7.- PRUEBA DE HIPOTESIS

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1 7.- PRUEBA DE HIPOTEI 7.1. INTRODUCCIÓN La estadística inferencial es el proceso de usar la información de una muestra para describir el estado de una población. in embargo es frecuente que usemos la información de una muestra para probar un reclamo o conjetura sobre la población. El reclamo o conjetura se refiere a una hipótesis. El proceso que corrobora si la información de una muestra sostiene o refuta el reclamo se llama prueba de hipótesis. 7.. Errores tipo I y tipo II. A base de la información de una muestra nosotros podemos cometer dos tipos de errores en nuestra decisión. 1. Podemos rechazar un H 0 que es cierto.. Podemos aceptar un H 0 que es falso. El primero se llama error Tipo 1 Error Tipo 1: Cuando rechazamos una Hipótesis Nula que es cierta cometemos error tipo 1. el segundo error se llama error Tipo. Error Tipo : Cuando aceptamos una Hipótesis Nula que es falsa cometemos error tipo. Para ser muy cuidadosos en no cometer el error tipo 1, debemos especificar la probabilidad de rechazar H 0, denotada por α. A ésta se le llama nivel de significancia. ivel de ignificancia: La probabilidad (α) más alta de rechazar H 0 cuando H 0 es cierto se llama nivel de significancia. Comentario: Para mantener la probabilidad de cometer el error tipo 1 baja, debemos escoger un valor pequeño de α. Usando un valor preasignado de α se construye una región de rechazo o región crítica en la curva normal estándar o en la curva t que indica si debemos rechazar H 0. Región Crítica o de Rechazo: Una región crítica o de rechazo es una parte de la curva de z o de la curva t donde se rechaza H 0. La región puede ser de una cola o

2 7.3. Potencia de la prueba Con dos muestras in importar cómo se calcularon los grados de libertad, podemos ver en la tabla que la prueba de Hartley, en general, cuando Ho es verdadera no da buenos resultados cuando los tamaños son muy grandes como , ya que lo ideal en este caso es que H0 sea aceptada, por lo tanto el porcentaje de veces que se rechaza la hipótesis nula, siendo esta verdadera, debe ser bajo. Esta prueba, tomando los grados de libertad máx.(ni) 1, que en adelante llamaremos h.max, no es buena, al igual que la prueba de Cochran, cuando los tamaños de las dos muestras son muy diferentes. En las tablas 3 a 5, las varianzas de las dos muestras son diferentes; se espera que las pruebas detecten esta diferencia, lo que se verá reflejado en la potencia, la cual se espera que sea alta. h.max tiene valores grandes de potencia cuando los tamaños de las muestras son muy diferentes y cuando son muy grandes, pero ya vimos que también tiene estos valores en la tabla, por lo tanto esta prueba se afecta por los tamaños de las muestras, al igual que la de Cochran. Las pruebas de Layard, de Bartlett y de la teoría de la información tienen tamaños cercanos al nivel nominal del 5% cuando la hipótesis nula es cierta. Cuando H0 es falsa, las potencias de estas pruebas fueron altas comparadas con las otras pruebas competidoras, mejorando cuando los tamaños de las muestras son más grandes. Las pruebas de Levene y de Fligner tienen menor potencia que las demás pruebas, excepto cuando la

3 diferencia en las varianzas es grande y los tamaños de las muestras son mayores que 50.

4 Con tres muestras En la tabla 6 vemos que la prueba h.max tiene valores muy altos de nivel de significancia cuando uno de los tamaños es 100, pero cuando los tamaños son iguales tiene valores bajos. En las tablas 7 a 11, donde las varianzas son diferentes, las pruebas de Hartley tienen un buen desempeño cuando los tamaños son iguales y menores que 100; notemos también que las pruebas de Layard son buenas para detectar diferencias pequeñas en la varianza de las muestras, aunque su potencia disminuye cuando los tamaños de las muestras son iguales. La prueba de Cochran es muy buena para detectar si una varianza es diferente de las otras, tablas 7 y 8, pero sólo cuando los tamaños de las muestras son iguales. Las pruebas de Bartlett, de teoría de la información y de Layard tienen valores de potencia altos, especialmente cuando los tamaños de todas las muestras son mayores que 30. Con cuatro muestras En las tablas 1 a 17 observamos que todas las pruebas tienen buen desempeño al aumentar el número de muestras. e debe destacar el desempeño de la prueba de Layard sin modificar. Las pruebas de Levene tienen mejores resultados comparados con los resultados obtenidos con y 3 muestras. La prueba h.min no tiene buenos resultados; sus valores de potencia siempre son bajos, cuando la diferencia en las varianzas es pequeña. En general los resultados de las pruebas se afectan cuando el tamaño de las muestras es muy diferente.

