Problemas resueltos Series Numéricas
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- Vanesa Naranjo Juárez
- hace 8 años
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1 Problemas resueltos Numéricas Ximo Beneyto3 Genius, a good idea in Maths Tema : numéricas. Problemas
2 PROBLEMAS RESUELTOS 1. De una serie conocemos el término general de su suma parcial de orden "n",. Se pide : 1.1. Hallar a n y formar la serie 1.2. Hallar la suma de los primeros términos de la sucesión 1.3. Estudiar si la serie es CONVERGENTE y hallar su SUMA a n? Recordemos la relación entre S n y a n a 1 = S 1 = [ Observa que en el segundo sumatorio, sumamos desde n = 2 ] 1.2.-? Interpretando S n como la suma de los n primeros términos de Y CONVERGENCIA? SUMA? Como es CONVERGENTE y su SUMA es 4. Tema : numéricas. Problemas 2
3 2. De una serie sabemos el término general de su suma parcial de orden "n",. Se pide : 2.1. Hallar a n y formar la serie 2.2. Hallar la suma de los primeros términos de la sucesión 2.3. Estudiar si la serie es CONVERGENTE y hallar su SUMA a n? Operando como en el problema anterior : a 1 = 1.2.-? CONVERGENCIA? SUMA? Y es CONVERGENTE y su SUMA es 1 Tema : numéricas. Problemas 3
4 3. Estudiar el carácter de la Serie Sea [ Criterio de D' Alembert ( Serie de términos positivos )] Y La Serie DIVERGE 4. Estudiar el carácter de la Serie [ Criterio de D' Alembert ( Serie de términos positivos )] Y La Serie CONVERGE [ Observa : (2n +1)! = ( 2n+1 ) A (2n) A ( 2n-1)! ] Tema : numéricas. Problemas 4
5 5. Estudiar el carácter de la Serie [ Criterio de D' Alembert ( Serie de términos positivos )] [ Si b n = 1 A 5 A 9 A... A ( 4n - 3 ) Y b n+1 = 1 A 5 A 9 A... A ( 4n - 3 ) ( 4n + 1 ) Ojo! ] 6. Estudiar el carácter de la Serie [ Criterio de D' Alembert ( Serie de términos positivos )] [ Observa : 5 n+1 = 5 n A 5 ] Y La Serie CONVERGE 7. Estudiar según r 0 ú el carácter de la Serie Se trata de una Serie de términos cualesquiera, pues r 0 ú. Estudiemos su convergencia absoluta. Tema : numéricas. Problemas 5
6 Sea [ Criterio de D' Alembert ] Y La Serie es ABSOLUTAMENTE CONVERGE Y Es CONVERGENTE œ r 0 ú 8. Estudiar según los valores de x 0 ú la naturaleza de la Serie Si x 0 ú Y es una Serie de Términos cualesquiera. Estudiemos la convergencia absoluta. Aplicando el Criterio de D' Alembert a la serie en valor absoluto: Sea Hagamos unas consideraciones sobre el valor de x. i) Si i.1) Si x = 1 Y Sustituyendo en la serie original queda :. Aplicando ahora la Condición necesaria de Cauchy, tenemos : Y La Serie DIVERGE para x = 1 Tema : numéricas. Problemas 6
7 i.2) Si x = -1 Y Sustituyendo en la serie original queda :. Aplicando de nuevo la Condición necesaria de Cauchy, tenemos : Y La Serie DIVERGE para x = -1 ii) Si. Aplicando ahora la condición necesaria de Cauchy, sustituyendo x / *x* < 1 en la Serie: Y La Serie DIVERGE para *x* < 1 iii) Si iii.1) Si x > 1 Y Y La Serie CONVERGE iii.2) Si x < Estudiar según los valores de a 0 ú, a > 0 el carácter de la Serie y aplicar el resultado obtenido para estudiar el carácter de las series Se trata de una Serie de términos positivos œ a > 0, apliquemos el criterio de convergencia del cociente ( D'Alembert) Tema : numéricas. Problemas 7
8 Observa : ( n+1 )! = (n+1) A n! ; ( n+1) n+1 = (n+1) n A (n+1) ] [ Aplicando las condiciones del criterio del cociente, tenemos : i) si < 1 a < e Y La serie CONVERGE ii) si > 1 a > e Y La serie DIVERGE iii) si = 1 a = e Y DUDA? Resolvamos el caso DUDA ( a = e ) Sustituyendo en la serie original, quedará : Comprobemos la condición de convergencia de Cauchy. Y DIVERGE Tema : numéricas. Problemas 8
9 Resumiendo, la serie œ a > 0 Carácter? Observando el estudio anterior, tomando a = 3, como 3 > e Y La Serie Diverge Carácter? Razonando como anteriormente, tomando a = 2, como 2 < e Y La Serie Converge [ Nota : Recordemos que e. 2, ] 10. Estudiar el carácter de la Serie [ Criterio de D' Alembert ( Serie de términos positivos )] < Tema : numéricas. Problemas 9
