2º GES T.5 - ESTADÍSTICA TEMA 5. ESTADÍSTICA

Transcripción

1 TEMA 5. ESTADÍSTICA La estadística, a nivel primario, es una actividad que todo el mundo hace desde muy pequeño. El mero hecho de contar y/o clasificar tus juguetes (tus coches, muñecas/os, canicas, videojuegos, ) ya es una actividad estadística. En esta sociedad resulta imprescindible disponer de técnicas que permitan obtener, de forma sencilla y fiable, información de los diferentes conjuntos de datos con los que nos encontramos. Uno de los objetivos de la estadística es extraer información de un conjunto de observaciones (recogidas mediante experimentos o encuestas). Y el procedimiento habitual es resumir los datos. Estos resúmenes pueden ser gráficos (como los diagramas de barras o los histogramas) o numéricos (como la media, mediana o desviación típica). Recordemos algunos conceptos básicos: Población y Muestra Cuando se hace un estudio estadístico el investigador decide si analizará toda la población o una muestra elegida previamente. POBLACIÓN es el conjunto de individuos, con alguna característica común, sobre el que se hace un estudio estadístico. MUESTRA es un subconjunto de la población. Debe elegirse que sea representativa de toda la población en la característica estudiada. Generalmente elegimos muestras aleatorias, es decir, en las que sus elementos se escogen al azar, mediante algún tipo de sorteo. De esta forma, la muestra es representativa de toda la población. CENSO: Cuando se estudia toda la población, se dice que estamos haciendo un censo de la misma. INDIVÍDUO: Es cada uno de los elementos que forman la población o la muestra. Atributos y Variables. Cada una de las propiedades o características que podemos estudiar es una variable estadística. Dependiendo de los posibles valores que puedan tomar se clasifican en: Variables cualitativas o atributos. Los valores de la variable no son números sino cualidades, se expresan con palabras. El color, la forma, el sexo,...son ejemplos de variables cualitativas.

2 Variables cuantitativas. Los datos se expresan numéricamente y pueden ser: - Discretas. Cada una de las variables solo puede tomar valores enteros (1, 2, 3...). El nº de hermanos, el nº ventanas de casa, el nº colegios de tu población,... - Continuas. Pueden tomar cualquier valor de un intervalo dado. Nuestro peso, altura, fuerza, no es posible medirlas con números enteros, la densidad del aire, la velocidad media de los fórmula 1 en una carrera,... Ejemplo: Todos los habitantes de España mayores de edad forman una población, la de los ciudadanos con derecho a voto. Cada uno de esos ciudadanos es un individuo de la población. Cuando se realiza un sondeo electoral para estimar los resultados de unas elecciones, se toma una muestra aleatoria (por ejemplo, personas elegidas al azar) a las que se les pregunta su intención de voto (que sería una variable aleatoria cualitativa en la que las diferentes modalidades serían cada uno de los partidos que se presentan a las elecciones). Recuento de los datos La realización de un trabajo estadístico suele generar grandes conjuntos de datos. Las tablas de frecuencias sirven para ordenarlos y organizarlos. Supongamos que se ha realizado una encuesta a 30 matrimonios de un cierto barrio. Se les ha preguntado cuántos hijos tienen y hemos anotado las respuestas: Vamos a ver cómo realizaríamos la tabla de frecuencia de los datos anteriores. Las columnas de la tabla son las siguientes: Variable (x i ): Dónde aparecen todos los posibles valores de la variable que estamos estudiando. En este ejemplo, la variable es el número de hijos y sus posibles valores son 0, 1, 2, 3 y 4 Frecuencias absolutas (f i ): Es el número de veces que se repite cada uno de los valores de la columna de la variable (x i ). En el ejemplo anterior, la frecuencia correspondiente al valor de la variable 1 es 8, porque hay 8 matrimonios con 1 hijo. Frecuencias relativas (n i ): Nos da el porcentaje en tantos por uno, y se calcula dividiendo la frecuencia absoluta entre el número total de individuos estudiados (N). n i = f i / N

3 Frecuencias absolutas acumuladas (F i ) es la suma de las frecuencias absolutas de los valores que son menores o iguales que él, la indicaremos con Fi. También se pueden calcular las frecuencias relativas acumuladas. Veamos cómo quedaría la tabla de frecuencias del ejemplo anterior: x i f i n i F i 0 6 0, , , , , Gráficos estadísticos Los datos estadísticos suelen representarse de forma gráfica, ya que de esta forma podemos hacernos una idea de su distribución de un solo golpe de vista. Diagrama de Barras. Puede aplicarse a cualquier tipo de variable, pero se considera idóneo para variables discretas. Cada valor corresponde con una barra de longitud igual a su frecuencia. Diagrama de Sectores. También puede aplicarse a cualquier tipo de variable, aunque es más adecuado en variables cualitativas y para una primera toma de contacto con los valores de una población. Es un círculo dividido en sectores. Para calcular el ángulo de cada sector multiplicaremos 360 por la frecuencia relativa. Grados del sector = 360 n i

4 Datos agrupados en intervalos Cuando el número de datos distintos es muy grande, para poder estudiarlos, se hace necesario agruparlos en intervalos o clases, habitualmente de la misma amplitud y como mínimo cuatro. Por ejemplo, en una población hay casi tantas alturas diferentes como individuos, pero podemos agruparlos para que nos resulte más sencillo el recuento. En altos, medios y bajos; también en bajos, medio-bajos, medio-altos y altos; o clasificarlos de 10 cm. en 10 cm Para representar todos los datos de un intervalo elegimos un valor, el punto medio del intervalo, y se llama marca de clase. Ejemplo: Imaginemos que tenemos los siguientes datos. Si los agrupamos en intervalos de 200 de amplitud, quedarían 5 intervalos de la siguiente forma: HISTOGRAMA Cuando los datos vienen agrupados en intervalos se usa para representarlos gráficamente el histograma. Cada valor se representa con un rectángulo de anchura la del intervalo correspondiente y con altura la de su frecuencia.

