Estadísticas Elemental Tema 3: Describir, Explorar, y Comparar Data 3.1-1

Transcripción

1 Estadísticas Elemental Tema 3: Describir, Explorar, y Comparar Data 3.1-1

2 Variables comunes N = total de individuos en la población n = total de elementos en la muestra x i = un valor observado

3 Medidas de tendencia central Una medida de tendencia central describe numéricamente el valor promedio o el dato típico de un conjunto de datos. Es un dato representativo de un grupo de datos. Las medidas de tendencia central más utilizadas: la moda la media aritmética la mediana

4 Medidas de tendencia central (cont.) Una medida de tendencia central es la moda. La moda de una variable es la observación que se produce con mayor frecuencia. Si no hay ninguna observación que se produce con la mayor frecuencia, o si más de dos observaciones se producen con la misma frecuencia decimos que el conjunto de datos NO tiene moda. El conjunto de datos puede tener más de un modo. En este caso, decimos que el conjunto es bimodal Pearson Prentice Hall. All rights reserved

5 EJEMPLO Identificar la Moda de un conjunto de datos Los datos que siguen muestran los gobernadores electos de Puerto Rico y el pueblo donde nacieron. Identificar la moda. # Nombre Pueblo de nacimiento 1 Luis Muñoz Marín San Juan 2 Roberto Sánchez Vilella Mayaguez 3 Luis A. Ferré Ponce 4 Rafael Hernández Colón Ponce 5 Carlos Romero Barceló Santurce 6 Pedro Rosselló González San Juan 7 Sila M. Calderón San Juan 8 Aníbal Acevedo Vilá Hato Rey 9 Luis Fortuño Santurce 10 Alejandro Garcia Padilla Coamo

6 Media Aritmética La media aritmética de una variable (comúnmente como el promedio) se calcula sumando todos los valores de la variable en el conjunto de datos y dividiendo la suma entre el número total de observaciones. La media aritmética poblacional se calcula utilizando todos los individuos de la población. La media aritmética poblacional es un parámetro y se denota μ (se pronuncia miu). La media aritmética muestral se calcula utilizando los datos de la muestra. La media aritmética muestral es una estadístico y se denota x. (se lee x barra)

7 Si x 1, x 2,, x N son las N observaciones de una variable de la población, entonces la media de la población, µ, esta dada por Fórmulas para la Media x x x 1 2 N N Si x 1, x 2,, x n son las n observaciones de la muestra, entonces la media de la muestra, x, esta dada por ó x x x x 1 2 n n ó x = x i n

8 ACTIVIDAD Calcular la media poblacional y la media muestral Los siguientes datos representan la duración del viaje al trabajo (en minutos) para los diez empleados de una empresa. 23, 36, 23, 18, 5, 26, 43, 45, 65, 75 (a) Calcule la μ para estos datos. (b)tome una muestra aleatoria simple de n = 3 empleados. Calcule x Pearson Prentice Hall. All rights reserved

9 Determinar la Mediana La mediana de una variable es el valor que se encuentra en el medio de los datos cuando éstos se han ordenado de forma ascendente. Utilizamos M para representar a la mediana Pearson Prentice Hall. All rights reserved

10 Pasos para determinar la mediana de un conjunto de datos Paso 1: Organizar los datos en orden ascendente. Paso 2: Determinar el número de observaciones, n. Paso 3: Determinar la observación en el centro del conjunto de datos. Si el número de observaciones es impar, la mediana es el valor que está exactamente en el medio del conjunto. Valor que se encuentra en la posición n+1 2 Si el número de observaciones es par, entonces la mediana es la media de la dos observaciones intermedias del conjunto. Hallar la media de los valores en posiciones n y n

11 EJEMPLO Calcular la mediana de un conjunto de datos con número impar de observaciones Los siguientes datos representan los pulsos (latidos por minuto) de nueve estudiantes matriculados en una sección de Estadística de alguna universidad. 76, 60, 60, 81, 72, 89, 89, 68, 73 Determine la mediana del conjunto. Paso 1: 60, 60, 68, 72, 73, 76, 81, 89, 89 Paso 2: Hay n = 9 observaciones. Paso 3: La mediana está en la posición,,

12 EJEMPLO Calcular la mediana de un conjunto de datos con número par de observaciones Supongamos que llega un estudiante tarde a la clase. El pulso de este estudiante es 80. Determine la mediana del conjunto nuevo. 76, 60, 60, 81, 72, 89, 89, 68, 73, 80 Paso 1: 60, 60, 68, 72, 73, 76, 80, 81, 89, 89 Paso 2: Hay n = 10 observaciones. n Paso 3: 2 = n = 60, 60, 68, 72, 73, 76, 80, 81, 89, 89 M =

13 EJEMPLO Medidas resistentes o robustas Datos sobre la duración del viaje al trabajo (en minutos) para los diez empleados de una empresa. 5, 18, 23, 23, 26, 36, 43, 45, 65, datos Supongamos que se contrata a un nuevo empleado y este tiene que hacer un viaje de 180 minutos. Cuál es el impacto sobre el valor de la media y la mediana de este nuevo conjunto? Media antes: 35.9 minutos Mediana antes: 31 minutos Media después: Mediana después: minutos minutos

14 Medidas resistentes o robustas Un resumen numérico de un conjunto de datos se dice que es resistente si los valores extremos (muy grandes o muy pequeños) relativos a los datos, no afecta, sustancialmente, a su valor. La mediana es una medida más robusta o resistente que la media

15 EJEMPLO Identificar la moda, media y mediana Benjamin es dueño de una pequeña empresa de Internet. Además de sí mismo, se emplea a otras doce personas. Los salarios que reciben por los empleados se ofrecen a continuación en miles de dólares (el salario de Benjamin es el más grande, por supuesto): Determine la moda, la media y la mediana. 30, 60,30, 75, 50, 60, 50, 55, 45, 50, 55, 30, 70 Solución: Podríamos comenzar por ordenar los datos. 30, 30,30, 45, 50, 50, 50, 55, 55, 60, 60, 70, Pearson Prentice Hall. All rights reserved

16 Calcular la media de tablas de frecuencias agrupadas Cuando en vez de un conjunto de datos observados sólo tenemos datos agrupados en una tabla de frecuencia, no podemos calcular una media exacta para el conjunto de datos. En ese caso, debemos estimar la media aritmética real usando tabla de frecuencias y la siguiente fórmula: x g = f m f donde f = la frecuencia del intervalo y m = el punto medio del intervalo

17 Ejemplo La Tabla 1 muestra los resultados agrupados de 19 estudiantes en un examen de una clase de Estadística Elemental. Encuentre la mejor estimación de la media aritmética. Solución: 1. Encontrar los puntos medios de los intervalos. 2. Calcular f. 3. Calcular la media. μ = f m f