10 Y Y La Serie DIVERGE 11. Estudiar según los valores de x 0 ú la naturaleza de la Serie Como x 0 ú, es una Serie de Términos cualesquiera. Estudiemos la convergencia absoluta. Aplicando el Criterio de D' Alembert a la serie : i) Si x = 0 Obtenemos la serie, que es una serie convergente, œ n 0 ù y CONVERGE ii) Si x 0 Estudiemos la Convergencia absoluta aplicando el criterio del cociente ( D'Alembert ) œ x 0 ú Y La serie es Absolutamente Convergente Y La serie es CONVERGENTE. Por tanto, es CONVERGENTE œ x 0 ú 12. Estudiar según los valores de a 0 ú, a > 0 el carácter de la Serie Se trata de una Serie de términos positivos œ a > 0, apliquemos el criterio de convergencia del cociente ( D'Alembert) Tema : numéricas. Problemas 10
11 [ Mira aquí : ( 2n + 2 )! = ( 2n+2) ( 2n+1) (2n)! ; (n!) 2 = (n!) A (n!) ] Si aplicamos la conclusión del criterio : si < 1 Y a < 4 Y La Serie Converge si si > 1 Y a > 4 Y La Serie Diverge = 1 Y a = 4 Y DUDA Resolvamos la duda sustituyendo a = 4 en la Serie Original Apliquemos el criterio de Raabe aprovechando el último cociente del criterio de D'Alembert Y La serie diverge. Resumiendo, La Serie : Tema : numéricas. Problemas 11
12 Y Converge si 0 < a < 4 Y Diverge si a $ 4 [ Pregunta : De dónde hemos obtenido 4n 2 + 8n + 4?] 13. Estudiar el carácter de la Serie Se trata de una Serie Alternada, optemos por estudiar la convergencia absoluta. Sea pues la serie de términos positivos :. Apliquemos el criterio de la raíz ( Cauchy ): Dividiendo por "n" numerador y denominador Y La serie es CONVERGENTE es ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE Y es CONVERGENTE [ Recordemos que toda serie absolutamente Convergente, es Convergente ] 14. Estudiar según los valores de x 0 ú la naturaleza de la Serie Si x 0 ú, es una Serie de Términos cualesquiera. Estudiemos la convergencia absoluta. i) Si x = -1. Sustituyendo queda la Serie nula que es una Serie convergente, tal como hemos visto. ii) Si x -1 Tema : numéricas. Problemas 12
13 Apliquemos el criterio del COCIENTE Aplicando las conclusiones de convergencia del criterio tenemos : Y Si < 1 Y * x + 1 * < 3 Y -3 < x+1 < 3 Y -4 < x < 2 Y La Serie Converge Y Si = 1 Y * x + 1 * = 3 Y DUDA Y Si > 1 Y La serie diverge Estudiemos las DUDAS: 6 Si x = -4 sustituyendo en la serie obtenemos : Serie alternada que es fácil comprobar que converge (Criterio de Leibniz, típico además!) [ Mira : (-3) n = (-1) n A 3 n ] 6 Si x = 2 Operando de igual forma : Serie de términos positivos (Serie armónica), divergente ( Criterio de Pringsheim " = 1 ) Resumiendo, la serie < Es absolutamente convergente y, por tanto, CONVERGENTE si -4# x < 2 < Es absolutamente divergente y, por tanto, DIVERGENTE si x < 4 ó x $ 2 [ No olvidemos que la divergencia absoluta (estudiada mediante criterio del cociente) implica divergencia ] Tema : numéricas. Problemas 13
14 15. Estudiar el carácter de la Serie Se trata de una Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de la Raíz ( Cauchy ) : Separando astutamente los límites : Y La Serie CONVERGE 16. Estudiar el carácter de la Serie Se trata de una Serie de términos positivos. Antes de decidir qué criterio aplicar, una reflexión interna quedaría indecisa ante la estructura de a n, un poco exponencial, un poco polinómica... Sin embargo, hay un bloque dominante y ese es y, por ese camino lo vamos a intentar por comparación por paso al límite. Comparemos con serie Geométrica Convergente pues Tema : numéricas. Problemas 14
15 Sea, pues, Como la serie es convergente, aplicando el criterio de comparación Y la Serie Converge. Bueno, Tampoco era tan complicada! [ Todos los límites de la fracción resultante al dividir por 3 n y 5 n dan cero mediante la técnica de Stolz explicada en el tema de Sucesiones ] 17. Estudiar el carácter de la Serie Intentemos, en primer lugar la convergencia absoluta Aplicando el criterio de Pringsheim : Sea " 0 ú / Y La Serie Diverge en valor absoluto Y La serie alternada no podemos afirmar nada. Apliquemos ahora directamente el criterio de Leibniz a la serie alternada Tema : numéricas. Problemas 15
