Departamento de Matemática Aplicada a la I.T.T.

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Marina Giménez Ferreyra
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1 Departamento de Matemática Aplicada a la I.T.T. ASIGNATURA: ESTADÍSTICA Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS EXAMEN FINAL Duración: horas Fecha: de Julio de Fecha publicación notas: -7- Fecha revisión examen: 8-7- APELLIDOS Y NOMBRE: DNI: TITULACIÓN: Ejercicio punto Un departamento solicita dos colaboradores entre los alumnos del último curso de Grado. La persona que hace la selección decide elegirlos al azar porque no dispone de la información relativa a los expedientes de los candidatos presentados. Suponiendo que los expedientes de los candidatos son todos diferentes, a Calcula la probabilidad de que, entre los dos elegidos, se encuentre uno de los dos mejores expedientes y el peor de ellos. Todos los pares de colaboradores que se pueden formar con los estudiantes son igualmente probables. En consecuencia, aplicando la regla de Laplace, C, b Calcula la probabilidad de que se elija al estudiante con mejor expediente. Aplicando la regla de Laplace 4 4 C, c Calcula la probabilidad de que se elija al menos uno de los dos estudiantes con mejor expediente. Sea A el suceso no se elige a ninguno de los dos estudiantes con mejor expediente P A P A C, C, 7 donde hemos aplicado la regla de Laplace para calcular P A. Ejercicio. puntos Cada CD producido por una compañía es defectuoso con una probabilidad igual a., independientemente de un CD a otro. La compañía vende los CDs en paquetes de y ofrece una garantía de devolución del dinero si algún CD del paquete resulta defectuoso. Si todos los compradores ejercieran la garantía, a Cuál es la probabilidad de que un paquete sea devuelto? Sea X la variable aleatoria número de CDs defectuosos de un paquete X Binn, p. P X i. i.9 i, i,,,... i P X P X < P X.9.4

2 b Si una persona compra tres paquetes, cual es la probabilidad de que exactamente devuelva uno de ellos. Sea Y la variable aleatoria número de paquetes devueltos de entre los. Y Binn, p.4 P Y Ejercicio. puntos Si un usuario llega a la parada de un autobús, el tiempo, en minutos, que debe esperar si no hay retraso, es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo, 8. Si el autobús lleva retraso, el tiempo de espera, en minutos, sigue una distribución exponencial de parámetro.. El autobús llega con retraso uno de cada tres días. a Calcula la probabilidad de que el usuario tenga que esperar más de minutos. Sea T la variable aleatoria tiempo de espera y R el suceso el autobús llega con retraso. Aplicando el teorema de la probabilidad total Calculando Resulta finalmente P T > P T > /R P R + P T > /R P R P T > /R P T > /R.e.x dx e / 8 8 dx 8 P T > 8 + e.4 b Si un usuario ha tenido que esperar menos de minutos, cuál es la probabilidad de que el autobús haya tenido retraso? Aplicando el teorema de Bayes P R/T < P T < /R P R P T < e /.4.9 Ejercicio 4 punto Sea X una variable aleatoria que toma el valor con probabilidad y el valor con probabilidad. Sea Y otra variable aleatoria independiente de X, que toma los valores, y con probabilidades 4, y 4, respectivamente. Construimos la variable aleatoria Z, a partir de X e Y, de la siguiente manera: Z Z Z si X o Y o ambos son iguales a cero, si X e Y son iguales a uno, en los demás casos.

3 a Calcula la función de probabilidad de Z. P Z P X, Y + P X, Y + P X, Y + P X, Y P X P Y + P X P Y + P X P Y + P X, Y P Z P X, Y P X P Y P Z P Z + P Z 6 b Calcula la media y desviación típica de X. E[X] P X + P X E[X ] P X + P X VARX E[X ] E[X] 9 σ VARZ.474 Ejercicio. puntos Sean X e Y variables aleatorias con función de densidad conjunta 6 fx, y x + xy < x <, < y < en otro caso a Calcula EXY. EXY xyfx, y dxdy 6 [,] [,] b Calcula las marginales. xyx +xy dy dx 6 x +x dx 6 f X x x + xy dy 6 x + x < x < en el resto 6 f Y y x + xy dx + y < y < en el resto c Calcula la probabilidad del suceso X Y. P X Y 6 x x + xy dy dx 6 x x + x x dx

4 Ejercicio 6. puntos Los datos acumulados indican que el nivel de acidez media ph de la lluvia en una determinada región industrial es.. Para contrastar si se ha producido recientemente algún cambio se midieron los niveles de acidez de tormentas de lluvia del pasado año y se obtuvieron los siguientes valores de la media y cuasidesviación típica x.667 y s.9. a Calcula el p-valor del contraste: H : µ. H : µ. b Son estos datos suficientemente significativos para concluir con un nivel de significación del % que la acidez media de la lluvia ha cambiado? Nota: Sea X una variable aleatoria con distribución t de Student con grados de libertad. La siguiente tabla muestra los valores de su función de distribución en diferentes abscisas a H : µ. H : µ. x P X x Si H es cierta, el estadístico T X. S / sigue una distribución t de Student con grados de libertad. El valor de T en la muestra es /.76 p-valor P t > b Se acepta la hipótesis nula para cualquier nivel de significación α <.6. En particular se acepta, con un nivel de significación del %, que la acidez media no ha cambiado. Ejercicio 7 puntos Sea Xt un proceso estacionario normal con media y autocorrelación R X τ +τ. Sean Y t AXt donde A es una variable aleatoria independiente de Xt y verificando P A P A /. a Calcula P X + X. Como [X, X] es una variable aleatoria con distribución normal, X+X es una variable aleatoria de distribución normal de media E[X +X] E[X] +E[X] y varianza VAR[X+X] VAR[X]+VAR[X]+COV[X, X] R X +R X +R X Entonces X + X P X + X P Φ 4

5 b Calcula la autocorrelación de Y t. R Y τ E[AXtAXt + τ] E[A ]E[XtXt + τ] R X τ +τ c Suponiendo A, calcula la distribución del vector aleatorio [Y, Y 7]. Suponiendo A se verifica que Y Y 7 X X7 X X7 Sabemos que Xt es un proceso normal estacionario con E[Xt], VAR[Xt] y COVX, X7 R X E[Xt] /6 De manera que si µ es el vector de medias y M la matriz de covarianzas X /6 N µ, M X7 /6 Entonces, Y Y 7 N µ, M siendo µ M /6 /6 4 / / 4 d Calcula P X + X A. Indicación: utiliza el Teorema de la probabilidad total P X + X A P A P X + X A/A + P A P X + X A/A P X + X + P X + X 4 + Φ

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