Estadística Descriptiva 2da parte

Transcripción

1 Universidad Nacional de Mar del Plata Facultad de Ingeniería Estadística Descriptiva 2da parte 1 Cuatrimestre 2014 Prof. Marina Tomei. Jueves de 8 a 10 hs. Mg. Stella Maris Figueroa. juevesde 13 a 105hs.

2 ESTADÍSTICOS En todo análisis y/o interpretación de datos se pueden utilizar diversas medidas descriptivas que representan las propiedades de tendencia central, dispersión y forma, para extraer y resumir las principales características de los datos.

3 Estadísticos

4 La media aritmética es el promedio aritmético de un grupo de datos Serie Simple: Si las observaciones de una muestra de tamaño n son x 1,x 2,, x n entonces la media muestral se define como: X n i1 n x i Las edades de los alumnos del 1er cuatrimestre de 2008, dadas en esta serie simple, tienen un promedio de 21,166 años.

5 Serie de Frecuencias: Si las observaciones de una muestra de tamaño n son x 1,x 2,, x i y f 1, f 2,, f i son sus respectivas frecuencias absolutas, entonces la media muestral se define como: X n i1 xf En el caso de las edades de los alumnos: X 21,166 Ingresar los datos en la calculadora en el modo SD y verificar este resultado. n i i Edad fi

6 Intervalos de clase: Sean x m1,x m2,, x mi las marcas de clases de los intervalos y f 1, f 2,, f i sus respectivas frecuencias absolutas, entonces la media muestral se define como: X X X k i1 x n mi ,8 f i Intervalos de Edad xmi [18 20) 19 6 fi [20 22) [22 24) 23 6 [24 26) 25 3 [26 28) 27 2 n = 30 Ingresar los datos en la calculadora en el modo SD y verificar este resultado.

7 Distintos Significados que puede tener la media muestral Ejemplo 1 Un objeto pequeño se pesa con un mismo instrumento por ocho estudiantes de una clase, obteniéndose los siguientes valores en gramos: 6,2 6,0 6,0 6,3 6,1 6,23 6,15 6,2 Cuál sería el valor que resuma mejor los datos del peso real del objeto? (Significado estimativo) Ejemplo2 Una empresa produce cierto tipo de dispositivos y los reparte en 5 comercios. El comercio A recibió 5, el B recibió 8, el C, 6, el D, 1 y al E no le llegó ninguno. Qué debe hacer la empresa para repartir los dispositivos en forma equitativa? (Significado equitativo).

8 Distintos Significados que puede tener la media muestral Ejemplo 3 Al medir la altura en cm que pueden saltar un grupo de estudiantes, antes y después de haber efectuado un cierto entrenamiento deportivo, se obtuvieron los valores siguientes. Piensas que el entrenamiento es efectivo? Altura saltada en cm. Antes del entrenamiento Después del entrenamiento ( significado que ayuda a decidir el planteo de hipótesis) Ejemplo 4 La altura media de los alumnos de un colegio es 1,40. Si extraemos una muestra aleatoria de 5 estudiantes y resulta que la altura de los 4 primeros es de 1,38 1,42 1,60 1,40. Cuál sería la altura más probable del quinto estudiante? (significado predictivo).

9 Es el valor de variable donde la muestra se divide en dos partes iguales. Cómo calcularla en la Serie Simple de las edades? ,18,18,19,19,19,20,20,20,20,20,20,20,20,21,21,21,21,21,22,22,22,22,23,23,24,24,24,26,27 La ventaja de la mediana es que los valores extremos no tienen influencia sobre ella. Me =21 X 21,166 x n1 /2 Me x x 2 n/2 n/2 1 si si n n es impar es par

10 Serie de frecuencias Es aquel valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada es inmediatamente mayor a la mitad de las observaciones Me Edad fi Fa n

11 Intervalos de Edad fi n Faa Me L 2 inf * a f Intervalo de clase i Fa [18 20) 6 6 [20 22) [22 24) 6 25 [24 26) 3 28 [26 28) 2 30 n = 30 donde: 30 6 Me 20 2 * 2 21, frecuencia absoluta acumulada es inmediatamente mayor a la mitad de las observaciones L inf = Límite inferior del primer intervalo cuya F a es mayor a n/2. F aa = Frecuencia acumulada del intervalo anterior al primer intervalo cuya Fa es mayor a n/2. f i = Frecuencia absoluta del primer intervalo cuya Fa es mayor a n/2. a = Amplitud de los intervalos

12 Cuando se divide un conjunto ordenado de datos en cuatro partes iguales, los puntos de división se conocen como cuartiles. 75% 25% 75% 25% 25% 25% 25% 25% Mínimo Cuartil 1 Q 1 Mediana Cuartil 2 Q 2 Cuartil 3 Q 3 Máximo

13 Sean x 1,x 2,, x n una muestra ordenada en forma creciente, entonces el cuartil 1 y 3 se definen como la mediana de cada una de las partes en que la Me dividió los datos ,18,18,19,19,19,20,20,20,20,20,20,20,20,21,21,21,21,21,22,22,22,22,23,23,24,24,24,26,27 q1=20 Me=21 q3=22

14 Serie de Frecuencias q 1 = 20 años q 3 = 22 años Edad fi Fa n 30 j. j. 4 4 n 30 7,5 4 4 n , 5 4 4

15 Intervalos de clase Intervalos de Edad n j. Faa Q 4 j Linf * a f fi i Fa [18 20) 6 6 [20 22) [22 24) 6 25 [24 26) 3 28 [26 28) 2 30 n = 30 donde: n ,5 n , L inf = Límite inferior del primer intervalo cuya F a es mayor a j.n/4 F aa = Frecuencia acumulada del intervalo anterior al primer intervalo cuya F a es mayor a j.n/4. f i = Frecuencia absoluta del primer intervalo cuya F a es mayor a j.n/4 a = Amplitud de los intervalos. q * q * , ,166

