Contrastes de hipótesis. 1: Ideas generales

Transcripción

1 Contrastes de hipótesis 1: Ideas generales 1

2 Inferencia Estadística paramétrica población Muestra de individuos Técnicas de muestreo X 1 X 2 X 3.. X n Inferencia Estadística: métodos y procedimientos que por medio de la inducción determina propiedades de una población. Comprende: Estimación de parámetros desconocidos de la distribución de la variable observada Comparación de los parámetros de dos o más poblaciones. 2

3 Los problemas de la inferencia. Estimación de parámetros: Suponiendo un cierto modelo probabilístico (una distribución) cuales son los parámetros que mejor se adaptan a la muestra. Contraste de hipótesis: Dada una suposición sobre los parámetros de una o varias distribuciones, por ejemplo: La media de la población es igual a 10? Las medias de dos poblaciones son iguales? En el contraste de hipótesis queremos verificar si la muestra obtenida es compatible con alguna suposición. 3

4 Que es una hipótesis? Una creencia sobre la población, principalmente sus parámetros: Media Varianza Proporción/Tasa Creo que el porcentaje de enfermos será el 5% OJO: Una hipótesis debe establecerse antes del análisis. 4

5 Elementos de los tests de hipótesis Un test de hipótesis consta de cuatro elementos: Hipótesis Nula (H 0 ) Hipótesis alternativa (H 1 ) El estadístico del test El valor de rechazo o valor crítico Bioestadística FMCS Reus URV Curs

6 Elementos de los tests de hipótesis Hipótesis Nula (H 0 ): Una hipótesis que hace referencia a algún parámetro de la población que desconocemos La hipótesis nula será la hipótesis que queremos contrastar Escogeremos la hipótesis nula, siempre que los datos que tenemos no nos indiquen que es falsa Bioestadística FMCS Reus URV Curs

7 Elementos de los tests de hipótesis Hipótesis alternativa (H 1 ) : La hipótesis alternativa es la contraria (la complementaria ) de la hipótesis nula Solo se acepta si, con los datos que tenemos, hay una gran evidencia de que la hipótesis nula es falsa. Bioestadística FMCS Reus URV Curs

8 Qué es H 0? Problema: La osteoporosis está relacionada con el sexo? Solución: Traducir a lenguaje estadístico: Establecer su opuesto: p 50% p 50% Seleccionar la hipótesis nula H : p 0 50% 8

9 Qué es H 0? Problema: El colesterol medio para la dieta mediterránea es 6 mmol/l? Solución: Traducir a lenguaje estadístico: Establecer su opuesto: 6 6 Seleccionar la hipótesis nula H : 0 6 9

10 Elementos de los tests de hipótesis Estadístico del test (= estadístico de la prueba = test): Se calcula a partir de la muestra. Normalmente es una medida de discrepancia entre la hipótesis nula i la muestra Cuanto mayor sea, más discrepa la muestra de la hipótesis nula i más probable será que rechacemos la hipótesis Y viceversa: cuanto menor sea, menor discrepancia i más probable es que no la rechacemos. Bioestadística FMCS Reus URV Curs

11 Razonamiento Ejemplo Si H 0 40 y el valor obtenido en la muestra es de X = 20 Que hace un investigador cuando su teoría no coincide con los resultados que obtiene? Rechazo que H 0 sea cierta y concluyo que μ 40. μ = 40 X = el resultado del experimento era poco probable. i a pesar de ello ha pasado 11

12 Ejemplo: Si H 0 : 40 y el valor obtenido en la muestra es de X 38 μ = 40 X = el resultado del experimento es coherente. No hay evidencia contra H 0 No se puede rechazar H 0 El experimento no es concluyente El contraste no es significativo 12

13 Valor crítico o valor de rechazo a H 0 : =70 t a 13

14 Nivel de significación No se rechaza H 0 : =70 a H 0 : =70 X 72 t a 14

15 Significación: p-valor Es la probabilidad que tendría una región crítica que comenzase exactamente en el valor del estadístico obtenido de la muestra. Es la probabilidad de tener una muestra que discrepe aún más que la nuestra de H 0. Es la probabilidad de que por puro azar obtengamos una muestra más extraña que la obtenida. p solo se conoce después de realizar el experimento aleatorio El contraste es no significativo cuando p>a El contraste es significativo cuando p<a P a No se rechaza H 0 : =70 P a X 72 15

16 Resumen: a & p como base de rechazo Sobre a Es un número pequeño prefijado previamente a análisis del experimento Una vez fijado obtenemos el valor crítico t a y tomaremos la decisión comparándolo con la t exp Sobre p Se obtiene después de hacer el experimento Una vez conocido tomaremos la decisión comparándolo con el nivel de significación Criterio de rechazo Contraste significativo = p menor que a 16

17 Contrastes: unilateral y bilateral La posición del valor crítico depende de como se defina la hipótesis alternativa Bilateral H 1 : m Unilateral Unilateral H 1 : m < H 1 : m > 17