5 7.4. Formulación de la hipótesis estadística En la prueba de hipótesis se pone a prueba un reclamo hecho sobra la naturaleza de una población a base de la información de una muestra. El reclamo se llama hipótesis estadística. Hipótesis Estadística: Una hipótesis estadística es un reclamo hecho sobre la naturaleza de una población. Por ejemplo, la premisa formulada por un productor de baterías para autos de que su batería dura en promedio 48 meses, es una hipótesis estadística porque el manufacturero no inspecciona la vida de cada batería que él produce. i surgieran quejas de parte de los clientes, entonces se pone a prueba el reclamo del manufacturero. La hipótesis estadística sometida a prueba se llama la hipótesis nula, y se denota como H 0. Hipótesis ula (H 0 ): premisa, reclamo, o conjetura que se pronuncia sobre la naturaleza de una o varias poblaciones. Por ejemplo, para probar o desaprobar el reclamo pronunciado por el productor de baterías debemos probar la hipótesis estadística de que µ 48. Por lo tanto, la hipótesis nula es: H 0 : µ 48. Luego se procede a tomar una muestra aleatoria de baterías y medir su vida media. i la información obtenida de la muestra no apoya el reclamo en la hipótesis nula (H 0 ), entonces otra cosa es cierta. La premisa alterna a la hipótesis nula se llama hipótesis alterna y se representa por H 1. Hipótesis Alterna: Una premisa que es cierta cuando la hipótesis nula es falsa. Por ejemplo, para el productor de baterías H 0 : µ 48 y H 1 : µ < 48 Para probar si la hipótesis nula es cierta, se toma una muestra aleatoria y se calcula la información, como el promedio, la proporción, etc. Esta información muestral se llama estadística de prueba. Estadística de Prueba: Una estadística de prueba se basa en la información de la muestra como la media o la proporción

6 7.5. Prueba de hipótesis para la media ea 1,,, n L una muestra aleatoria de una de una población con media µ y varianza. i el tamaño de la muestra es grande y es conocida, el Teorema Central del Límite garantiza que µ aprox n ( 0, 1). de esta manera un Intervalo de confianza n n + aproximado al 100( 1 α )% para µ es de la forma: x ± z α, donde n α P Z > z α =. i es desconocida, esta es estimada usando la varianza Muestral: n 1 ( ) = x i x α 1 n i = 1 y un Intervalo de Confianza aproximado al ( ) % para µ es de la forma: s x ± z α. n i µ es un valor particular para 0 µ, podemos establecer tres hipótesis alternativas respecto al valor real de µ : H 0 : µ = µ vs 0 { Z C Z C z α} { Z C Z C z α} R.C. = < R.C. = > R.C. = Z C Z C < z α H a : µ < µ H a : µ > µ H a : µ µ x µ. Estadístico de Prueba: Z C =. s n 7.6. Prueba de hipótesis para la diferencia de media

7 Para Diferencia de Medias. i lo que se desea es comparar el comportamiento promedio de una misma característica en dos poblaciones diferentes, cuando los tamaños de muestra son pequeños, no podemos usar el Teorema Central del Límite para construir un Estadístico de Prueba adecuado. De nuevo, supongamos que 1,, L, n es una muestra aleatoria de una población normal con media µ y varianza y que 1,, L, m es otra muestra aleatoria de otra población normal con media, donde y independientes entre si. µ y varianza son desconocidas y ambas muestras Un estimador insesgado para µ µ es, pero Cuál es la distribución Muestral de? Consideremos dos casos: Caso I: = = Bajo el supuesto de Normalidad, ( m 1) y χ ( m 1) ( n 1) ( n 1) χ y. como ambas variables son independientes entre si n 1 m 1 = =, entonces: ( ) ( ) + χ ( n + m ) ( ) ( µ µ y ) ( ) ( µ µ y ) ( 0 1) Z = = n, n m n m. Además:. Entonces:

8 ( ) ( µ µ y ) n m ( ) ( µ µ y ) T = = t n + m ( n 1) ( 1) m p + n m ( ) + ( ) n 1 m 1 p = n + m. ( n + m ) ( ), donde Caso I:. Bajo el supuesto de normalidad en las muestras ( ) ( µ µ y ) aleatorias se puede demostrar que: T = t ν, donde aprox + n m + n m ν = n m + n + 1 m + 1. ( ) La demostración de este hecho es un poco más elaborada y por eso no se presentará aquí. Las hipótesis a probar son entonces: Para probar si las varianzas de ambas muestras son iguales o diferentes, aunque sean desconocidas, podemos usar un Intervalo de Confianza al 100( 1 α )% para el cociente de las varianzas poblacionales, es decir para.

