Estadística I Tema 2: Análisis de datos univariantes Descripción numérica de datos

Transcripción

1 Estadística I Tema 2: Análisis de datos univariantes Descripción numérica de datos

2 Descripción numérica de datos: medidas descriptivas Centro Posición Variación Forma media cuartiles rango coef. asimetría mediana percentiles rango intercuartílico coef. apuntamiento moda varianza desviación típica coef. de variación

3 Descripción numérica de datos: medidas descriptivas Para qué sirven?, qué información proporcionan? Se pueden calcular todas con todo tipo de variables? Cuáles son las más adecuadas en cada caso? Cómo calcularlas sin ordenador? Uso de la calculadora

4 Medidas de tendencia central La media (aritmética) La mediana La moda

5 Tendencia central: la media (aritmética) Media (aritmética) Es el promedio de todos los datos de la muestra: n i=1 x = x i n = x x n n Es la medida de tendencia central más usada. Representa el centro de gravedad de los datos Se calcula sólo para variables cuantitativas Su cálculo expĺıcito depende de cómo se presenten los datos x 1, x 2,..., x n

6 La media: ejemplo Para el ejemplo de los 46 profesionales informáticos, cuál es su experiencia media? x = = 7.5 años Cómo la calcularías a través de las tablas de frecuencias absolutas?, y de las relativas? Experiencia, x i Frec. absolutas, n i Frec. relativas, f i 1 5 0, , , , , , , , , , , , , , , , ,022 Total 46 1

7 La media con datos agrupados Se trabaja con las marcas de clase. En el ejemplo de los 46 profesionales informáticos, cuál es su salario medio? Nota: salario medio a través de los datos brutos x =

8 La media: propiedades Linealidad: Si Y = a + bx ȳ = a + b x Si el salario de los 46 profesionales se incrementa en un 2 %, Cómo cambia el salario medio? Si después de ese incremento se reduce en 100 dólares, Cómo queda ahora? Inconvenientes: es muy sensible a valores extremos (observaciones atípicas, outliers). Ejemplo: X : 3, 1, 5, 4, 2, Y : 3, 1, 50, 4, 2 x = = 3 ȳ = = 12 Se ha multiplicado por 4!! No es recomendable usarla como medida central en datos muy asimétricos.

9 Tendencia central: la mediana Es la observación que ocupa el lugar central Ordenamos los datos de menor a mayor 2. Tenemos en cuenta también los que se repiten 3. Seleccionamos el valor que ocupa la posición central M = Mediana Lista ordenada de menor a mayor: x (1), x (2),..., x (n) si n impar M = x ((n+1)/2) x (n/2) +x (n/2+1) 2 si n par = 4

10 La mediana: cálculo a través de la tabla de frecuencias Experiencia, x i n i f i N i F i 1 5 0, , , , , , , , , , 435 < 0.5 M=6 4 0, , 522 > , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,000

11 La mediana: propiedades Linealidad: Si Y = a + bx M y = a + bm x Si el salario de los 46 profesionales se incrementa en un 2 %, Cómo cambia el salario mediano? Si después de ese incremento se reduce en 100 dólares, Cómo queda ahora? Tiene sentido preguntarse por la Mediana de la formación académica? y de la variable nominal haber desempeñado o no un cargo de responsabilidad? Ventaja: No es sensible a valores extremos. Ejemplo: X : 3, 1, 5, 4, 2, Y : 3, 1, 50, 4, 2 M x = 3 M y = 3 Es recomendable usar la Mediana como medida central en datos muy asimétricos.

12 La media y la mediana de datos muy asimétricos Salario bruto anual en 2014, Encuesta de Estructura Salarial 2014, I.N.E. La diferencia entre el salario medio y el mediano se explica porque en el cálculo del valor medio influyen notablemente los salarios muy altos aunque se refieran a pocos trabajadores. (En la Nota de Prensa del INE de 28 de octubre de 2016)

13 Tendencia central: la moda Es el valor más frecuente En el ejemplo, la moda de la experiencia es 1 año, con una frecuencia de 5 empleados Los valores 2,3,4,8 y 10 tienen una frecuncia de 4 empleados

14 Tendencia central: la moda Tiene sentido preguntarse por la moda de la formación académica? Y de la variable nominal haber desempeñado o no un cargo de responsabilidad?

