Prueba de Hipótesis. Una hipótesis estadística es un supuesto que se establece sobre las características de una distribución poblacional

Transcripción

1 Una hipótesis estadística es un supuesto que se establece sobre las características de una distribución poblacional El estudio se plantea para la toma de decisión, es decir aceptar o rechazar el supuesto establecido respecto de algún parámetro de la población. La hipótesis nula (Ho) es el valor hipotético del parámetro que se compara con un resultado muestral. El supuesto acerca de uno o más parámetros de la población que debe ser rechazado o no en base a la evidencia muestral. Si la hipótesis nula es falsa, deberá existir otra hipótesis que sea verdadera. Esta hipótesis recibe el nombre de hipótesis alternativa (H1)

2 REGLAS DE DECISIÓN: CRITERIO DE TEST El criterio de test se basa en la decisión de rechazar o no la hipótesis nula, considerando la información aportada por una muestra. Se debe establecer un valor crítico que determina una región de rechazo y una región de no rechazo de la hipótesis nula. La decisión puede tener como resultado dos tipos de errores a tener en cuenta: Error de tipo I y II. Error de tipo I: es rechazar una hipótesis nula cuando esta es verdadera Error de tipo II: este error se comete al NO rechazar una hipótesis nula cuando en realidad es falsa.

3 Elementos para el estudio de prueba de hipótesis: 1) Fijar la hipótesis nula. (Dado que la hipótesis alternativa queda automáticamente determinada como su complemento) 2) Especificar el nivel de significación que se va a usar. Es el estándar estadístico que se especifica para rechazar la hipótesis nula. Los mas utilizados son del 5 % y del 1%. 3) Elegir la estadística muestral. La estadística de prueba puede ser la estadística muestral (el estimador insesgado del parámetro que se prueba) o una versión transformada (ejemplo un valor z) de esa estadística muestral. Ejemplo, la media muestral se utiliza como estadística de prueba de un valor hipotético de la media poblacional.

4 Elementos para el estudio de prueba de hipótesis: 4) Determinar la zona de rechazo de la hipótesis nula. Establecer el o los valores críticos de la estadística de prueba. 5) Determinar el valor real de la estadística de prueba. Si el valor crítico que se establece es un valor z, entonces se transforma la media muestral en un valor z. 6) Tomar la decisión. Se acepta o se rechaza la hipótesis nula. Si se recha Ho se acepta la hipótesis alternativa.

5 Tipos de pruebas: 1) Prueba unilateral izquierda: la región de rechazo de Ho se encuentra a la izquierda de la distribución. 2) Prueba unilateral derecha: la región de rechazo de Ho se ubica en el extremo derecho de la distribución. 3) Prueba bilateral: se establecen zonas de rechazo de Ho en ambos extremos de la distribución. La hipótesis alternativa determina la localización de la región de rechazo de Ho y el nivel de significación el tamaño de dicha región.

6 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA PARÁMETROS POBLACIONALES (Muestras grandes) Ejemplo: Un estudio de medio ambiente da cuenta que la lluvia ácida causada por la reacción de ciertos contaminantes del aire con el agua de lluvia disminuye la acidez del aire, afectando las tierras de cultivos. El PH (medida de la acidez) en ambientes no contaminados es de 5,7. Se sospecha que la instalación de fábricas produce contaminación y el investigador formula la hipótesis de que el ambiente está contaminado y el PH de la lluvia que cae en la zona es inferior a 5,7. Estableciendo las siguientes hipótesis: Ho) µ 5,7 H1) µ 5,7

7 Continúa ejemplo: µ es el promedio de PH de lluvia caída (a menor PH mayor acidez) El estadístico para tomar la decisión es la media muestral. Rechazaremos la hipótesis nula cuando el estimador puntual media muestral tome valores más pequeños que 5,7. Se toma una muestra de n = 40 precipitaciones, se mide el PH y se obtiene un promedio de 3,7 con una desviación estándar de s = 0,5 El investigar tolera equivocarse un 5 % de las veces, ᾴ = 0,05 para eso buscamos el valor z que acumula 0,05 de probabilidad. En la tabla de la normal encontramos que ese valor z es 1,645