16 Medidas de Centralización Mediana y Cuartiles representados en el polígono de frecuencias acumuladas q1 Me q3

17 Gráfico de caja y bigotes (Box-Plot) Este gráfico permite visualizar rápidamente la simetría y la variabilidad de los datos. El largo de la caja, es q3-q1 (rango intercuartílico), que comprende el 50% central de los datos. Estadísticos min 18 q1 20 Me 21 q3 22 máx Edad de los alumnos de Estadística Básica 1er cuat

18 Es el valor de variable que se presenta con mayor frecuencia en la muestra. En una serie simple: Mo= 20 años En una serie de frecuencias: Mo =20 años Edad fi

19 Intervalos de Edad d1 Mo Linf * a d d 1 fi [18 20) 6 [20 22) 13 [22 24) 6 [24 26) 3 [26 28) 2 2 Intervalos de clase donde: L inf = Límite inferior del intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta (intervalo modal). d 1 = Diferencia entre las frecuencias absolutas del intervalo modal y el intervalo pre-modal. d 2 = Diferencia entre las frecuencias absolutas del intervalo modal y el intervalo post-modal. a = Amplitud de los intervalos 7 Mo

20 D1 D2 L i Mo a

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22 ANÁLISIS DEL GRADO DE CURTOSIS Coeficiente de curtosis K>0 K=0 K<0 Con esta medida se cuantifica la mayor o menor cantidad de datos que se agrupan en torno a los valores centrales

23 Coeficiente de asimetría Análisis de la simetría As <0 As =0 As >0

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25 Medidas de Dispersión Absolutas Relativas Rango Varianza Desviación estandar Rango intercuartílico Coeficiente de variación

26 El rango de la muestra se define como la diferencia entre la observación más grande y la más pequeña : r x x max min

27 Para el conjunto de datos x 1, x 2,.,x n de una población de tamaño N Las diferencias de cada dato y la media, determinan los desvíos o desviaciones. Dado que la suma de estas desviaciones es cero, se utiliza como medida de variabilidad el promedio de los cuadrados de tales desvíos. N 2 i1 ( x x) i N 2 m 2 i1 ( ) 2 xi x fi N s n 2 i1 ( x x) i n 1 2 s m 2 ( i ). 2 i1 x x f n 1 i (1) (2) (3) (4) Varianza Poblacional siendo N el tamaño de la población. Para datos sin agrupar (1) y agrupados (2) Varianza muestral siendo n el tamaño de la muestra. Para datos sin agrupar (3) y agrupados (4) Si los datos se agrupan por intervalos, usamos Xmi en lugar de Xi

28 S n 1 n 1 i1 ( x i X ) 2 Para datos sin agrupar El desvío Estandar muestral para las edades es de 2,2073 años. Verificarlo con la calculadora en el modo SD S n 1 n 1 i1 ( x i X ) 2 f i Para datos agrupados por frecuencias 1 k 2 S ( xmi X ) fi n 1 i1 Para datos agrupados por Intervalos

29 CV S X Mide el grado de variabilidad en una muestra o población. Compara la variabilidad entre distintas variables y poblaciones. Está desprovisto de unidades. El valor expresado en términos porcentuales, se llama coeficiente de variación porcentual. S CV % 100% X Consideraremos poca variabilidad, si el CV% es a lo sumo del 30 % En nuestro estudio de las edades, el Cv% = 2,2073x100/21,166 = 10,428% Podemos afirmar que existe poca variabilidad en los datos.

30 Cuál de estas dos distribuciones de nuestro trabajo tiene mayor variabilidad? Peso [47-54) [54-61) [61-68) [68-75) [75-82) [82-89) [89-96) Frecuencias Marca de clase 50,5 57,5 64,5 71,5 78,5 85,5 92,5 Estatura [1,55-1,60) [1,60-1,65) [1,65-1,70) [1,70-1,75) [1,75-1,80) [1,80-1,85] Frecuencias Marca de clase 1,575 1,625 1,675 1,725 1,775 1,825

31 RESULTADOS (respuesta a la pregunta) Cómo son los alumnos de esta clase? De la clase anterior, obtuvimos: La mayoría de los alumnos de esta muestra tienen entre 20 y 22 años. En cuanto al interés por la estadística, el 53% muestra interés, pero hay aproximadamente un 30 % que no sabe si le interesa. Existe en esta muestra, un 40 % de alumnos con orientación en química. Le siguen alimentos y electromecánica. El 73 % de los alumnos de la muestra no son recursantes. El 60% de los alumnos de la muestra son varones.

32 Conclusiones En la clase anterior, concluimos: Un alumno típico de esta clase es un varón entre 20 y 22 años, con orientación en química, no recursante con interés hacia la estadística y con aproximadamente 6 materias aprobadas. Con lo aprendido en esta clase, podemos concluir: Como la distribución de edades es asimétrica positiva y existe poca variabilidad, la mediana representa las edades de los estudiantes. Esto significa que el 50% de ellos tiene menos de 21 años y el otro 50%, más de 21 años. Existe una mayor variabilidad en el peso que en la estatura de los estudiantes.

33 Observaciones finales Comenzar por el estudio de la variabilidad de los datos, puede ahorrar pasos en el análisis. Si el CV es mayor que 30 %, ninguna medida resume los datos. Si existe poca variación en los datos, debemos analizar la forma. En ese caso, si los datos son simétricos, la media representa los mismos. Si son asimétricos, la medida que los representa es la mediana.