Pruebas de Hipótesis

Transcripción

1 Pruebas de Hipótesis

2 Una prueba de hipótesis es una técnica de Inferencia Estadística que permite comprobar si la información que proporciona una muestra observada concuerda (o no) con la hipótesis estadística formulada y, por lo tanto, decidir si se debe aceptar o rechazar dicha hipótesis.

3 Introducción Ejemplos: un investigador que pretende demostrar que la droga A es más efectiva para el tratamiento de cierta enfermedad que la droga B; cuando un psicólogo desea comprobar si cierto formato de instrucción incrementará la eficiencia en el aprendizajes; cuando un ingeniero agrónomo desea comprobar si una nueva distancia de siembra entre surcos, para un cultivo, produce mejores rendimientos que las distancias que se usaban comúnmente en la zona; cuando el jefe de marketing asegura que determinado producto es aceptado por el 60% de la población consumidora, etc. En cada uno de los casos anteriores el responsable del estudio postula o conjetura algo acerca de un sistema. Se puede decir que se llaman decisiones estadísticas a las decisiones que deben tomarse con respecto a las poblaciones a partir de una información obtenida de una muestra de las mismas.

4 Hipótesis Estadística es cualquier afirmación o conjetura sobre una o varias características de interés de la Paramétrica población. : No Paramétrica Es una afirmación sobre los valores de los parámetros poblacionales desconocidos. Simple la hipótesis asigna valores únicos a los parámetros Compuesta la hipótesis asigna un rango de valores a los parámetros Es una afirmación sobre alguna característica estadística de la población en estudio. Por ejemplo, las observaciones son independientes, la distribución de la variable en estudio es normal, la distribución es simétrica, etc.

5 Identificación de las Hipótesis Estadísticas Paramétricas Hipótesis nula H o Se plantea con el parámetro de interés usando alguno de los símbolos, La probabilidad de rechazar Ho es muy baja, y se llama nivel de significación porque Ho es la hipótesis que se considera cierta. Ejemplo, H H 0 1 : : Hipótesis Alternativa H 1 Es contraria a la hipótesis nula. (Niega a H 0 ). Se plantea usando, >,< según el caso respectivo al planteo de Ho. Está muy relacionada con la hipótesis de investigación, es coherente con los resultados obtenidos en la muestra La probabilidad de aceptación de H 1 es

6 Observaciones El propósito de cualquier prueba de hipótesis es decidir cual hipótesis sería rechazada o cuál ha sido aceptada. Cualquier decisión estará basada sobre información parcial de una población, contenida en una muestra, por lo que habrá siempre una posibilidad de una decisión incorrecta. La siguiente tabla resume cuatro posibles situaciones que pueden surgir en un test de hipótesis. Verdadero estado de la población Decisión posible H 0 es cierta H 1 es cierta Se rechazo H 0 Error de tipo I Decisión correcta No se rechaza H 0 Decisión correcta Error de tipo II

7 Esquema para realizar una prueba de hipótesis Etapas: 1) Enunciado de la hipótesis nula y alternativa 2) Selección del estadístico de prueba (Considerar el parámetro poblacional utilizado en 1) y los datos del problema). 3)Gráfico de la distribución del estadístico de prueba para la determinación de la región crítica con el alfa dado y la búsqueda en tabla del valor crítico. 4) Cálculo del valor observado a partir del estadístico. 5) Comparación de valores. 6) Exposición de las conclusiones

8 Contrastes: unilateral y bilateral La posición de la región crítica depende de la hipótesis alternativa Bilateral H 1 : Unilateral Unilateral H 1 : < H 1 : >20

9 Prueba para la media poblacional con varianza poblacional conocida. Con frecuencia deseamos saber si ha cambiado o no una media poblacional. O podemos interesarnos por determinar si una media de una población es diferente o no de un cierto valor supuesto.

10 Ejemplo Un establecimiento tambero tiene una producción media diaria de 25,8 (lt en miles). El gerente del establecimiento pretende modificar ciertas maquinarias con el objetivo de aumentar la producción. Se sabe que la dispersión general es de 0,3 (lt en miles) y no se espera que ese valor cambie con las modificaciones. Se desea probar, con un nivel de significación del 1 %, que la producción promedio no está afectada por el cambio. Para esto, se toma una muestra de 19 observaciones y se encuentra que la nueva media es de 26,1 (lt en miles). El cambio afectó la producción media diaria?

11 Prueba para la media poblacional con varianza poblacional desconocida Ejemplo: Un auditor desea probar el supuesto de que el valor medio de la totalidad de las cuentas por cobrar de una empresa dada es de $ Toma una muestra n = 16 cuentas por cobrar y obtiene una media muestral de $ , con una dispersión de $ Suponga un nivel de significación del 5% para concluir si los datos muestrales dan evidencia suficiente para contradecir el supuesto del auditor.

