Las técnicas para resumir la información ió contenida en un conjunto de datos x 1, x 2,,x n son: Tablas de frecuencias: por columnas, disponemos los

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2 Las técnicas para resumir la información ió contenida en un conjunto de datos x 1, x 2,,x n son: Tablas de frecuencias: por columnas, disponemos los datos (si hay pocos distintos) o los intervalos (si hay muchos distintos) y sus respectivas frecuencias, absolutas o relativas. Gráficos: diagramas de barras o sectores (si hay pocos distintos) o histograma (si hay muchos distintos). Para ambos casos, también el diagrama de caja o box-plot. Medidas descriptivas: para ambos casos, están recogidas en la siguiente transparencia.

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6 CASO 1:POCOS VALORES DISTINTOS ENTRE LOS DATOS Datos de X: nº de llamadas que llegan a una centralita en una hora NÚMERO DE LLAMADAS Frecuencia x i Total 90 TABLA DE FRECUENCIAS 40 Número de llamadas ias frecuenc DIAGRAMA DE BARRAS

7 El diagrama de barras que proporciona Statgraphics para los datos de esta variable es: 40 Nº de llamadas fr recuenci ias Observemos que realmente no levanta barras, sino rectángulos separados. Se pueden representar las frecuencias absolutas o los porcentajes de cada dato (frecuencias relativas*100). 7

8 El diagrama de sectores que proporciona Statgraphics para los datos esta variable es: 15,56% Número de llamadas 3,33% 1,11% 6,67% valores ,44% ,89% 8

9 CASO 2: MUCHOS VALORES DISTINTOS ENTRE LOS DATOS Datos de la variable X: Consumo mensual de leche, en litros Tenemos 22 valores distintos: vamos a agrupar en intervalos. Mínimo = 10, máximo = 103.3; log 10 (40) = Conviene trabajar con intervalos fáciles, por ejemplo, que tengan extremos enteros. Aquí: min = 0 y máx = 104 para Statgraphics. Statgraphics utiliza intervalos de la misma longitud. Hay que decirle el valor donde comienza el primer intervalo (mínimo), donde termina el último intervalo (máximo) y el número de intervalos. 9

10 Frequency Tabulation for Leche Histograma para Consumo mensual de leche con Statgraphics TABLA DE FRECUENCIAS Lower Upper Relative Cumulative Cum. Rel. Class Limit Limit Midpoint Frequency Frequency Frequency Frequency at or below 9,0 0 0, , ,0 25,0 17,0 21 0, , ,0 41,0 33,0 5 0, , ,0 57,0 49,0 3 0, , ,0 73,0 65,0 7 0, , ,0 89,0 81,0 3 0, , ,0 105,0 97,0 1 0, ,0000 above 105,0 0 0, , Mean = 36,54 Standard deviation = 24,9728 Histograma para Consumo mensual de leche Histogram con Statgraphics freq quency Leche HISTOGRAMA 10

11 A partir de aquí todo lo que veamos se aplica si hay pocos valores distintos entre los datos o si hay muchos. 1. MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN: dan una idea del centro del conjunto de datos MEDIA ARITMÉTICA O PROMEDIO n k xi x jn j i 1 j 1 x = n n La media es la suma de todos los valores de la variable dividido entre el número total de datos (primera fórmula). Si se dispone de las frecuencias absolutas de los datos, la media se puede calcular usando la segunda expresión de la media donde x 1,..., x k representan los valores distintos de la variable. Todas las medidas que estudiemos tienen esta dos versiones. 11

12 Con los datos : 2,2,3,3,4,4,4,5,6,6,6,7,7,8,8 calculamos la media aritmética en sus dos versiones: x i n i x x

13 MEDIANA Es un valor tal que, ordenados de menor a mayor los datos, el 50% es menor o igual que él y el 50% mayor o igual que él. Se denota como Me. Con los datos: , la mediana es 5. En el caso de tener un número par de datos, la mediana es la semisuma de los dos datos centrales (en este caso no tiene porqué ser uno de los datos). Si añadimos a los datos anteriores el valor 8, la mediana es 5.5, que no es uno de los datos. 13

14 CUARTILES Y PERCENTILES PERCENTIL DE ORDEN, 0< <1, C : Es un valor tal que, ordenados DE MENOR A MAYOR los datos, el 100 % es menor o igual que él y el resto es mayor o igual que él. Los más usuales son: PERCENTILES P 1,...,P 99 con = 0.01,...,0.99 CUARTILES Q 1, Q 2, Q 3, que corresponden a = 0.25, 0.5,0.75, respectivamente. La mediana es el segundo cuartil. Los cuartiles son casos particulares de los percentiles. Por ejemplo: Q 1 verifica que el 25% de los datos son menores o iguales que Q 1 y el 75% mayores o iguales que Q 1. P 17 verifica que el 17% de los datos son menores o iguales que P 17 y el 83% mayores o iguales que P 17. Los calcularemos siempre con Statgraphics. 14

