Métodos Estadísticos Aplicados

Transcripción

1 Métodos Estadísticos Aplicados M. González Departamento de Matemáticas. Universidad de Extremadura

2 Métodos Estadísticos Aplicados 1 Análisis Exploratorio de Datos 2 3

5 Medidas Descriptivas Estadístico Qué mide? Robustez Media ( x) Centralización de la distribución No Media recortada ( x trimm ) Centralización de la distribución Sí Mediana ( x) Centralización de la distribución Sí Media Geométrica ( x g) Centralización de la distribución Sí Varianza (s 2 ) Dispersión de la distribución No Desviación Típica (s) Dispersión de la distribución No Rango (R) Dispersión de la distribución No Rango Intercuartílico (R I ) Dispersión de la distribución Sí Desviación Absoluta Mediana (MAD) Dispersión de la distribución Sí Coeficiente de variación (C.V.) Dispersión/centralización de la distribución No Coeficiente de Asimetría (ˆγ 1 ) Forma de la distribución No Coeficiente de Curtosis (ˆγ 2 ) Forma de la distribución No

6 Medidas Descriptivas Media Recortada (trimmed mean): 1 x trimm = n 2[αn] siendo α [0, 0.5] y [x] el mayor entero x. n [αn] i=[αn]+1 Robusta a veces (dependiendo del valor de α). Media Geométrica: x g = exp { 1 n } n log(x i ) i=1 x (i) Se utiliza habitualmente para describir datos positivos. Estima la verdadera mediana de la distribución log-normal (Y LN(µ, σ 2 ) si y sólo si log(y) N(µ, σ 2 )). x g x (se da la igualdad si y sólo si todas las observaciones son iguales). Robusta (del mismo modo que la mediana).

7 Medidas Descriptivas Desviación Absoluta mediana: Robusta. MAD = mediana( x i x, i = 1,..., n) Coeficiente de Asimetría: 1 n n i=1 ˆγ 1 = (x i x) 3 s 3 ˆγ 1 = 0 distribución simétrica. ˆγ 1 > 0 distribución asimétrica hacia valores grandes de la variable. ˆγ 1 < 0 distribución asimétrica hacia valores pequeños de la variable. No robusta. Coeficiente de Curtosis: 1 n n i=1 ˆγ 2 = (x i x) 4 s 4 3 ˆγ 2 = 0 distribución normal. ˆγ 2 > 0 más apuntada que la distribución normal. ˆγ 2 < 0 más aplastada que la distribución normal. No robusta.

8 Estimación de la densidad Estimadores núcleo de la densidad Muestra: x 1,..., x n. Estimación de la función de densidad: ˆf (x) = 1 n ( ) 1 x n b K xi b i=1 K( ) es la función núcleo (habitualmente una función de densidad). Consideraremos la función de densidad de la N(0, 1). b es el ancho de banda. En nuestro caso representa la desviación típica de la función núcleo, pues 1 b distribución N(x i, b 2 ) K( x xi b ) es la densidad de la

9 Estimación de la densidad Estimación de la densidad densidad M. González 2 Métodos Estadísticos 4 Aplicados 6

17 Función de distribución empírica Gráficos de Cuantiles o de la función de distribución empírica Muestra ordenada de menor a mayor: x (1),..., x (n) Estimación de p i = P(X x (i) ): ˆp i, i = 1,..., n. ˆp i = {j {1,..., n}: x j x (i) } n. ˆp i = i a n 2a + 1, a [0, 1]. Nombre a Distribución habitual Weibull 0 Weibull, Uniforme Mediana Varias Bloom Normal y otras Cunnane 0.4 Varias Gringorten 0.44 Gumbel Función de distribución empírica: Distribución discreta: ˆF(x) = ˆp i si x (i) x < x (i+1), x R. Distribución continua: ˆF(x) = (1 r)ˆp i + rˆp i+1, con r = x x (i) x (i+1) x (i), x R.

18 Transformaciones de Box-Cox Dado x > 0, definimos x λ 1 si λ 0 x (λ) = λ log(x) si λ = 0 Transformaciones de Box Cox x(lambda) lam=3 lam=1 lam=0 lam= M. González x Métodos Estadísticos Aplicados

19 Gráficos Q-Q Análisis Exploratorio de Datos Eje X: q 1,..., q n, siendo q i tal que P(Z q i ) = ˆp i, i = 1,..., n, y Z N(0, 1). Eje Y: x (1),..., x (n) muestra ordenada de menor a mayor de la población X. P(X x (i) ) ˆp i, i = 1,..., n. Si X N(µ, σ 2 ), entonces ˆp i = P(Z q i ) = P( X µ σ y, por tanto q i ) = P(X σq i +µ), i = 1,..., n x (i) σq i + µ, i = 1,..., n

20 Gráficos Q-Q Análisis Exploratorio de Datos Si X N(µ, σ 2 ): Nube de puntos en forma de : distribución asimétrica a la derecha respecto a la campana normal. Nube de puntos en forma de : distribución asimétrica a la izquierda respecto a la campana normal. Nube de puntos en forma de S: distribución más apuntada que la campana normal. Nube de puntos en forma de S invertida: distribución más aplastada que la campana normal. Nube de puntos en dos líneas separadas: mezcla de distribuciones. Nube de puntos con puntos alineados salvo uno aislado: valor extremo.

21 Gráficos Q-Q Análisis Exploratorio de Datos Distribución asimétrica a la derecha respecto a la Normal Normal Q Q Plot Density x Distribución asimétrica a la izquierda respecto a la Normal Density Sample Quantiles Theoretical Quantiles Normal Q Q Plot Sample Quantiles

22 Gráficos Q-Q Análisis Exploratorio de Datos Distribución más aplastada que la Normal Normal Q Q Plot Density Sample Quantiles x Theoretical Quantiles Mezcla de distribuciones Normal Q Q Plot Density Sample Quantiles

23 Comparación de dos Poblaciones: Medias o Centralización MUESTRAS INDEPENDIENTES: TEST PARAMÉTRICO: VARIANZAS POBLACIONALES IGUALES:Test de t-student VARIANZAS POBLACIONALES DIFERENTES:Test de Welch Para contrastar si las varianzas poblacionales son iguales utilizamos el test de F-Snedecor. TEST NO PARAMÉTRICO:Test de Mann-Whitney-Wilcoxon de suma de rangos. MUESTRAS APAREADAS O RELACIONADAS: TEST PARAMÉTRICO:Test de t-student TEST NO PARAMÉTRICO:Test de Wilcoxon de rangos con signo.