9 i dicho intervalo contiene el número 1, podemos afirmar que posiblemente las varianzas sean iguales. i no contiene el número 1, podemos asumir que las varianzas son diferentes. Un Intervalo de Confianza al 100( 1 α )% para está basado en la distribución F de nedecor. e puede mostrar 1 1 que f ( n, m ). Así, un Intervalo de Confianza al ( α ) para es de la forma: 1, f m, n α f α ( n 1, m 1) ( 1 1) ( ( 1 1) α ( 1 1) ), donde P f n, m > f m, n = α % Los valores para f ( m 1, n 1) α se encuentran tabulados, para valores pequeños de α. Usualmente se toman valores de α iguales a 0.05, 0.05, 0.01 (que corresponden a Intervalos de Confianza del 90%, 95% y 98%). También se puede realizar una prueba de hipótesis para igualdad de Varianzas: vs H 0 : R.C. = Estadístico de Prueba: F = f ( n, m ) { F C FC f α ( n 1, m 1) } 0 1 H : = >, α dado. C i la hipótesis Nula es rechazada, se concluye que las varianzas poblacionales no son iguales. En caso contrario podemos asumir que las varianzas poblacionales son iguales.

10 Las hipótesis de interés a ser probadas son: H : µ µ = δ 0 0 vs µ µ < δ H a : µ µ > δ µ µ δ 0 0 0, donde δ es un valor particular. 0 Usualmente δ se toma como cero y entonces hablamos de una prueba de 0 Igualdad de Medias. Caso I: = =. El estadístico de prueba es: ( ) ( µ µ y ) ( ) TC = t n + m. 1 1 p + n m La región crítica es similar al caso de una muestra aleatoria: R.C. = { T C TC > t α ( n + m ) } como: Vp P ( t ( n m ) TC ) = + >., α dado. El valor P de esta prueba se calcula Caso T C II:. El estadístico de Prueba es: ( ) ( µ µ y ) ( ) = t ν + n m. { C C t α } ( C ) La región crítica es similar al caso anterior: R.C. = T T ( ) dado. El valor P de esta prueba se calcula como: ( ) > ν, α Vp = P t n + m > T.

11 7.7. Prueba de hipótesis para la proporción Concepto de proporción. n = tamaño de la muestra x = número de éxitos en la muestra p = x n Estadístico para la proporción de una población z = p p pq n Proporción conjunta. n p + np n 1 1 p c = n1 + n = Tamaño de la muestra 1 1 n = Tamaño de la muestra x = Número de éxitos en la muestra 1 1 x = Número de éxitos en la muestra

12 Estadístico para la proporción de una población conjunta. z = ( p 1 p ) ( p1 p ) pq + n 1 pq n 7.8. Prueba de hipótesis para la diferencia de proporciones Algunas veces estamos interesados en analizar la diferencia entre las proporciones de poblaciones de grupos con distintas características. Por ejemplo, pensemos que la administración de las tiendas Oxxo cree, sobre la base de una investigación, que el porcentaje de hombres que visitan sus tiendas 9 o más veces al mes (clientes frecuentes) es mayor que el porcentaje de mujeres que hacen lo mismo. Las especificaciones requeridas y el procedimiento para probar esta hipótesis es la siguiente: 1. Las hipótesis nula y alternativa son las siguientes: H o = PH PM 0, la proporción de hombres que reportan 9 o más visitas por mes es la misma o menor que la proporción de mujeres que hacen lo mismo. H a = PH PM > 0, la proporción de hombres que reportan 9 o más visitas por mes es mayor a la proporción de mujeres que hacen lo mismo. La información proporcionada es: n = 45 n = 71 H M P =.58 P =. 4 H M P H P M = =.16

13 . Especifica el nivel de significación de α =. 05. El valor crítico para la prueba de una sola cola es de Estima el error estándar de la diferencia de las dos proporciones: sph m = 1 P( 1 P) n H + 1 n M donde: P = n H P n H H + n + n M M P M P H = proporción muestra de hombres (H) P M = proporción muestra de mujeres (M) N H = tamaño de muestra hombres N M = tamaño de muestra mujeres Por lo tanto: P = 45(.58) + 71(.4) = 0.48 y s p h m = (1.48) + = Calcula de prueba estadística:

14 Z ( diferencia _ entre _ proporciones _ observadas) ( diferencia _ entre _ proporciones _ Ho ) = s p h m Z = (.58.4) (0).10 = 1.60 La hipótesis nula es aceptada porque el valor de la Z calculada es menor que el valor crítico Z. La administración no puede concluir con un 95 por ciento de confianza que la proporción de hombres que visita 9 o más veces los Oxxo es mayor que la proporción de mujeres. P no cuenta con procedimientos para hacer pruebas de hipótesis de proporciones. Probemos si el porcentaje de hombres dueños de microempresas es estadísticamente diferente del porcentaje de mujeres. 1634(83.9) + 314(16.1) P = = 7.97 y s p h m = (1..73) + = Z = ( ) (0).074 = 4.74

15 La hipótesis nula es rechazada porque el valor de la Z calculada es mayor que el valor crítico Z. Podemos concluir que el porcentaje de hombres dueños de microempresas es estadísticamente superior al porcentaje de mujeres propietarias de microempresas.