8 х* = z σ/ η + µo Prueba de Hipótesis Determinación del valor crítico: Si x x* Si x x* se rechaza Ho no se rechaza Ho x * = -1,645 0, ,7 entonces x* = 5,57 (valor crítico) Si x 5,57 se rechaza Ho, Si x 5,57 no se rechaza Ho Dado que la media muestral es 3,7 cae en la zona de rechazo de Ho, el investigador rechaza la hipótesis nula y acepta la alternativa. Se concluye que el ambiente presenta contaminación producida por la lluvia ácida.

9 Estimar por intervalos el verdadero PH de la población Se construye el intervalo: P( 3,7-1,96. 0,5 / 40 µ 3,7 + 1,96. 0,5 / 40 ) P ( 3,55 µ 3,85 ) = 0,95 Conclusión: el valor estimado es muy inferior al planteado en la hipótesis nula por lo cual se concluye que la contaminación por lluvia ácida es importante.

10 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL (Muestras grandes) Cuando el tamaño de la muestra es grande la variable aleatoria proporción muestral p se distribuye normalmente con esperanza igual a P y desviación estándar igual a P.Q / n Por lo tanto podemos utilizar p como criterio de test para probar hipótesis con respecto al parámetro proporción poblacional P. z = p P N (0,1) P.Q / n

11 PRUEBA DE HIPÓTESIS para P ejemplo: Se conoce que el 20% de la población mayor a 15 años fuma. Se hace una campaña de lucha contra el hábito de fumar durante seis meses y se decide estudiar si ha disminuido dicho hábito. Se toma una muestra aleatoria de 1000 personas adultas y se realiza una encuesta consultando si fuma o no. La información proporcionada revela que el 12 % de las personas fuma habitualmente. Se decide poner a prueba la hipótesis estadística de que la campaña publicitaria había disminuido la cantidad de fumadores. Las hipótesis planteadas son: Ho): P 0,20 H1): P 0,20

12 PRUEBA DE HIPÓTESIS para P ejemplo: Las reglas de decisión serán: Rechazar Ho si p p* = Po + z. P.Q / n Si se fija un ᾴ = 0,05, z = será igual a 1,645 P es el valor que toma el parámetro en la hipótesis nula y Q el complemento. P.Q = 0,20. 0,80 = 0,0126 y p*= 0,20 1,645. 0,0126 n 1000 p* = 0,179 el valor p= 0,12 cae en la región de rechazo de Ho por lo cual se puede concluir que la cantidad de fumadores ha disminuido después de la campaña de concientización.

13 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA VARIANZA POBLACIONAL El estadístico a utilizar es: ( n -1 ) S² Ҳ² (n-1) σ² Veamos con un ejemplo: Un operador de bolsa al aconsejar a un cliente con respecto a la inversión de una determinada acción, destaca la poca variabilidad de la cotización. Según el operador estas acciones presentan una varianza en las cotizaciones diarias σ² = 0,2 El cliente quien desea hacer una fuerte inversión decide poner a prueba la hipótesis del operador estableciendo las siguientes hipótesis estadísticas: Ho): σ² 0,2 H1): σ² 0,2

14 Ejemplo para LA VARIANZA POBLACIONAL Selecciona una muestra de 15 días donde registra la cotización diaria de las acciones y el cálculo de la varianza en la muestra dio S² = 0,4 La regla de decisión a seguir será: Rechazar Ho si: Ҳ² = ( n -1 ) S² Ҳ² (n-1) Ҳ² ᾴ(n-1) σ² Si fijamos ᾴ = 0,05 el valor de Ҳ² con 14 grados de libertad es 23,7 Calculamos el estadístico: 14. 0,4 = 0,28 cae en la zona de rechazo 0,2 de Ho, se concluye que el operador estaba equivocado y la cotización diaria de la acción es mucho más variable de lo que él cree