Part I. Momentos de una variable aleatoria. Esperanza y varianza. Modelos de Probabilidad. Mario Francisco. Esperanza de una variable aleatoria

Transcripción

1 una una típica Part I Momentos. Esperanza y varianza

2 Esperanza una una típica Definición Sea X una discreta que toma los valores x i con probabilidades p i. Supuesto que i x i p i <, se define la media, valor esperado o esperanza matemática de la X como el número real: µ = E (X ) = i x ip i Definición Sea X una continua con función de densidad f. Supuesto que x f (x)dx <, se define la media, valor esperado o esperanza matemática de la X como el número real: µ = E (X ) = xf (x)dx

3 Esperanza una una típica Propiedades de la esperanza 1 E (ax + b) = ae (X ) + b 2 E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) 3 Si X es discreta con valores x i, y probabilidades p i, la media de Y = g(x ) es: E(Y ) = E (g(x )) = g(x i )p i i 4 Si X es una continua con densidad f, la media de Y = g(x ) es: E(Y ) = E (g(x )) = g(x)f (x)dx

4 Esperanza una una típica Ejemplo 1 Valor esperado de la X = suma de los resultados obtenidos al lanzar dos dados : { (6 6 i )/36 si i = 1, 2,..., 11 p i = 0 en otro caso E (X ) = 11 i=1 x i p i = = 7

5 Esperanza una una típica Ejemplo 2 Media de la continua cuya función de densidad está dada por: { 1 si 8 x 9 f (x) = 0 si x / [8, 9] E (X ) = xf (x)dx = La media de Y = g(x ) = X 3 es E(Y ) = E (g(x )) = xdx = 8 5 x 3 dx =

6 Esperanza una una típica Ejemplo 3. Variable discreta que no posee media Sea X la con función de probabilidad: x i = ( 1) i 2 i i, p i = 1, i = 1, 2, 3,... 2i Dado que la serie i=1 x i p i no es convergente, diremos que X no tiene media. X i p i = i=1 i=1 2 i i 1 2 i = i=1 1 i =

7 Esperanza una una típica Ejemplo 4. Variable continua que no posee media Sea X una de Cauchy, con función de densidad: f (x) = Dado que no existe la media. x f (x)dx = 1 π(1 + x 2 ), < x < x f (x)dx, diremos que X no tiene x π(1 + x 2 ) dx = x π x 2 dx = 1 [ ( ln 1 + x 2 )] 2π 0 = x π(1 + x 2 ) dx

8 Momentos una una típica Definición Sea n Z +, si existe E (X n ), se define el momento con respecto al origen de orden n, α n, X a α n = E (X n ), Teorema Si existe el momento de orden t X entonces existen todos los de orden 0 < s < t.

9 Momentos una una típica Teorema Sea X una v.a. sobre el espacio de probabilidad (Ω, A, P). Si E X k < para algún k > 0, entonces Teorema n k P { X > n} 0 cuando n. Si n k P { X > n} 0 a β, β < k.

10 Momentos una una típica Definición Sea n Z +, si E ((X E(X )) n ) existe, se define el momento central o con respecto a la media de orden n, µ n, de X como µ n = E ((X E(X )) n ) Comentario Conocidos α k se obtienen µ k y viceversa: µ k = E (X α 1 ) k = k ( k ( 1) i i i=0 α k = E (X α 1 + α 1 ) k = k i=0 ) α i 1α k i ( ) k α i i 1µ k i

11 Varianza una una típica Definición Sea X una con media µ = E(X ). Se define la varianza de X como el valor esperado de los cuadrados de las diferencias con la media: σ 2 = Var(X ) = E[(X E(X )) 2 ] Definición Se define la típica de la X como la raíz positiva de la varianza: σ = + E[(X E(X )) 2 ] Propiedades 1 Var(aX + b) = a 2 Var(X ). 2 Var (X ) = E ( X 2) [E(X )] 2.

12 Características una una típica Tipificacíón Una se dirá que está estandarizada o tipificada, si su media es 0 y su varianza es 1. Para transformar una X con media µ y típica σ en otra tipificada, basta con aplicar la transformación lineal, Y = X µ. σ La nueva, Y, tiene media 0 y varianza 1.

13 Características una una típica La mediana es la medida de centralización que divide la distribución en dos partes de igual probabilidad. Es el valor M e que, para una con distribución F, verifica: M e = inf{x/f (x) 1/2} La moda es el valor M 0 que maximiza la función de probabilidad o la función de densidad, según se trate discreta o continua, respectivamente. Cuantiles de orden p, siendo 0 < p < 1, son los valores Q p, que dejan un 100p% de la distribución de probabilidad a su izquierda. Esto es: Q p = inf{x/f (x) p} Los cuantiles más usados son Q 1, Q 1 y Q 3 que se denominan también primer, segundo y tercer cuartil.

14 Características una una típica Recorrido intercuartílico RI = Q 3 Q Se define el coeficiente de variación X, con media µ > 0 y típica σ, como : CV (X ) = σ µ El coeficiente de asimetría es el cociente γ 1 = µ 3 σ 3 Si γ 1 es 0 la distribución es simétrica. En otro caso presentará asimetría positiva o negativa de acuerdo con el signo de γ 1. El coeficiente de apuntamiento o curtosis es el número γ 2 = µ 4 σ 4 3 Si γ 2 es 0 la distribución presenta una forma similar a la distribución normal.