15 DIAGRAMA DE CAJA Y BIGOTES O BOX-PLOT Pasos a seguir: Con los datos ordenados se obtienen los tres cuartiles Se dibuja un rectángulo cuyos extremos son Q1 y Q3 y se indica la posición de la mediana mediante una línea. También se idi indica la media. Se calculan los límites de admisión El intervalo [LI, LS] se llama intervalo de admisión (los valores que queden fuera se consideran atípicos, o sea, diferentes del resto). LI Q 1 1'5(Q 3 Q 1 ) LS Q 1'5(Q Q ) Se dibuja una línea desde cada extremo del rectángulo hasta el valor más alejado no atípico. Se marcan todos los datos considerados como atípicos (los que quedan fuera de los límites de admisión)

16 DIAGRAMA DE CAJA Y BIGOTES O BOX-PLOT Dato menor no atípico Media Mediana Box-and-Whisker Plot Dt Dato mayor no atípico Dato atípico Altura Dato atípico Q 1 Q 3 16

17 2. MEDIDAS DE DISPERSIÓN: dan una idea de la distancia entre los datos. RANGO O RECORRIDO Y RECORRIDO INTERCUARTÍLICO El rango o recorrido y el recorrido intercuartílico miden la amplitud de los datos. Se definen como: RANGO O RECORRIDO: R = x mayor x menor RECORRIDO INTERCUARTÍLICO: R Q = Q 3 - Q

18 VARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICA Miden la distancia de los datos a la media aritmética. VARIANZA: n k X i j j n i 1 n j 1 V x x x x n A mayor varianza, mayor distancia de los datos a la media y por tanto, la media representa peor lo que sucede en el conjunto de datos. La varianza siempre es mayor o igual que 0 y está medida en unidades al cuadrado. DESVIACIÓN TÍPICA: Dt X V X medida en las mismas unidades que los datos 18

19 V V Ejemplo: Supongamos que tenemos notas de dos grupos de cuarenta alumnos, con distribuciones de frecuencias: X Y x i n i y i n i , DtX 5, , DtY Para ambas variables la media es 5, pero en el segundo caso 5 es un valor que representa mejor a los datos que en el primero porque la varianza del segundo conjunto es MENOR que la del primero. 19

20 Statgraphics NO calcula la varianza ni la desviación típica para un conjunto de datos. Calcula una variante de estas medidas que son, respectivamente, la CUASIVARIANZA y la CUASIDESVIACIÓN TÍPICA. Más adelante veremos el motivo de este hecho. De momento, las usaremos indistintamente CUASIVARIANZA: n k i j j n-1 i 1 n-1 j 1 s x x x x n CUASIDESVIACIÓN TÍPICA: s s 2 20

21 COEFICIENTE DE VARIACIÓN DE PEARSON La varianza NO SIRVE como medida si lo que se quiere es comparar la dispersión respecto a la media entre varios conjuntos de datos salvo si todos los conjuntos de datos tiene la misma media. COEFICIENTE DE VARIACIÓN DE PEARSON: CV X Dt x X Et Este coeficiente fii es adimensional i Multiplicado por 100 se interpreta como el porcentaje de dispersión de los datos respecto de la media. 21

22 Ejemplo: veamos cómo la varianza no sirve para comparar la dispersión ió de dos conjuntos de datos distintos. t Se tienen datos del peso de varios lagartos (X) y del peso de una población de tiburones (Y), en Kg. y i n i x i n i Para X: media = 0.473, V = 0.026, CV = Para Y: media = 404, V= 9.846, CV = La varianza de Y es mayor que la de X pero está influenciado por la magnitud de los datos (las unidades de medida son las mismas). No podemos comparar la dispersión de los datos usando la varianza por lo que usaremos el coeficiente i de variación ió de Pearson donde d vemos que X es más dispersa que Y (mayor CV). 22

23 3. MEDIDAS DE FORMA COEFICIENTE DE ASIMETRÍA DE FISHER (SESGO) n k ( x i x ) ( x i x ) n i n i 1 n i 1 CAF X 3 3 ( D t ) ( D t ) X Calcularemos este valor con Statgraphics para los datos. Entonces si: CAF > 0, la distribución es asimétrica a la derecha. CAF = 0, la distribución es simétrica. CAF < 0, la distribución es asimétrica a la izquierda. X CAF>0, Asimétrica a la derecha CAF=0, Simétrica CAF<0, Asimétrica a la izquierda 23