DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR

Transcripción

1 Probabilidad Cap 6 DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR Copyright 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved

2 La distribución normal estándar 2

3 Variable aleatoria normal estandarizada Podemos determinar el área bajo la curva normal primeramente estandarizando la variable. Determinamos el valor Z para cada valor de la variable usando la transformación Luego usamos la tabla conocida como la tabla para la curva normal para determinar el área bajo la curva. 3

4 Propiedades de la curva de normal estándar 1. Es simétrica alrededor de su media, μ = 0 y σ = La moda = media = mediana =0, y el punto más alto se produce en x = Tiene puntos de inflexión en x = 1 y x = 1 4. El área bajo la curva es igual a El área bajo la curva a la derecha de μ es igual al área bajo la curva a la izquierda μ y es igual a

5 EJEMPLO Estandarizar una variable aleatoria Los pesos de jirafas siguen una distribución normal con media, μ = 2,200 libras y desviación estándar, σ = 200 libras. Estandarice la variable X. Determine el área bajo la curva normal estándar para X entre los valores de Z correspondientes a x=2000 y x = z = x μ σ 5

6 Area bajo una curva de normal estándar Calcule el área bajo la curva normal estándar: entre z=0 y z=1 entre z=1 y z=2 entre z=2 y z=3 Copyright 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved

7 Determinar el área bajo una curva normal estándar usando tablas. La tabla A-2 para la distribución normal estándar da el área bajo la curva normal estándar para valores a la izquierda de alguna Z, como se muestra 7-7

8 EJEMPLO Determinar el área bajo la curva normal estándar Determinar el área bajo la curva normal estándar a la izquierda de Z = Área hacia la izquierda de z = es 7-8

9 Area bajo una curva normal estándar Área bajo la curva normal estándar a la derecha de z o es igual a 1 Area to the left of z o 7-9

10 EJEMPLO Determinar el área bajo la curva normal estándar Determinar el área bajo la curva normal estándar a la derecha de Z = 1.25 Área a la derecha 1.25 = 1 área a la izquierda de

11 EJEMPLO Determinar el área bajo la curva normal estándar Determinar el área bajo la curva normal estándar entre z = y z = Área entre y 2.94 = (Área a la izquierda de z = 2.94) (área a la izquierda de z = -1.02) 11

12 Problema Procedimiento Solución Determinar el área a la izquierda de z Sombrear el área a la izquierda de z Usar la tabla normal para hallar la fila y la columna que corresponden a z. El área el el valor donde la fila y la columna intersecan. Determinar el área a la derecha de z Sombrear el área a la derecha de z Usar la tabla normal el área a la izquierda de z. Luego reste 1 área a la izquierda de z Determinar el área entre z 1 y z 2 Sombrear el área entre z 1 y z 2 Usar la tabla normal el área a la izquierda de z 1 y a la izquierda de z 2. Luego reste área a la izquierda z 2 área a la izquierda de z 1 12

13 EJEMPLO Determinar z, dado una área específica debajo de la curva a la izquierda de z. Determinar z, dado que el área a la izquierda de z es El valor z tal que el área a la izquierda de z es es. 13

14 EJEMPLO Determinar z, dado una área específica debajo de la curva a la derecha de z. Determinar z, dado que el área a la derecha de z es El área a la izquierda de z es. La aproximación para el valor de z que corresponde a un área de a la derecha es. 14

15 Práctica 15

16 La tabla normal 16

17 La tabla normal (cont) 17

18 Práctica Determinar el área bajo la curva normal estándar que está a la derecha de z. Determinar el área bajo la curva normal estándar que está entre:

19 Probabilidad para una variable aleatoria normal estándar P(a < Z < b) P(Z > a) P(Z < a) representa la probabilidad de que una variable aleatoria normal estándar está entre a y b representa la probabilidad de que una variable aleatoria normal estándar es mayor que a. representa la probabilidad de que una variable aleatoria normal estándar es menor que a. 19

20 EJEMPLO Determinar la probabilidad una variable aleatoria normal estándar. Determinar las siguientes probabilidades: (a) P(Z < -0.23) (b) P(Z > 1.93) (c) P(0.65 < Z < 2.10) 20

21 P(Z=z) NOTA: Para cualquier variable aleatoria continua, la probabilidad de observar un valor específico de la variable aleatoria es 0. Por ejemplo, para una variable aleatoria normal estándar, P (a) = 0, para cualquier valor de a. Esto es debido a que no hay área bajo la curva normal estándar en un sólo valor, por lo que la probabilidad es 0. Por lo tanto, las siguientes probabilidades son equivalentes: P(a < Z < b) = P(a < Z < b) = P(a < Z < b) = P(a < Z < b) 21