15 Características una una típica Ejemplo 5 Vamos a calcular algunas de las de la distribución continua que tiene por función de densidad { 0 f (x) = 1 si 0 x 10 0 en otro caso Media y varianza: µ = E(X ) = σ 2 = E ( (x 5) 2) = xf (x)dx = xdx = (x 5)2 dx =

16 Características una una típica Ejemplo 5 Coeficiente de variación: CV = σ µ = Momentos con respecto al origen: α k = 10 0 [ 1 10 x k x k+1 dx = (k + 1) 10 ] 10 Momentos centrales o respecto a la media: µ k = = 10k k + 1 [ ] 1 10 (x (x 5) k )k dx = 10(k + 1) 0 en particular, µ 3 = 0 y µ 4 = 125.

17 Características una una típica Ejemplo 5 Al tratarse continua, el cuartil Q p es el valor de la que verifica que F (Q p ) = p, siendo F la función de distribución de la : 0 si x < 0 x F (x) = si 0 x si x > 10 La mediana es el valor M e que verifica que F (M e ) = 1/2 : F (M e ) = 1 2 M e 10 = 1 2 M e = 5

18 Características una una típica Ejemplo 5 Los cuantiles de orden p serán aquellos valores Q p tales que F (Q p ) = p Q p 10 = p Q p = 10p Recorrido intercuartílico: RI = Q 3 4 Q 1 4 = 5 Como γ 1 = 0 y γ 2 = 1 2, la distribución es simétrica y platicúrtica (más aplastada que la normal).

19 de Markov y de Tchebychev una una típica Desigualdad de Markov Si X es una que toma sólo valores no negativos, se verifica la siguiente desigualdad: P(X k) E(X ), k > 0 k Comentario Esta desigualdad se puede generalizar para el caso función no negativa g de la X, obteniendo: P (g(x ) k) E [g(x )], k > 0 k

20 de Markov y de Tchebychev una una típica Desigualdad de Tchebychev Dada una X, con media µ y típica σ, el teorema o desigualdad de Tchebychev afirma que para cualquier constante positiva k se verifica: equivalentemente, P( X µ < kσ) 1 1 k 2 P( X µ kσ) 1 k 2

21 de Markov y de Tchebychev una una típica Comentarios: Para el caso particular de k = 2, el resultado afirma que el 75% de la distribución de probabilidad se encuentra en el intervalo (µ 2σ, µ + 2σ). La acotación que proporciona esta desigualdad es conservadora, si bien nos da información de la sin conocer su distribución. Obsérvese que la desigualdad de Tchebychev es consecuencia de la desigualdad de Markov, sin más que aplicar esta última a la transformada Y = g(x ) = (X E(X )) 2.

22 de Markov y de Tchebychev una una típica Ejemplo 6 El número diario de usuarios impresora de un centro de cálculo sigue una distribución con media 40 y típica 4. Aunque se desconoce la distribución de la, podemos dar una acotación para la probabilidad de que el número de usuarios de un día cualquiera esté comprendido 32 y 48. Teniendo en cuenta que 32 = µ 2σ y que 48 = µ + 2σ, por la desigualdad de Tchebychev: P(32 < X < 48) = P(µ 2σ < X < µ + 2σ) = 0 75 Al menos el 75% de los días el número de usuarios de dicha impresora estará 32 y 48.

23 generatriz de probabilidad una una típica Definición Sea X una v.a. discreta, tal que P(X = k) = p k, k = 0, 1, 2,..., la función P(s) = E ( s X ) = p k s k k=0 la cual converge casi seguro para s 1, se llama la función generatriz de probabilidad.

24 generatriz de probabilidad una una típica Comentarios P(s) es una serie de potencias de centro cero y radio de convergencia 1. Como P(1) = 1, la serie P(s) es uniformemente y absolutamente convergente en s 1 y P es una función continua en s. Los de X, si existen, pueden ser calculados por las derivadas de P(s) en s = 1. P (s) = P (s) = kp k s k 1, entonces P (1) = E(X ) k=1 k(k 1)p k s k 2, entonces P (1) = E(X (X 1)) k=2 y así sucesivamente.

25 generatriz de una una típica Definición Sea X una v.a. definida en (Ω, A, P). La función M(s) = E (e ) sx se llama la función generatriz de de la v.a. X si la esperanza anterior existe en algún intervalo del origen.

26 generatriz de una una típica Comentario La función generatriz de puede no existir para alguna v.a. Sea X la v.a. con función de masa de probabilidad, Entonces P (X = k) = 6 π 2 M(s) = E (e ) sx = 6 π 2 k=1 1, k = 1, 2,... k2 e sk, es divergente para cada s > 0. k2

27 generatriz de una una típica Teorema Si la función M(s) v.a. X existe para s en ( s 0, s 0 ), s 0 > 0, las derivadas de todos los órdenes existen en s = 0 y pueden evaluarse bajo el signo integral, es decir, ( M (k) (s) = E X k), con k Z +. s=0 Alternativamente, si M(s) existe en un entorno de s = 0, desarrollando en serie de Maclaurin tenemos que: M(s) = M(0) + M (0) 1! s + M (0) s 2 +, 2! por lo tanto, E ( X k) es el coeficiente de s k /k! en la expansión anterior.