16 i)? ii) es monótona creciente? Y la Serie Converge 18. Estudiar el carácter de la Serie Al llevar expresiones trigonométricas en su término general, cualquier criterio que apliquemos nos va a llevar a un límite de difícil cálculo. Intentaremos el criterio de comparación, pues las funciones trigonométricas se suelen acotar con cierta facilidad. Utilizando el Criterio de Comparación [ Pues 1 + sen 2 n $ 1 œ n ] Utilizando el Criterio de Pringsheim " = 2 Y La serie CONVERGE Y CONVERGE Tema : numéricas. Problemas 16
17 19. Estudiar el carácter de la Serie según valores de " 0 ú Utilizando el Criterio de Pringsheim (Serie de términos positivos) Y p = " - 3 Si " - 3 > 1 Y la Serie Converge Y " > 4 Si " - 3 # 1 Y la Serie Diverge Y " # 4 Si " > 4 Y Serie Convergente Si " # 4 Y Serie Divergente [ Fácil y sencillo!!. Pringsheim es muy práctico en las expresiones polinómicas ] 20. Estudiar el carácter y la suma de la Serie Como se trata de una Serie Geométrica TÉRMINOS 1, Serie Geométrica Y Como < 1 Y La serie Converge SUMA a 1 = 1 Y Y 21. Estudiar el carácter y la suma de la Serie Tema : numéricas. Problemas 17
18 [ Observa que hemos separado la Serie como suma de dos ] CARÁCTER a) Serie Geométrica Y La serie Converge b) Serie Geométrica Y La serie Converge Y La serie es Convergente SUMA a) b) S = S a + S b = Y [ ha sido buena idea separar la Serie en dos auxiliares geométricas ] 22. Estudiar el carácter y la suma de la Serie Tema : numéricas. Problemas 18
19 Preparemos un poco el término general operando sobre el [ (-1) 2n = [(-1) 2 ] n = 1 n = 1 ]: se trata de una Serie de Geométrica TÉRMINOS CARÁCTER Serie Geométrica Y La serie Converge SUMA Y 23. Estudiar el carácter y la suma de la Serie [ Observa que hemos separado la Serie como suma de dos ] CARÁCTER Tema : numéricas. Problemas 19
20 a) Serie Geométrica Y La serie Converge b) Serie Geométrica Y La serie Converge Y La serie es Convergente al ser Suma de Convergentes. SUMA Sumando ambas como Geométricas. a) b) S = S a + S b = Y 24. Estudiar el carácter y la suma de la Serie Y Se trata de una Serie Geométrica. TÉRMINOS Serie Geométrica Y Como < 1 Y < 1 Y La serie Converge Tema : numéricas. Problemas 20
21 SUMA a 1 = Y Y 25. Estudiar el carácter y la suma de la Serie ] CARÁCTER [ Aplicando el criterio de Pringsheim, a n es un COCIENTE DE POLINOMIOS La Serie es CONVERGENTE SUMA. Aplicaremos la técnica de descomposición de a n, en este caso al ser un cociente de polinomios, efectuaremos una descomposición en suma de fracciones simples. Raíces del denominador : n 3 + n 2-2n = 0 Y Propongamos Tema : numéricas. Problemas 21
22 Como era, el primer valor que damos a n es n = 2 Tema : numéricas. Problemas 22
23 < n = 2 6 < n = 3 6 < n = 4 6 Observamos que los términos cuyo denominador es el mismo en los tres sumandos, se van cancelando, ya que los numeradores suman cero. < n = 5 6 < n = 6 6 [ Ojo! Puede ser una buena idea para sumar, cuando se descompone a n en fracciones simples ] AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA < n = n-2 6 < n = n-1 6 < n = n 6 Sumando ))))))))))))))))))))))) Tomando límites : [ Un poco " durilla " para ser la primera serie que sumamos mediante esta técnica ] Tema : numéricas. Problemas 23
24 26. Estudiar el carácter y, en caso de ser convergente, obtener la suma de la Serie CARÁCTER [ Aplicando el criterio de Pringsheim ] Bueno, sí, hemos cambiado " por p, pero no importa, enriquecemos un poco nuestra operativa! La Serie es CONVERGENTE SUMA A primera vista, la estructura de a n no nos permite identificar la suma de esta serie con ninguno de los tipos que conocemos. No obstante, por eliminación de las demás técnicas, vamos a tratar de hacer una descomposición en factores. Para ello, vamos a trabajar un poco sobre el término General. Hemos llegado, pues, a una serie telescópica Asignando valores a n Tema : numéricas. Problemas 24
