Capítulo 7: Distribuciones muestrales

Transcripción

1 Capítulo 7: Distribuciones muestrales

2 Recordemos: Parámetro es una medida de resumen numérica que se calcularía usando todas las unidades de la población. Es un número fijo. Generalmente no lo conocemos. Estadística es una medida de resumen numérica que se calcula de las unidades de la muestra. El valor de la estadística se conoce cuando tomamos una muestra, pero varia de muestra en muestra variación muestral

3 Inferencia estadística: es el proceso de sacar conclusiones de la población basados en la información de una muestra de esa población.

4 Objetivos de la inferencia: estimación de parámetros, intervalos de confianza y docimasia, test de hipótesis o pruebas de significación estadística.

5 Distribuciones muestrales Una estadística muestral proveniente de una muestra aleatoria simple tiene un patrón de comportamiento (predecible) en repetidas muestras. Este patrón es llamado la distribución muestral de la estadística. Si conocemos la distribución muestral podemos hacer inferencia. Las distribuciones muestrales adoptan diferentes formas según las estadísticas investigadas y las características de la población estudiada.

6 7.1 Distribución muestral de una proporción muestral La distribución muestral de la proporción muestral es la distribución de los valores de las proporciones muestrales de todas las posibles muestras del mismo tamaño n tomadas de la misma población.

7 Suponga que estamos interesados en conocer la proporción de mujeres en Chile. Nuestro parámetro de interés es: P= número de mujeres en Chile número de habitantes en Chile La población es demasiado grande. Hacer un censo sería demasiado caro. Decidimos estimar el verdadero parámetro a partir de una muestra. La proporción muestral sería: pˆ = número de mujeres en la muestra tamaño de la muestra

8 Supongamos que sabemos que P = 0, 5 Qué pasa si tomamos una muestra tamaño n = 20? Muestra #1: H M H H H M M M H H H M H M M H H M H M Proporción de mujeres $p=9/20=0,45 Muestra #2: M M H M H M M H H H H M H H M M M H M M Proporción de mujeres $p=11/20=0,55 Muestra #3: H H M M M H H M H M H M H M M H H M M H Proporción de mujeres $p=10/20=0,50

9 En la práctica el investigador toma una muestra. El conocimiento de la distribución muestral nos servirá de base teórica para hacer inferencia estadística. Para conocer la distribución muestral de una estadística deberíamos considerar todas las posibles muestras de un tamaño n, de una población.

10 En la práctica, podemos simular la distribución muestral aproximada o empírica, de la siguiente manera: 1. Seleccione "muchas" muestras aleatorias de mismo tamaño de una población. 2. En cada muestra calcule el estadístico muestral 3. Determine la distribución muestral aproximada

11 Recuerden que al analizar una distribución nos interesa: 1. Forma (simétrica o sesgada) 2. Posición central - la media de una distribución muestral nos dice si el estadístico es un "buen" (insesgado) estimador del parámetro o es sesgado. 3. Dispersión - nos da una idea del error de muestreo.

12 cuál es la proporción de números pares de la tabla de números aleatorios? Usando tabla de números aleatorios. Asumamos que el 50% de la población es par, es decir P = 0, 5 Vamos a tomar 50 muestras de tamaño n= 4 de esta población. Seleccionamos un punto de partida y elegimos 4 números.

13 Supongamos que el punto de partida es Fila 20: columna fila

14 Resultados si el punto de partida es Fila 20: Muestra Estadístico / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /4

15 Muestra Estadístico / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /4

16 Tabla: Número de pares Proporción muestral Frecuencia 0 0/4 = 0, /4 = 0, /4 = 0, /4 = 0, /4 = 1,00 6 Total Proporción de todas las muestras a) Cuál fue la proporción más frecuente? b) Dibuje la distribución muestral empírica. Qué forma tiene? Cada vez que tomamos una muestra tenemos una estimación para el parámetro P. Estas estimaciones varían entre muestras variación muestral

17 Se puede demostrar que si tomamos una m.a.s. de tamaño n de una población con parámetro P, la desviación estándar de $ p es: σ pˆ = P(1 n P) que depende de la verdadera proporción P y del tamaño muestral n. Si el tamaño muestral es n= 4 y la proporción en la población es P = 0, 5 entonces la desviación estándar de $p es: P(1 P) 0,5(1 4 0,5) σ p = = = ˆ n 0,25

18 Que pasa si aumentamos el tamaño muestral? Que pasa con P? Cómo afecta el valor de P en la desviación estándar? P P(1-P) 0,1 0,09 0,2 0,16 0,3 0,21 0,4 0,24 0,5 0,25 0,6 0,24 0,7 0,21 0,8 0,16 0,9 0,09 P(1-P) P

19 Sesgo y Precision Cuando estimamos un parámetro de la población a partir de una estadística muestral, nos va a interesar que la estimación no tenga sesgo y sea precisa. La figura ilustra la diferencia entre sesgo y precisión.

