Vectores aleatorios. Estadística I curso

Transcripción

1 Vectores aleatorios Ignacio Cascos Fernández Departamento de Estadística Universidad Carlos III de Madrid Estadística I curso En numerosas ocasiones estudiamos más de una variable asociada a un experimento aleatorio Un vector aleatorio es una aplicación del espacio muestral E en R n En el caso bidimensional (n = 2), (X, Y ) : E R 2 1 Distribución conjunta de un vector aleatorio A la distribución de probabilidad que describe el comportamiento simultáneo de todas las variables que componen un vector aleatorio se le llama distribución de probabilidad conjunta 11 Vectores aleatorios discretos Si X e Y son dos variables aleatorias discretas, podemos definir función de probabilidad conjunta: p(x, y) = P (X = x, Y = y), que debe cumplir, p(x, y) 0 y x y p(x, y) = 1 función de distribución conjunta: F (x 0, y 0 ) = P (X x 0, Y y 0 ) = x x 0 y y 0 p(x, y) 111 Distribución Multinomial Dado un experimento aleatorio con k posibles resultados con probabilidades p 1, p 2,, p k constantes en distintas realizaciones y que se repite n veces en condiciones de independencia, un vector aleatorio (X 1, X 2,, X n ) sigue distribución multinomial si cada X i representa el número de veces (de entre las n realizaciones experimentales) en las que ocurre el resultado i-ésimo 1

2 La función de probabilidad conjunta es P (X 1 = x 1, X 2 = x 2,, X k = x k ) = donde x 1 + x x k = n y p 1 + p p k = 1 12 Vectores aleatorios continuos n! x 1!x 2! x k! px 1 1 p x 2 2 p x k k, Si X e Y son dos variables aleatorias continuas, podemos definir función de densidad conjunta: f(x, y) que debe cumplir f(x, y) 0 y f(x, y)dxdy = 1 Sirve para calcular cualquier probabilidad, P (a X b, c Y d) = función de distribución conjunta: F (x 0, y 0 ) = P (X x 0, Y y 0 ) = Además tenemos que f(x, y) = 2 F (x, y) x y b d a c x0 y0 f(x, y)dydx f(x, y)dydx 2 Distribuciones marginales y condicionadas Las distribuciones marginales y condicionadas son distribuciones unidimensionales asociadas a las de un vector aleatorio Para ellas podemos calcular probabilidades, medias, varianzas, etc 21 Distribuciones marginales A la distribución, por separado, de cada una de las variables que componen el vector aleatorio, se le llama distribución marginal 2

3 Variables discretas Si X e Y son variables aleatorias discretas con función de probabilidad conjunta p(x, y) función de probabilidad (marginal) de X: p X (x) = P (X = x) = y P (X = x, Y = y) función de probabilidad (marginal) de Y : p Y (y) = P (Y = y) = x P (X = x, Y = y) Variables continuas Si X e Y son variables aleatorias continuas con función de densidad conjunta f(x, y) función de densidad (marginal) de X: f X (x) = función de densidad (marginal) de Y : f Y (y) = 22 Distribuciones condicionadas f(x, y)dy f(x, y)dx Variables discretas Si X e Y son variables aleatorias discretas con función de probabilidad conjunta p(x, y) función de probabilidad de Y condicionada a X = x 0 (p X (x 0 ) > 0): p(y x 0 ) = P (Y = y X = x 0 ) = P (X = x 0, Y = y) P (X = x 0 ) = p(x 0, y) p X (x 0 ) función de probabilidad de X condicionada a Y = y 0 (p Y (y 0 ) > 0): p(x y 0 ) = P (X = x Y = y 0 ) = P (X = x, Y = y 0) P (Y = y 0 ) = p(x, y 0) p Y (y 0 ) 3

4 Variables continuas Si X e Y son variables aleatorias continuas con función de densidad conjunta f(x, y) función de densidad de Y condicionada a X = x 0 (f X (x 0 ) > 0): f(y x 0 ) = f(x 0, y) f X (x 0 ) función de densidad de X condicionada a Y = y 0 (f Y (y 0 ) > 0): f(x y 0 ) = f(x, y 0) f Y (y 0 ) 3 Independencia entre variables aleatorias Dos variables aleatorias son independientes si el valor que toma una no aporta información sobre el valor que tomará la otra Variables discretas: X e Y son independientes si para todo x, y se cumple alguna de estas condiciones p(y x) = p Y (y) p(x y) = p X (x) p(x, y) = p X (x)p Y (y) Variables continas: X e Y son independientes si para todo x, y se cumple alguna de estas condiciones f(y x) = f Y (y) f(x y) = f X (x) f(x, y) = f X (x)f Y (y) En general X y Y son independientes si su función de distribución conjunta puede escribirse como producto de las marginales, F (x, y) = F X (x)f Y (y) para todos x, y 4