25 [ Observa que los términos con el mismo denominador se van cancelando entre sí al efectuar la suma pues tienen signo contrario ] 27. Estudiar el carácter y la suma de la Serie CARÁCTER [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ] La Serie es CONVERGENTE SUMA Mediante descomposición de a n en suma de fracciones simples : Raíces del denominador Y n 3 + 5n 2 + 6n = 0 Y 4 Tema : numéricas. Problemas 25
26 Operando e igualando numeradores, pues el denominador es el mismo < < < < < < AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA Los términos con el mismo denominador en los tres sumandos se van cancelando al sumar cero sus numeradores. [ Fíjate que hemos dejado los valores de A, B, C en el numerador sin operar la fracción resultante, para que se "vean" mejor los términos que se cancelan entre sí ] < < Sumando : Tomando límites : Y Tema : numéricas. Problemas 26
27 [ Supongo que te ha resultado más sencillo ] 28. Estudiar el carácter y la suma de la Serie CARACTER [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ] La Serie es CONVERGENTE SUMA Por descomposición. Aplicando la Suma por descomposición de a n en suma de fracciones simples : [ Mira esta nueva forma de hallar los coeficientes indeterminados ] Qué te ha parecido? Se llama método de coeficientes indeterminados (MCI) y consiste en Tema : numéricas. Problemas 27
28 igualar los coeficientes de los términos del mismo grado de cada uno de los polinomios situados a cada lado del símbolo igual. Dando valores a "n" : 29. Estudiar el carácter y la suma de la Serie CARÁCTER [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ] La Serie es CONVERGENTE SUMA Es Hipergeométrica? Tema : numéricas. Problemas 28
29 es Hipergeométrica Al ser Hipergeométrica y convergente [ También podíamos haber sumado mediante descomposición de a n en suma de fracciones simples ] 30. Estudiar el carácter y la suma de la Serie CARÁCTER: [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ] La Serie es CONVERGENTE [ Vaya sorpresa! emplear el criterio de Pringsheim en la convergencia de esta serie ] SUMA: Preparemos a n [ Aplicando las propiedades de los logaritmos ] Tema : numéricas. Problemas 29
30 Dando valores a "n" Y 31. Estudiar el carácter y la suma de la Serie CARÁCTER [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ] La Serie es CONVERGENTE SUMA por descomposición de a n en suma de fracciones simples : Tema : numéricas. Problemas 30
31 Sumando todo Tomando Y Y Observa esta " variante " en la suma S n para no especificar todos los términos ] 32. Estudiar el carácter y, en caso de ser convergente, la suma de la Serie CARÁCTER [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ] Tema : numéricas. Problemas 31
32 La Serie es CONVERGENTE SUMA propongamos una descomposición en factores : Sea pues Igualando numeradores ( pues los denominadores son iguales ) y asignando valores a "n " 6 si n = 1 6 si n = 2 6 si n = 3 6 si n = 4 AAAAAAAAAAAAAAAAA 6 si n = n-2 Tema : numéricas. Problemas 32
33 6 si n = n-1 6 si n = n Sumando y simplificando los elementos que son iguales pero con signo distinto Tomando límites : 33. Estudiar el carácter y, en caso de ser convergente, la suma de la Serie CARÁCTER [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ] La Serie es CONVERGENTE SUMA Es hipergeométrica? Tema : numéricas. Problemas 33
34 Al ser hipergeométrica y convergente 34. Estudiar el carácter y, en caso de ser convergente, la suma de la Serie CARÁCTER [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ] La Serie es CONVERGENTE SUMA Es hipergeométrica? Al ser Hipergeométrica y Convergente 35. Estudiar el carácter y, en caso de ser convergente, la suma de la Serie CARÁCTER [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ] Tema : numéricas. Problemas 34
