Técnicas de Inferencia Estadística II. Tema 4. Contrastes para la mediana y otros cuantiles

Transcripción

1 Técnicas de Inferencia Estadística II Tema 4. Contrastes para la mediana y otros cuantiles M. Concepción Ausín Universidad Carlos III de Madrid Grado en Estadística y Empresa Curso 2011/12

2 Tema 4. Contrastes para la mediana y otros cuantiles Contenidos Contraste de los signos Test de Wilcoxon de los rangos signados

3 Introducción En muchas situaciones que se observan frecuentemente en la práctica, utilizando las técnicas de bondad de ajuste del tema 3, se concluye que una muestra dada no sigue una distribución normal. En este caso, los contrastes paramétricos para poblaciones normales analizados en el tema 2 no son válidos. En estas situaciones todavía se pueden plantear y contrastar hipótesis acerca de algunas características importantes de la distribución poblacional, como son sus cuantiles. Uno de los cuantiles de mayor interés en la práctica es la mediana.

4 Introducción Para simplificar el problema, consideraremos en este tema exclusivamente variables continuas. Recordamos que el cuantil de orden p de una variable aleatoria X continua, que se denota por Q p, es un único valor tal que: Pr(X Q p ) = p. Uno de los cuantiles más utilizado en la práctica es el cuantil de orden 0,5 o mediana poblacional, que se denota por Q 0,5. Recordamos que el cuantil de orden p es la inversa de la función de distribución, Q p = F 1 (p), donde F (x) = Pr(X x).

5 Contraste de los signos Suponemos una muestra aleatoria simple (X 1,..., X n ) de una población desconocida con función de distribución continua. Queremos resolver contrastes del tipo: H 0 : Q p0 = x 0 H 0 : Q p0 = x 0 H 0 : Q p0 = x 0 H 1 : Q p0 x 0 H 1 : Q p0 < x 0 H 1 : Q p0 > x 0 Que lo podemos reescribir como: H 0 : P(X x 0 ) = p 0 H 0 : P(X x 0 ) = p 0 H 0 : P(X x 0 ) = p 0 H 1 : P(X x 0 ) p 0 H 1 : P(X x 0 ) > p 0 H 1 : P(X x 0 ) < p 0

6 Contraste de los signos Considerando las variables: { } 1, si Xi x Z i = 0 0, si X i > x 0 Z i H0 Ber (p 0 ) para i = 1,..., n, podemos definir un estadístico de contraste mediante la variable Número de observaciones menores o iguales a x 0 : n Z i H0 Bin (n, p 0 ) i=1 Y considerar los contrastes anteriores como contrastes sobre el parámetro p de una distribución Binomial: H 0 : p = p 0 H 0 : p = p 0 H 0 : p = p 0 H 1 : p p 0 H 1 : p > p 0 H 1 : p < p 0

7 Contraste de los signos Cálculo del p-valor H 0 : Q p0 = x 0 vs H 1 : Q p0 > x 0 ( ) p-valor = Pr Bin(n, p 0 ) n z i i=1 H 0 : Q p0 = x 0 vs H 1 : Q p0 < x 0 ( ) p-valor = Pr Bin(n, p 0 ) n z i H 0 : Q p0 = x 0 vs H 1 : Q p0 x 0 { ( p-valor = mín 2 Pr Bin(n, p 0 ) n i=1 z i ) i=1 ( )}, 2 Pr Bin(n, p 0 ) n z i i=1

8 Contraste de los signos Ejemplo 4.1. Un pequeño comercio desea saber si la mediana del gasto por cliente en la tienda es diferente de los 48 euros que espera de beneficio. El gasto de los últimos 10 clientes observados ha sido: 80, 75, 65, 84, 40, 60, 49, 50, 38 y 39 euros. Contrastar esta afirmación al nivel α = 0.05.

9 Contraste de los signos Ejemplo 4.2. Las calificaciones ordenadas obtenidas por doce estudiantes de un curso han sido: Contrastar mediante el test de los signos la hipótesis de que el cuantil de orden 25 sea superior a 6.

10 Contraste de los signos Ejemplo 4.3. Una agencia de viajes asegura que en una cierta localidad turística más del 75 % de los días de verano se registra una temperatura máxima inferior a 30 grados. Contrastar mediante el test de los signos dicha hipótesis al 90 %, utilizando la siguiente muestra de temperaturas máximas registradas en 10 días de verano: 30, 32, 36, 29, 27, 28, 31, 27, 31, 29.

11 Contraste de los rangos signados de Wilcoxon Suponemos una muestra aleatoria simple (X 1,..., X n ) de una población desconocida con función de distribución continua. Queremos resolver contrastes sobre la mediana poblacional: H 0 : Q 0,5 = m 0 H 0 : Q 0,5 = m 0 H 0 : Q 0,5 = m 0 H 1 : Q 0,5 m 0 H 1 : Q 0,5 < m 0 H 1 : Q 0,5 > m 0 Para resolver estos contrastes se calculan las diferencias: X 1 m 0, X 2 m 0,..., X n m 0 y las ordenamos en orden creciente, asignando a cada X i su rango. Por ejemplo, si n = 4 y se tiene: X 2 m 0 < X 3 m 0 < X 1 m 0 < X 4 m 0, entonces, los rangos de X i, para i = 1,..., 4, son: rg (X 1 ) = 3; rg (X 2 ) = 1; rg (X 3 ) = 2; rg (X 4 ) = 4.

12 Contraste de los rangos signados de Wilcoxon El estadístico de Wilcoxon, T + es: T + = Suma de los rangos de las X i mayores que m 0 T = Suma de los rangos de las X i menores que m 0 Claramente, bajo H 0, es de espera que T + y T sean iguales. Además, T + + T = n i = i=1 n (n + 1), 2 por lo que basta tener en consideración T +, cuya distribución es conocida.

13 Contraste de los rangos signados de Wilcoxon H 0 : Q 0,5 = m 0 vs H 1 : Q 0,5 > m 0 p-valor = Pr ( T + > t +) H 0 : Q 0,5 = m 0 vs H 1 : Q 0,5 < m 0 p-valor = Pr ( T + < t +) H 0 : Q 0,5 = m 0 vs H 1 : Q 0,5 m 0 p-valor = mín { 2 Pr(T + < t + ), 2 Pr(T + > t + ) } donde t + es la suma de los rangos de las observaciones mayores que m 0.