribución de ρ s es simétrica, luego P (ρ s r s ) = P (ρ s r s ). p = P (ρ s r) = k P (ρ s = k) = 1 α p 1 r 1 α Tabla 12. Valores críticos r (α;n) de la distribución ρ s de Spearman. p p α α n n Para n 19, se presentan aproximaciones por medio de series de Edgeworth.

56 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 56

57 Barrios et al. Tablas de Probabilidades Distribución del estadístico U de Mann-Whitney Sean X 1,..., X m y Y 1,..., Y n muestras aleatorias. Se define el estadístico de Mann-Whitney U por U = R(X i ) m(m + 1) 2 donde R(X i ) denota la suma de los rangos de las X i en la muestra conjunta de X y Y. Notas: La distribución de U es simétrica en m y n. Para valores de m y n mayores a 40, la distribución de U se aproxima mediante la distribución normal. α 0 u Sean F X (x) y F Y (y) las funciones de probabilidad acumulada de X y Y respectivamente y suponga que F X (x) = F Y (x + δ). Se desea contrastar, con una significancia α, la hipótesis H 0 : δ = 0, contra distintas alternativas H a. 1. H a : δ > 0. Si U U(α; m, n), se rechaza entonces la hipótesis H 0. Si U > U(α; m, n), no se rechaza la hipótesis H H a : δ < 0. Si U mn U(α; m, n), se rechaza entonces la hipótesis H 0. Si U < mn U(α; m, n), no se rechaza la hipótesis H H a : δ 0. Si U U(α/2; m, n) ó U mn U(α/2; m, n), se rechaza entonces la hipótesis H 0. Si U(α/2; m, n) < U < mn U(α; m, n), no se rechaza la hipótesis H 0. La prueba Mann-Whitney se puede aplicar para contrastar las medianas η X y η Y, de las distribuciones de X y de Y. Si η X = η Y + δ, se puede considerar la hipótesis H 0 : δ = 0, contra las anteriores alternativas i iii. A saber, para δ = 0, H 0 : η X = η Y. 1. H a : η X < η Y. Si U U(α; m, n), se rechaza la hipótesis H 0 en favor de H a. 2. H a : η X > η Y. Si U mn U(α; m, n), se rechaza la hipótesis H 0 en favor de H a. 3. H a : η X η Y. Si U U(α/2; m, n) ó U mn U(α/2; m, n), se rechaza la hipótesis H 0 en favor de H a.

58 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 58 Tabla 13A.1 Valores críticos U (α;m,n) del estadístico de Mann-Whitney α = 0.01 n m Nota: Los caracteres y se refieren a valores inexistentes y valores que se pueden obtener por simetría respectivamente. Tabla 13A.2 Valores críticos U (α;m,n) del estadístico de Mann-Whitney α = 0.01 n m

59 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 59 Tabla 13B.1 Valores críticos U (α;m,n) del estadístico de Mann-Whitney α = n m Tabla 13B.2 Valores críticos U (α;m,n) del estadístico de Mann-Whitney α = n m

60 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 60 Tabla 13C.1 Valores críticos U (α;m,n) del estadístico de Mann-Whitney α = 0.05 n m Tabla 13C.2 Valores críticos U (α;m,n) del estadístico de Mann-Whitney α = 0.05 n m

61 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 61 Tabla 13D.1 Valores críticos U (α;m,n) del estadístico de Mann-Whitney α = 0.10 n m Tabla 13D.2 Valores críticos U (α;m,n) del estadístico de Mann-Whitney α = 0.10 n m

62 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 62

63 Barrios et al. Tablas de Probabilidades Distribución del estadístico D de Kolmogorov-Smirnov Sea F la distribución conocida, F la distribución de la variable X y F n la función de distribución empírica. Se supone que X es una variable aleatoria continua. Para probar: H 0 :F (x) = F (x) D = sup{ F (x) F n (x) } x Para probar: H 0 :F (x) F (x) D + = sup{f (x) F n (x)} x Para probar: H 0 :F (x) F (x) p 0 d α D = sup{f n (x) F (x)} x En los tres casos, la hipótesis nula debe rechazarse si el estadístico correspondiente es mayor que el cuantil al nivel de significancia deseado 1. Para n > 50 se presenta una aproximación del cuantil correcto utilizando la distribución asintótica de los estadísticos 2. Tabla 14. Valores críticos D + (α;n) de la distribución de Kolmogorov-Smirnov. p p α α n n n > n n n n 1 La distribución del estadístico D es la misma que la de D +. Los valores críticos para el estadístico D son los presentados para el nivel 2α. 2 El error de aproximación es menor que para ambas pruebas.