5 4 Características de un vector aleatorio Trabajamos con un vector aleatorio con n componentes X 1, X 2,, X n representándolo como un vector columna, X 1 X 2 X = 41 Esperanza El vector de medias de un vector aleatorio X es aquel cuyas componentes son las esperanzas de cada componente de X, E[X 1 ] E[X 2 ] µ = E[X] = E[X n ] Dado un vector aleatorio bidimensional (X, Y ), podemos hallar la esperanza de una transformación suya como: { x y h(x, y)p(x, y) si X, Y discretas E[h(X, Y )] = h(x, y)f(x, y)dxdy si X, Y continuas 42 Covarianza La covarianza es una medida de la relación lineal entre dos variables, Cov(X, Y ) = E [ (X E[X])(Y E[Y ]) ] = E[XY ] E[X]E[Y ] Propiedades de la covarianza: X n si X e Y son independientes, Cov(X, Y ) = 0 (E[XY ] = E[X]E[Y ]) Cov(X, Y ) = 0 no implica que X e Y sean independientes Cov(aX + b, cy + d) = accov(x, Y ) 5

6 43 Correlación La correlación es una medida adimensional de la relación lineal entre dos variables, ρ(x, Y ) = Cov(X, Y ) Var[X]Var[Y ] Propiedades de la correlación: si X e Y son independientes, ρ(x, Y ) = 0 1 ρ(x, Y ) 1 ρ(x, ax + b) = 1 44 Matriz de varianzas y covarianzas Se trata de una matriz cuadrada n n que viene dada por Var[X 1 ] Cov(X 1, X 2 ) Cov(X 1, X n ) M X = E [ (X µ)(x µ) t] Cov(X 1, X 2 ) Var[X 2 ] Cov(X 2, X n ) = Cov(X 1, X n ) Cov(X 2, X n ) Var[X n ] 5 Transformaciones de vectores aleatorios Dado un vector aleatorio X = (X 1,, X n ) t con función de densidad conjunta f X (x 1,, x n ) lo transformamos en otro vector aleatorio Y = (Y 1,, Y n ) t con la misma dimensión Y 1 = g 1 (X 1,, X n ) Y n = g n (X 1,, X n ) de tal modo que existan transformadas inversas La función de densidad del nuevo vector aleatorio Y es dx 1 dx dy 1 1 dy n f Y (y 1,, y n ) = f X (g 1 (y 1,, y n )) det dx n dx dy 1 n dy n 6

7 51 Convolución Si X 1 y X 2 son variables aleatorias independientes con funciones de densidad f X1 (x 1 ) y f X2 (x 2 ), la función de densidad de Y = X 1 + X 2 es f Y (y) = 52 Transformaciones lineales f X1 (y x)f X2 (x)dx Si X = (X 1, X 2,, X n ) t es un vector aleatorio n-dimensional y A es una matriz de dimensión m n, el vector aleatorio Y = AX (m-dimensional) satisface: E[Y ] = E[AX] = AE[X], M Y = E [ (AX AE[X])(AX AE[X]) t] = AM X A t 6 Distribución Normal multivariante Decimos que X = (X 1, X 2 ) t sigue distribución Normal bivariante con vector de medias µ = (µ 1, µ 2 ) t y matriz de varianzas y covarianzas ( ) σ 2 Σ = 1 ρσ 1 σ 2 ρσ 1 σ 2 σ2 2 si tiene función de densidad { 1 f(x, y) = exp 1 ( 2π Σ 1/2 2 (x 1 µ 1, x 2 µ 2 )Σ 1 x1 µ 1 x 2 µ 2 )}, x 1, x 2 R 61 Propiedades de la distribución Normal bivariante Si ρ = 0, entonces X 1 y X 2 son independientes dados a 1, a 2 R, la variable aleatoria a x X 1 + a 2 X 2 sigue distribución Normal, ( a 1 X 1 + a 2 X 2 N a 1 µ 1 + a 2 µ 2, a 21σ 21 + a 22σ ) a 1 a 2 ρσ 1 σ 2 En particular, X 1 y X 2 siguen distribución Normal Las variables aleatorias X 1 X2 =x 2 y X 2 X1 =x 1 siguen distribución Normal 7