C alculo Noviembre 2010

Transcripción

1 Cálculo Noviembre 2010

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3 Series numéricas. Sucesiones Definición Una sucesión es una aplicación a : IN IR. Denotamos simplificadamente a n en vez de a(n). El límite de la sucesión (a n ) es l R si para cada ε > 0, existe un número natural N IN tal que a n l < ε para todo n > N. En caso de que el límite exista, se escribe l = lím n a n y la sucesión se dice convergente.

4 Series numéricas Dada una sucesión (a n ), podemos construir la sucesión de sumas parciales: s n = a a n. Llamamos serie de término general (a n ) a la sucesión de sumas parciales (s n ). La serie converge si lo hace la sucesión de sumas parciales. Si la serie es convergente denotaremos a n = lím n s n.

5 Series numéricas. Propiedades Sean a n, b n dos series convergentes y c R. Entonces: 1) La serie suma (a n + b n ) es convergente y (a n + b n ) = a n +b n. 2) La serie (ca n ) es convergente y (ca n ) = ca n. Teorema (Condición necesaria de convergencia de series) Si la serie a n es convergente, entonces lím n a n = 0

6 Series numéricas Criterio del cociente (o de D Alambert) Sea a n > 0 tal que Entonces: lím n a n+1 a n 1) Si r < 1, la serie a n converge. = r 2) Si r > 1 o r = +, la serie a n no converge. 2) Si r = 1, el criterio no decide.

7 Series numéricas. Criterios de convergencia Criterio del cociente (o de D Alambert): Ejemplos 1. n! n n lím a n+1 a n = lím nn (n + 1) n = lím 1 (n + 1 n )n = 1 e < 1, por tanto es convergente. 2. 3n 3+n! lím a n+1 a n 3 n+1 = lím 3 + (n + 1)! por tanto es convergente. 3 + n! 3 n = lím3 3/n! + 1 3/n! + n + 1 = 0, 3. Ejemplo en que el criterio no decide. Si consideramos la serie armónica n 1 s lím a n+1 = lím ns a n (n + 1) s = 1.

8 Series numéricas. Criterios de convergencia Criterio de la raíz (o de Cauchy) Sea a n > 0 y tal que existe lím n n a n = r. Entonces: 1) Si r < 1, la serie a n converge. 2) Si r > 1, la serie a n no converge. 3) Si r = 1, el criterio no decide.

9 Series numéricas. Criterios de convergencia Criterio de la raíz: Ejemplos 1. 1 (logn) n lím n a n = lím 1 logn = 0 < 1, por tanto es convergente. 2. [ n n+2 ]n2 lím n a n = lím[1 2 ([ n + 2 ]n = lím 1 2 ] (n+2)/2 ) 2n/(n+2) = e 2 < 1, n + 2 por tanto es convergente. 3. Ejemplo en que el criterio de la raíz no decide. Si consideramos la serie armónica 1 n s lím n a n = lím 1 (n 1/n ) s = 1.

10 Series numéricas alternadas Definición (Series alternadas) Una serie es alternada si sus sumandos son alternativamente positivos y negativos: con a n 0. ( 1) n a n, o bien ( 1) n+1 a n = ( 1) n a n, Teorema (Criterio de Leibnitz) Una serie alternada ( 1) n a n, a n 0, es convergente si su término general a n converge montonamente hacia cero, en cuyo caso: s 2n < ( 1) n a n < s 2n+1 y ( 1) n a n s n < a n+1

11 Series numéricas absolutamente convergentes Definición (Convergencia absoluta) Diremos la serie valores absolutos es convergente. a n es absolutamente convergente si la serie de los a n = a a n +..., Teorema (Convergencia absoluta convergencia) Si a n converge, entonces a n también converge. Nota La serie de valores absolutos es una serie de términos positivos y por tanto podemos aplicarle los criterios de convergencia de series de números positivos vistos.

12 Nota La convergencia en los puntos x = a R y x = a + R se estudia aparte. c Dpto. de Matemáticas UDC Series de potencias Definición Una serie de potencias es una expresión de la forma n=0 a n(x a) n. El número real a n se le llama coeficiente n ésimo de la serie de potencias. El punto a se denomina centro de la serie de potencias. Teorema Dada la serie de potencias a n (x a) n hay tres posibilidades: 1. La serie sólo converge en x = a. 2. La serie converge absolutamente en todo x R. 3. Existe un número real R > 0 tal que la serie converge absolutamente si x a < R y no converge si x a > R.

13 Series de potencias. Radio de convergencia Definición El radio de convergencia de una serie de potencias es: 1. R = 0 si la serie sólo converge en x = a. 2. R = si la serie converge en todo R. 3. R si la serie converge en (a R,a + R) y no converge en R \ [a R,a + R]. El intervalo donde converge la serie de potencias se llama campo de convergencia. Nota Mediante el Criterio del Cociente o el Criterio de la Raíz calculamos el radio de convergencia: R = lím n a n a n+1 = 1 lím n n a n.

14 Series de potencias. Radio de convergencia Ejemplos: cálculo del Radio de Convergencia 1. n n x n n=0 R = lím n 1 n n n = 1 n = R = 1 lím n 1 (n+1)! 1 n! (x 2) n n=0 n! = lím n (n + 1) = + x n, n=0 es la serie geométrica que converge x < 1. Por tanto R = 1 y el campo de convergencia es ( 1,1). c Dpto. de Matemáticas UDC