15 Tendencia central: la moda Tiene sentido preguntarse por la moda del salario? intervalo modal

16 La moda: propiedades Puede calcularse para variables cualitativas y cuantitativas. La única que tiene sentido para cualitativas nominales. No afectada por valores extremos. Puede no haber moda. Puede haber más de una moda: bimodal trimodal plurimodal Qué nos puede estar indicando?

17 Medidas de localización Los cuartiles Los percentiles

18 Medidas de localización: cuartiles y percentiles Los cuartiles dividen los datos ordenados en cuatro segmentos que recogen la misma cantidad de observaciones. Los percentiles dividen los datos ordenados en cien segmentos que recogen la misma cantidad de observaciones. 1. Ordenamos los datos de menor a mayor 2. Tenemos en cuenta también los que se repiten 3. Seleccionamos el valor que ocupa la posición: El primer cuartil Q1 ocupa la posición 1 (n + 1). 4 El segundo cuartil Q2 (= mediana) ocupa la posición 1 (n + 1). 2 El tercer cuartil Q3 ocupa la posición 3 (n + 1). 4 El percentil k-ésimo Pk, ocupa la posición k(n + 1)/100, k = 1,..., 99, y deja el k % de los datos por debajo de él y el 100-k % por encima.

19 Medidas de localización: ejemplo cuartiles

20 Medidas de localización: ejemplo percentiles

21 Medidas de variación El rango y el rango intercuartílico La varianza y la desviación típica El coeficiente de variación

22 Variación: rango y rango intercuartílico (RIC) El rango es la medida de variación más simple R = x máx x mín Ignora la manera en que se distribuyen los datos. Sensible a observaciones atípicas (outliers). Ejemplo: Dadas las observaciones 3, 1, 5, 4, 2, R = 5 1 = 4 Ejemplo: Dadas las observaciones 3, 1, 5, 4, 100, R = = 99 El rango intercuartílico (RIC) puede eliminar ciertos problemas provocados por los datos atípicos. Se eliminan las observaciones de mayor valor y las de menor valor y se calcula el rango del 50 % central de la muestra. RIC = 3er cuartil 1er cuartil = Q 3 Q 1

23 Variación: rango intercuartílico y diagrama de cajas Las observaciones atípicas (outliers) se encuentran por debajo de Q1 1.5 RIC por encima de Q RIC Para observaciones atípicas (outliers) extremos, reemplazar 1.5 por 3 en la definición anterior MEDIANA x min Q 1 (Q 2) Q 3 x max 25% 25% 25% 25% RI=18

24 Diagrama de Cajas Box-Plot Muestra cinco medidas de centralización. Muestra una medida robusta de dispersión. Permite estudiar la simetría de los datos. Da un criterio de detección de datos atípicos. Es muy útil para comparar datos Variante: cuando se presentan varios Box-Plot, se puede hacer el ancho de la caja proprocional al número de observaciones.

25 Medidas de variación: varianza Promedio de cuadrados de las desviaciones de valores a la media. Varianza poblacional. Varianza muestral n ˆσ 2 i=1 = (x i x) 2 n N σ 2 i=1 = (x i µ) 2 N más rápido de calcular { }}{ n i=1 = x i 2 n( x) 2 n dividido por n Cuasi-varianza muestral (varianza muestral corregida) n s 2 i=1 = (x i x) 2 n 1 Su relación es = n i=1 x 2 i n( x) 2 n 1 ˆσ 2 = n 1 n s2 dividido por n 1 Si a, b (b 0) son números reales e Y = a + bx, se tiene s 2 y = b 2 s 2 x

26 Medidas de variación: desviación típica o estándar (DT) La medida de dispersión más utilizada. La desviación típica poblacional, la desviación típica muestral y la cuasi-desviación típica muestral son respectivamente σ = σ 2 ˆσ = ˆσ 2 s = s 2 Describe la variación sobre la media. Posee las misma unidades que los datos, mientras que para la varianza se tienen unidades 2 Tanto la varianza como DT pueden verse afectadas por la presencia de observaciones atípicas.