16 7.9. Prueba de hipótesis para la varianza i la varianza s² de una población normal es desconocida, y queremos verificar si es igual o no a determinado valor, podemos plantear las siguientes pruebas: 1),,. El estimador de la varianza poblacional s² es la varianza muestral ², y la variable aleatoria asociada con el estadístico es la distribución chi cuadrado, definida como: i 1,, n es una muestra aleatoria de tamaño n tomada de una población normal, y si ² es la varianza muestral, entonces el estadístico de prueba bajo H0 se calcula como: Debe tenerse en cuenta que como la distribución chi cuadrado no es simétrica, entonces las regiones de críticas deben calcularse por separado para cada tipo de prueba. El criterio de decisión es el siguiente: Rechace la hipótesis nula si: cuando la hipótesis alternativa sea cuando la hipótesis alternativa sea cuando la hipótesis alternativa sea, o equivalentemente se acéptala hipótesis nula si: Al igual que en el caso de la media poblacional, el criterio de rechazo puede basarse en el cálculo del valor P, o en el cálculo del límite físico para la varianza muestral de acuerdo con las características evaluadas. Es decir, en vez de decidir la aceptación o el rechazo según el estadístico de prueba, se puede definir el límite para el valor máximo y/o mínimo que pueda tomar la varianza muestral ². Los criterios de decisión serían: Rechace la hipótesis

17 nula si: cuando la hipótesis alternativa sea cuando la hipótesis alternativa sea, o cuando la hipótesis alternativa sea Prueba de hipótesis para la relación de varianza e tienen dos poblaciones normales e independientes con varianzas desconocidas s²1 y s², respectivamente, y se desea verificar la hipótesis de que las varianzas son iguales contra una hipótesis alternativa de que son diferentes. Las posibles hipótesis pueden ser:,, Para verificar las hipótesis anteriores nos basamos en el hecho de que la siguiente relación tiene una distribución muestral F con n1-1 y n-1 grados de libertad: Bajo la hipótesis nula de que, el estadístico de prueba se calcula como

18 El criterio de decisión es: Rechace H0 si cuando la hipótesis alternativa es Rechace H0 si cuando la hipótesis alternativa es Rechace H0 ó cuando la hipótesis alternativa es

19 7.11.

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25 Bibliografía Revista Colombiana de Estadística Volumen 9 No 1. pp. 57 a 76. Junio Kurincic, G.; Estadística Herramientas de Inferencia ; Ed. Cooperativas; 001. García Barbancho; Estadística Elemental Moderna ; Ed. Ariel; Kazmier, L y A. Díaz Mata, A; Estadística aplicada a la Administración y a la Economía ; Ed. McGraw Hill; Mendenhall, cheaffer & Reinmuth: Estadística para Administración y Economía ; Ed. Iberoamericana; Novales, A.; Estadística y Econometría ; Ed.. McGraw Hill; Pérez, C.; Técnicas de Muestreo Estadístico ; Ed. Alfaomega; 000. a Lun Chow; Estadística ; Ed. Iberoamericana; 1985.

26 Actividades Adicionales Complementarias 1.- Determine si la región de rechazo es de la cola derecha, de la cola izquierda o de dos colas. a. H 0 : µ = 15, H 1 : µ 15, α=.05 b. H 0 : p 0.7, H 1 : p > 0.7, α=.0.- e sabe que el tiempo promedio de secado de una pintura está normalmente distribuido con media de 75 min. y desviación estándar de 9 min. e utiliza un aditivo para secado rápido en 5 piezas. e quiere probar que el tiempo promedio de secado ha disminuido por el uso del aditivo siempre que el tiempo promedio de secado de la muestra sea menor que 70,8 min. a) a Halle el nivel de significancia e interprete el resultado b) Cual seria si en muestras particulares de tamaño n=5 el promedio del promedio del tiempo de secado fuera x = 70, x = 71, x = 75 c) Calcule β(7), β(70.8), β(70) y β(67) y grafique comparativamente α y β 3.- uponga que el espesor de un componente de un semiconductor es una dimensión crítica. El proceso de producción de tal característica se distribuye normalmente con una desviación estándar de 0.6 milésimas de pulgada. Para controlar el proceso se toman muestras periódicas de veinte piezas, y se define un límite de control con base en una probabilidad de 0.01 de que la varianza muestral exceda dicho límite, si el proceso está bajo control. Qué se puede concluir si para una muestra dada la desviación estándar es 0.84 milésimas de pulgada?