18 Muestras independientes vs apareadas Las comparaciones de 2 grupos se basan en recoger una muestra aleatoria simple de cada grupo -> los datos son independientes dentro del grupo. A veces se pueden presentar situaciones de dependencia entre los datos de los 2 grupos. Ejemplo 1: Se quiere comparar la eficacia de 2 fármacos para adelgazar. Se obtienen 20 individuos y se asignan al azar 10 a cada tratamiento. A los dos meses se mide la diferencia de peso antes y después del tratamiento: comparación de 2 muestras independientes. Ejemplo 2: Se obtienen 10 individuos aleatoriamente, se mide el peso, Se suministra durante 2 meses el mismo tratamiento y se mide finalmente el peso. Para cada individuo existe una relación (dependencia) entre el peso inicial y el peso al cabo de 2 meses los datos se encuentran apareados: comparación de 2 muestras apareadas. 18

19 Ejemplo bilateral Parámetro: µ Hipótesis Nula (H 0 ) H 0: µ = µ 0 Hipótesis alternativa (H 1 ) H 1 : µ µ 0 El estadístico de la prueba (σ desconocida) Bajo la hipótesis H 0 (es decir suponiendo que es cierta) X - μ X 0 T = = t(n- 1) El valor de rechazo o valor crítico σ X X - μ s n Distribución t-student Rechazo de H 0 si t < -t n-1,α/2 o t > t n-1,α/2 Aceptación de H 0 si - t n-1,α/2 <= t <= t n-1,α/2 Si n grande la t-student es equivalente a una N(0,1) 19

20 Ejemplo unilateral Parámetro: µ Hipótesis Nula (H 0 ) H 0: µ = µ 0 Hipótesis alternativa (H 1 ) H 1 : µ < µ 0 El estadístico de la prueba (σ desconocida) Bajo la hipótesis H 0 (es decir suponiendo que es cierta) X - μ X 0 T = = t(n- 1) El valor de rechazo o valor crítico σ X X - μ s n Distribución t-student Rechazo de H 0 si t < t n-1,α Aceptación de H 0 si t n-1,α/2 >= t n-1,α Si n grande la t-student es equivalente a una N(0,1) 20

21 Riesgos al tomar decisiones Ejemplo 1: Se juzga a un individuo por la presunta comisión de un delito Los datos pueden refutarla H 0 : Hipótesis nula Es inocente H 1 : Hipótesis alternativa Es culpable La que se acepta si las pruebas no indican lo contrario Rechazarla por error tiene graves consecuencias No debería ser aceptada sin una gran evidencia a favor. Rechazarla por error tiene consecuencias consideradas menos graves que la anterior 21

22 Riesgos al contrastar hipótesis Ejemplo 2: Se cree que un nuevo tratamiento ofrece buenos resultados Ejemplo 3: Parece que hay una incidencia de enfermedad más alta de lo normal H 0 : Hipótesis nula (Ej.1) Es inocente (Ej.2) El nuevo tratamiento no tiene efecto (Ej.3) No hay nada que destacar No especulativa H 1 : Hipótesis alternativa (Ej.1) Es culpable (Ej.2) El nuevo tratamiento es útil (Ej. 3) Hay una situación anormal Especulativa 22

23 veredicto Tipos de error al tomar una decisión Realidad Inocente Culpable Inocente OK Error Menos grave Culpable Error OK Muy grave 23

24 Errores de tipo I y tipo II Realidad (población) Hay diferencia o asociación (H 0 falsa) No hay diferencia o asociación (H 0 cierta) Resultado de la prueba (muestra) diferencia o asociación significativa (rechazo de H 0 ) diferencia o asociación no significativa (no rechazo de H 0 ) No error error tipo II error tipo I a No error a = P(cometer un error de tipo I)=P(rechazar H 0 H 0 es cierta) = P(cometer un error de tipo II)=P(no rechazar H 0 H 0 es falsa) 24

25 Potencia y nivel de confianza Decisión H 0 es falsa Población real H 0 es cierta Se rechaza H 0 No se rechaza H 0 Decisión correcta 1- (potencia) Riesgo (error tipo II) Riesgo a (error tipo I) Decisión correcta 1- a (confianza) 1-a = nivel de confianza 1- = Potencia= P(rechazar H 0 H 0 es falsa) 25

26 No se puede tener todo a Para un tamaño muestral fijo, no se pueden reducir a la vez ambos tipos de error. Para reducir, hay que aumentar el tamaño muestral. 26

27 Conclusiones Las hipótesis no se plantean después de observar los datos. En ciencia, las hipótesis nula y alternativa no tienen el mismo papel: H 0 : Hipótesis científicamente más simple. H 1 : El peso de la prueba recae en ella. α debe ser pequeño Rechazar una hipótesis consiste en observar si p<α Rechazar una hipótesis no prueba que sea falsa. Podemos cometer error de tipo I No rechazar una hipótesis no prueba que sea cierta. Podemos cometer error de tipo II Si decidimos rechazar una hipótesis debemos mostrar la probabilidad de equivocarnos. 27