64 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 64

65 Barrios et al. Tablas de Probabilidades Distribución del estadístico W + de Wilcoxon Sea X 1, X 2,..., X n una muestra aleatoria. W + = R i I {Xi>0} donde R i es el rango de X i e I { } es la función indicadora. p = Pr(W + w) p w α Tabla 15A. Probabilidades acumuladas Pr(W + n w) de la distribución del estadístico W + n de Wilcoxon. n w

66 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 66 Tabla 15B. Valores críticos w + (α;n) de la distribución de Wilcoxon. p α n n(n + 1)/ Notas: 1. En esta tabla α = Pr ( W + w (α,n) ). 2. La distribución de W + es simétrica alrededor de n(n + 1)/2, por lo que w (p,n) = 3. Para n > 40 puede utilizar la aproximación w (p,n) n(n + 1) 4 n(n + 1) 2 w (1 p,n) + z p n(n + 1)(2n + 1) 24 donde z p es el p-ésimo cuantil de la distribución normal estándar, i.e., p = Φ(z p ).

67 Barrios et al. Tablas de Probabilidades Números Seudoaleatorios

68 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 68

69 Barrios et al. Tablas de Probabilidades 69 Bibliografía [1] D. J. Best and D. E. Roberts. Algorithm AS 89: The Upper Tail Probabilities of Spearman s Rho. Applied Statistics, 24: , [2] Z. W. Birnbaum and F. H. Tingey. One-Sided Confidence Contours for Probability Distribution Functions. The Annals of Mathematical Statistics, 22: , [3] W. J. Conover. Practical Nonparametric Statistics. Wiley, [4] David B. Dahl. xtable: Export tables to LaTeX or HTML, R package version [5] S. T. David, M. G. Kendall, and A. Stuart. Some Questions of Distribution in the Theory of Rank Correlation. Biometrika, 38: , [6] L. C. Dinneen and B. C. Blakesley. Algorithm AS 62: A Generator for the Sampling Distribution of the Mann- Whitney U Statistic. Applied Statistics, 22: , [7] J. Durbin and G. S. Watson. Testing for Serial Correlation in Least Squares Regression I. Biometrika, 37: , [8] J. Durbin and G. S. Watson. Testing for Serial Correlation in Least Squares Regression II. Biometrika, 38: , [9] J. Durbin and G. S. Watson. Testing for Serial Correlation in Least Squares Regression III. Biometrika, 58:1 19, [10] W. Feller. On the Kolmogorov-Smirnov Limit Theorems for Empirical Distributions. The Annals of Mathematical Statistics, 19: , [11] L A TEX. A document preparation system url: [12] H. B. Mann and D. R. Whitney. On a Test of Whether one of Two Random Variables is Stochastically Larger than the Other. The Annals of Mathematical Statistics, 18:50 60, [13] G. Marsaglia, W. W. Tsang, and J. Wang. Evaluating Kolmogorov s Distribution. Journal of Statistical Software, 8:1 6, [14] L. H. Miller. Table of Percentage Points of Kolmogorov Statistics. Journal of the American Statistical Association, 51:11 121, [15] R. C. Milton. An Extended Table of Critical Values for the Mann-Whitney (Wilcoxon) Two-Sample Statistic. Journal of the American Statistical Association, 59: , [16] E. G. Olds. Distributions of Sums of Squares of Rank Differences for Small Numbers of Individuals. The Annals of Mathematical Statistics, 9: , [17] R Development Core Team. R: A Language and Environment for Statistical Computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria, [18] P. H. Ramsey. Critical Values for Spearman s Rank Order Correlation. Journal of Educational Statistics, 14: , [19] N. E. Savin and K. J. White. The Durbin-Watson Test for Serial Correlation with Extreme Sample Sizes or Many Regressors. Econometrica, 45: , [20] A. Wald and J. Wolfowitz. On a Test Whether Two Samples are from the Same Population. The Annals of Mathematical Statistics, 11: , [21] J. H. Zar. Testing of the Spearman Rank Correlation Coefficient. Journal of the American Statistical Association, 67: , 1972.