27 Cálculo de la varianza y la desviación típica Ejemplo: X : 11, 12, 13, 16, 16, 17, 18, 21, Y : 14, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 17, Z : 11, 11, 11, 12, 19, 20, 20, 20 x = = 15.5 ȳ = = 15.5 z = = 15.5 n i=1 n i=1 n i=1 x 2 i = = 2000 y 2 i = = 1928 z 2 i = = 2068 n sx 2 i=1 = x i 2 n( x) (15.5)2 = = 78 = sx = n sy (15.5)2 = = 6 = sy = sz (15.5)2 = = 146 = sz =

28 Comparación de desviaciones típicas Ejemplo cont.: X : 11, 12, 13, 16, 16, 17, 18, 21, Y : 14, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 17, Z : 11, 11, 11, 12, 19, 20, 20, 20 x = 15.5 s x = y = 15.5 s y = z = 15.5 s z =

29 Medidas de variación: coeficiente de variación (CV) Es una medida relativa de variación que se define como CV = s x Es una medida adimensional (sin unidades). Suele expresarse en %. Muestra la variación con respecto a la media. Se utiliza para comparar la dispersión entre distintas variables, o bien entre diferentes grupos de individuos. Ejemplo: Variabilidad en el precio del año anterior de dos Stocks Stock A: Precio promedio el año anterior = 50, Desviación típica = 5 Stock B: Precio promedio el año anterior = 100, Desviación típica = 5 CV A = 5 50 = 0.10 CV B = = 0.05 Ambos stocks poseen la misma DT, pero el stock B es menos variable en relación a la media de su precio.

30 Puntuaciones tipificadas. Cuando la variable es numérica y los datos no están agrupados en intervalos de clase, calculamos la media y la varianza como: k i=1 x = x k in i, s 2 i=1 = x i 2 n i n x 2 n n 1 Pero si los datos están agrupados en intervalos de clase, entonces para calcular la media y la varianza, reemplazaremos los valores x i por las marcas de clase correspondientes. Tipificar una variable X significa calcular X x s Si se aplica esta transformación a todas las observaciones x 1,..., x n, se obtienen las puntuaciones tipificadas z 1,..., z n, donde cada z i = (x i x)/s, para i = 1,..., n. Notar que la muestra tipificada tiene media cero y desviación típica uno.

31 Medidas de forma Coeficiente de asimetría de Fisher Coeficiente de curtosis de Fisher Regla empírica

32 Forma: comparación de la media, la mediana y la moda Tres tipos de distribuciones: Asimétrica a la izquierda Media < Mediana < Moda. Simétrica Media = Mediana = Moda. Asimétrica a la derecha Moda < Mediana < Media. LEFT SKEWED x < M SYMMETRIC x = M RIGHT SKEWED M < x Asimétrica Izquierda Simétrica Asimétrica Derecha Nota: La distribución en que está en el centro se conoce como normal o acampanada (ver figuras)

33 Medidas de forma: Asimetría n i=1 (x i x) 3 Coeficiente de Asimetría γ 1 = 1 n S 3 derecha (positiva) si γ 1 > 0, y viceversa.. Hay asimetría a la Asimetría a la derecha Asimetría a la izquierda Frequency γ 1 = Frequency γ 1 =

34 Medidas de forma: apuntamiento Coef. de Apuntamiento (curtosis) γ 2 = 1 n n i=1 (x i x) 4 S 3 4 Para la Normal estándar, γ 2 = 0. Si γ 2 > 0 leptocúrtica (más apuntada que la normal) y platicúrtica si γ 2 < 0 Distribución Leptocúrtica Distribución Platicúrtica Density Density

35 Regla empírica Si la distribución de los datos es acampanada (normal), es decir, simétrica y con colas suaves, se verifica: 68 % de los datos en ( x 1s, x + 1s) 95 % de los datos en ( x 2s, x + 2s) 99.7 % de los datos en ( x 3s, x + 3s) Nota: Esta regla se conoce también como la regla del Ejemplo: Sabemos que para una muestra de 100 observaciones, la media es 40 y la cuasi-desviación típica es 5. Suponiendo que los datos tienen una distribución acampanada, cuáles son los extremos del intervalo que contiene el 95 % de las observaciones? 95 % de x i s están en: ( x ± 2s) = (40 ± 2(5)) = (30, 50)