20 Distribución muestral de una proporción Si P representa la proporción de elementos en una población con cierta característica de interés, es decir, la proporción de éxitos, donde éxito corresponde a tener la característica. Si sacamos muestras aleatorias simples de tamaño n de la población donde la proporción de éxitos es P, entonces la distribución muestral de la proporción muestral tiene las siguientes propiedades: 1. El promedio de todos los valores posibles de $p es igual al parámetro P. En otras palabras, $p es un estimador insesgado de P. µ = P pˆ

21 2. Error estándar de la proporción muestral: Es la desviación estándar de las posibles proporciones muestrales y mide la dispersión de la proporción muestral. σ pˆ = P(1 n P) 3. Si n es suficientemente grande, la distribución de la proporción muestral es aproximadamente Normal: pˆ ~ & N ( P, P(1 n P) ) cuando np 5 y n(1-p) 5

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23 Sangre En Chile el 5,3% de la población tiene sangre factor Rh(-). En una muestra aleatoria de 400 sujetos de esa población, se encuentra que un 8,8% tiene factor Rh(-). a) cuál es el valor del parámetro? b) cuál es el valor de la estadística? c) Cuál es la probabilidad de que en una nueva muestra aleatoria de tamaño 400 de esa población contenga al menos un 8,8% de personas con sangre factor Rh(-)? P ( ˆp 8, 8)= d) Suponga que se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 10 de la misma población. Queremos calcular la probabilidad de que 8,8% o más tenga sangre factor Rh(-).

24 Distribución muestral de la media muestral La distribución muestral de la media muestral es la distribución de los valores de las medias muestrales de todas las posibles muestras del mismo tamaño n tomadas de la misma población.

25 Considere una población cuya variable aleatoria X es discreta y con la siguiente distribución: La media de la población esµ = Suponga que no conocemos la población o el valor de µ. Podemos tomar una m.a.s. de tamaño n=2 de esta población. Cuál sería una muestra de tamaño n=2 de esta población? Cuál sería la media muestral? Es igual a la media de la población? Si tomamos otra muestra de tamaño n=2, obtendríamos la misma media muestral?

26 Distribución muestral de la media muestral Si sacamos muestras aleatorias de tamaño n de una población con media µ y desviación estándar σ, entonces la distribución muestral de la media muestral tiene las siguientes propiedades: 1. El promedio de todos los valores posibles de medias muestrales es igual al parámetro µ. En otras palabras, la media muestral X es un estimador insesgado de µ. µ =µ x 2. Error estándar de la media muestral: Es la desviación estándar de las posibles medias muestrales. σ σ x = El error estándar disminuye si el tamaño de la muestra aumenta. n

27 3. Si la población original tiene distribución Normal, entonces para cualquier tamaño muestral n la distribución de la media muestral es también Normal: Si X ~ N( µ, σ ) x ~ N( µ, σ ) n 4. Si la población de origen no es Normal, pero n es suficientemente grande la distribución de la media muestral es aproximadamente Normal: Aún si X no es: N( µ, σ ) x ~ & N( µ, σ ) n

28 Nota: - Un tamaño de 30 es considerado suficiente. - El resultado en (4) se conoce como el Teorema del Límite Central.

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30 Suponga que X = peso de carga de camionetas en kilos, tiene distribución normal con media = 300 k y varianza = 25. Se toma una muestra aleatoria de 25 camionetas cargadas y se calcula la media muestral. Esquema de las distribuciones de la variable aleatoria X y de la media muestral: Distribution of X N(300, 1 ) Distribution of X N(300,25) µ =

31 Suponga que X = la edad de las madres en los nacimientos en Chile el año 1995, tiene distribución normal con media = 26,5 años y desviación estándar 6,3 años. a) Describa la distribución de la edad de la madre. b) Cuál es la probabilidad de que una madre elegida al azar tenga más de 30 años? c) Suponga que tomamos una muestra aleatoria de n=25 madres cuál es la probabilidad de que la media muestral sea mayor a 30? d) porqué las respuestas en (b) y (c) son distintas?