5 Medidas de centralización LA MEDIA Todos los alumnos saben que con un 6 y un 4 tienen una media de 5. Pues la media en estadística es exactamente eso, aunque, habitualmente con más datos. Para calcular la media, si son pocos datos, se suman todos y se divide entre el número total. Si son muchos datos y los tenemos en una tabla de frecuencias, añadiremos una nueva columna a la tabla (x i f i ) en la que multiplicaremos cada dato por su frecuencia y la sumaremos. Luego dividiremos esta suma por el número de datos. Se indica con x. Ejemplo: x i f i n i F i x i f i 0 6 0, , , , , x = 53 / 30 = LA MODA Cuando nos referimos a que un objeto está de moda queremos decir que un gran número de personas lo usan o lo desean tener. En estadística, la moda es un concepto similar, ya que es el valor que más se repite, el que tenga mayor frecuencia. Y puede ocurrir que haya más de una moda. Llamaremos moda (Mo) de una distribución estadística al valor (o valores) de la variabe que más se repiten, el que tenga mayor frecuencia. En el ejemplo anterior, la moda es el 1, ya que hay ocho familias que tienen un hijo, y es el valor más grande. LA MEDIANA Y LOS CUARTILES La mediana y los cuartiles, al igual que la media aritmética, sólo se pueden calcular cuando la variable es cuantitativa. Llamaremos mediana (Me) al valor que ocupa la posición central de los datos cuando éstos se encuentran ordenados de menor a mayor. Es decir, el 50% de los datos son menores que ella y el 50% mayores.

6 La mediana divide a la distribución en dos partes con igual número de datos en cada una. Pero si dividimos la distribución en cuatro partes, obtendremos los cuartiles. Tenemos los cuartiles 1º, 2º y 3º, que se indican respectivamente Q 1, Q 2, Q 3. Cabe destacar que el segundo cuartil coincide con la mediana (Q 2 = Me) Para calcular la mediana y los cuartiles, tendremos que añadir una nueva columna de porcentajes. Para ello, acumularemos la columna de las frecuencias relativas y la multiplicaremos por 100. La mediana se encontrará en el 50%, y los cuartiles en el 25%, 50% y 75% respectivamente. Ejemplo: x i f i n i F i % 0 6 0, % 1 8 0, % 2 7 0, % 3 5 0, % 4 4 0, % 30 1 Me = 2 = Q 2, Q 1 = 1, Q 3 = 3 Medidas de dispersión Las medidas de centralización no son suficientes para describir el conjunto de datos. Conviene también utilizar otro valor que refleje la dispersión de las observaciones alrededor de la media. RANGO Llamaremos rango o recorrido a la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable, e indica el intervalo en el que se hallan todos los datos. VARIANZA Una manera adecuada de medir esa dispersión es considerar las desviaciones de los valores con la media (xi - x ) y hallar la media de esas desviaciones. Pero habremos de evitar de alguna forma que valores negativos y positivos se compensen. Una opción es elevar esas desviaciones al cuadrado. Así, definimos la varianza como:

7 Var x i x N 2 f i Cuanto mayor es el valor de la varianza, más dispersas están las observaciones. Para calcularla a partir de la tabla de frecuencias, añadimos tres columnas nuevas: 1ª) x i - x 2ª) (x i - x ) 2 3ª) (x i - x ) 2 fi Ahora sumaremos esta última columna y la dividiremos por el número total de observaciones. Ejemplo: x i f i x i - x (x i - x ) 2 (x i - x ) 2 f i Var DESVIACIÓN TÍPICA Un inconveniente de la varianza es que no tiene las mismas unidades que los datos (ya que éstos los elevamos al cuadrado). Por ello, resulta conveniente definir una nueva medida de dispersión que venga dada con las mismas unidades que los datos. Definimos Desviación Típica = σ = Var En nuestro ejemplo, σ = 1,31. Es importante que entiendas el significado de estas medidas. Cuanto mayores sean, más dispersos estarán los datos.

8 Ejercicios 1. Haz una tabla de frecuencias, un diagrama de barras y otro de sectores de los siguientes datos Agrupa los siguientes datos en 5 intervalos y calcula su tabla de frecuencias y su histograma Determina la media, moda, mediana y primer cuartil de los siguientes datos: Calcula la tabla de frecuencias, media, moda, mediana, rango, varianza y desviación típica de los siguientes datos: Calcula la tabla de frecuencias, medidas de centralización y de dispersión y gráfica estadística de los siguientes datos Calcula la tabla de frecuencias, medidas de centralización y de dispersión y gráfica estadística de los siguientes datos (agrúpalos en 4 intervalos) Hemos preguntado a 100 personas sobre un líder político, pidiéndoles una valoración del 1 al 4. Los resultados han sido los siguientes: Valoración Frecuencia Realiza una tabla de frecuencias y calcula la media aritmética, la mediana, la moda, la varianza y la desviación típica. 8. La siguiente tabla indica el tiempo dedicado al estudio por 50 alumnos. Horas Alumnos Realiza una tabla de frecuencias y calcula la media aritmética, la mediana, la moda, la varianza y la desviación típica.