12 Prueba de hipótesis sobre una proporción En muchos problemas de Ingeniería se debe tomar una decisión con respecto a una proporción. Los supuestos para poder aplicar este test son los mismos que se necesitan para construir un intervalo de confianza para una proporción

13 Ejemplo: El director de la agencia de colocaciones de una universidad sostuvo que al menos 50% de los estudiantes a punto de graduarse habían cerrado un trato de empleo para el 1º de Marzo. Supongamos que se reúne una muestra aleatoria de estudiantes (n=30) y solo 10 de ellos indican haber cerrado trato de empleo. Puede rechazarse el argumento del director de la agencia al nivel de significación del 5%?

14 Prueba de hipótesis para una varianza En este problema debemos probar si la varianza poblacional es un valor determinado. Usamos los mismos supuestos que los utilizados para la realización del intervalo de confianza para la varianza y el mismo estadístico de prueba.

15 Ejemplo Suponga que un fabricante esta produciendo pernos de 8 mm de diámetro, y que los diámetros de estas piezas se distribuyen normalmente ; con propósitos de control de calidad, se obtuvo una muestra de 25 pernos de una línea de producción para estimar la varianza de todos los diámetros, la cual resultó ser de mm2. Con un nivel de significación de Se puede concluir que la varianza poblacional es menor que 0.01 mm2?

16 Prueba de hipótesis acerca de dos parámetros Otro problema que se presenta frecuentemente en el trabajo experimental es determinar si dos distribuciones de probabilidad tienen algunos parámetros que son los mismos, sin especificar los valores comunes de esos parámetros. Tenemos pruebas para la igualdad de dos medias y para la igualdad de dos varianzas

17 Prueba para la comparación de Medias (varianzas poblacionales conocidas) Ejemplo: Se hace un test de eficiencia a 50 ingenieros industriales y 60 ingenieros civiles, obteniéndose los siguientes resultados: X X a) Verificar con un nivel de significación del 5% si la diferencia se puede atribuir a la casualidad o no. b) Ïdem a) pero suponiendo varianzas poblacionales desconocidas e iguales, sabiendo que se obtuvo una dispersión muestral de 6 y 5,5 respectivamente. 7

18 Prueba de hipótesis para comparar medias con varianzas poblacionales desconocidas Se espera que dos operadores produzcan, en promedio, el mismo número de unidades terminadas en el mismo tiempo. Los datos son los números de unidades terminadas para ambos en una semana de trabajo: Operador 1 Operador Si se supone que el número de unidades terminadas diariamente por los dos trabajadores son variables aleatorias independientes distribuidas normalmente. Se puede establecer diferencia entre las medias a un nivel de significación del 0,1?

19 La comparación de medias para muestras independientes requiere igualdad de varianzas poblacionales Debe hacerse un pre-test para comparar varianzas. 1) Plantear las hipótesis H H : : ) Establecer el estadístico de prueba. 3) Definir el nivel de significación y la zona de rechazo de Ho, en el gráfico de la distribución del estadístico. Hallar los valores críticos. Si F ob S S ,02 F F n11, n21; 2 n11, n21,1 2 F 4,4;0,01 4,4;0,01 15, F 15,977 0,0625 F F 1 n11, n21,1 2 n21, n11, 2 No siempre es el inverso

20 Continuación 4) Calcular el valor observado a partir del estadístico de prueba. ob 2 2,915 8, ,673 2,7989 F 3,03 5) Comparar el valor observado con el valor crítico. F0 b 3,03 0,0625;15,977 Pertenece a la zona de aceptación de Ho. 6) Conclusiones: Luego las varianzas son iguales.

21 Comparación de medias para muestras independientes Se plantea una prueba para medias, para varianzas desconocidas pero iguales, de los datos se obtiene 14 x 16,6 1 2 H0 : 1 2 ó H1 : 1 2 ó x 1) Plantear las hipótesis 2) Establecer el estadístico de prueba. t ob x x n 1 S n 1 S 1 1 n n 2 n n

22 Continuación 3) Definir el nivel de significación y la zona de rechazo de Ho, en el gráfico de la distribución del estadístico. t n n 1 2 t8;0, ; 2 4) Calcular el valor observado a partir del estadístico de prueba. t ob 14 16,6 0 2,6 0, , , , ) Comparar el valor observado con el valor crítico. t 1,396;1,396 Se acepta Ho ob

23 Conclusiones Al aceptar Ho, la diferencia de medias muestrales no es significativa, se debe al azar. Luego las medias poblacionales son iguales, lo que se traduce en que los dos operadores producen, en promedio, el mismo número de unidades terminadas en el mismo tiempo