35 La Serie es CONVERGENTE SUMA Es hipergeométrica? Al tratarse de una serie convergente su suma es : Veamos a continuación como hubiera sido la suma mediante una descomposición en factores : Igualando numeradores : Asignando valores a "n" a ambos lados de la igualdad : 6 Si n = -2 2 = 2 A Y A = 1 6 Si n = -3 2 = -B Y B = -2 6 Si n = -4 2 = 2 C Y C = 1 Por lo tanto, Así, pues, Tema : numéricas. Problemas 35
36 Obviamente, en esta serie, la suma como hipergeométrica resultaba mucho más sencilla, pero bueno, comparamos métodos y consolidamos técnicas. Todo positivo! [ 36. Estudiar el carácter y, en caso de ser convergente, la suma de la Serie 6 Antes de empezar, busquemos el término general al cual obedecen en los términos de la serie. No es difícil comprobar que: 1, 3, 5, 7,... Y 2n - 1 3, 5, 7, 9,... Y 2n + 1 5, 7, 9, 11,... Y 2n + 3 Por tanto, la serie queda: CARÁCTER [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ] Tema : numéricas. Problemas 36
37 La Serie es CONVERGENTE SUMA Ante la doble opción para obtener la Suma de la serie, optamos por... las dos. Es hipergeométrica? Como : Al tratarse de una serie convergente su suma es : Veamos a continuación como hubiera sido la suma mediante una descomposición en factores : Igualando numeradores : Asignando valores a "n" a ambos lados de la igualdad : 6 Si n = 1 = 8 A Y A = 6 Si n = - 1 = -4B Y B = 6 Si n = 1 = 8 C Y C = Tema : numéricas. Problemas 37
38 Y asignando valores a "n" : [Observa que en la suma se anulan los términos con el mismo denominador a partir de denominador igual a 5.] [Por ambos métodos hemos llegado bien a la suma. Como siempre un poco más sencillo si la Serie es Hipergeométrica, sumándola como tal ] 37. Estudiar carácter y suma de según valores de p, y, en particular obtener el carácter y la suma de CARÁCTER ( Serie de términos positivos œ p 0 ù ) Aplicando el criterio de Pringsheim ] Tema : numéricas. Problemas 38
39 Aplicando sobre " el criterio de Pringsheim : 6 Si " > 1 Y p > 1 Y La Serie Converge 6 Si " # 1 Y p # 1 Y La Serie Diverge SUMA œ p > 1 p 0 ù Comprobamos si se trata de una Serie Hipergeométrica Como Al ser convergente su suma es : En particular, para observamos que se trata de la Serie anterior para p = 3 CARÁCTER Como p = 3 > 1 Y La Serie Converge SUMA. Tomando en la expresión de suma p = 3 Y Tema : numéricas. Problemas 39
40 38. Estudiar carácter y suma de CARÁCTER ( Serie de términos positivos ) Aplicando el criterio de D'Alembert] Y La Serie Converge SUMA. Claramente, a n tiene la forma adecuada para obtener la Suma de la Serie como Aritmético-Geométrica, es decir,, apliquemos pues esta técnica Tomando límites : Tema : numéricas. Problemas 40
41 39. Estudiar carácter y suma de CARÁCTER ( Serie de términos positivos ) Aplicando el criterio de D'Alembert] Y La Serie Converge SUMA. Sumando como Serie Aritmético-Geométrica Tomando Límites : Tema : numéricas. Problemas 41
42 [ NOTA : mediante Stolz, aplicándolo dos veces ] [ Observa que al ser el polinomio del numerador de 2º grado hemos aplicado la técnica de suma de series Aritmético-Geométricas dos veces] 40. Estudiar carácter y suma de CARÁCTER ( Se trata de una Serie Alternada). Ante la doble opción que tenemos para su estudio de convergencia ( Leibniz, Convergencia Absoluta ), elegimos la convergencia absoluta. ] Mediante el Criterio del Cociente (D'Alembert) es CONVERGENTE Así es ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE Tema : numéricas. Problemas 42
43 es CONVERGENTE SUMA Sumemos por el procedimiento de la Serie Aritmético-Geométrica Aplicando límites : 41. Estudiar carácter y suma de CARÁCTER (Como a n > 0 œ n 0 ù Y Es una Serie de Términos positivos. Apliquemos el criterio de D'Alembert) Tema : numéricas. Problemas 43
44 Y La serie CONVERGE SUMA En principio, a n no se ajusta a ninguno de los modelos de suma conocidos. Preparemos el término general...: Estudiemos cada una de las obtenidas por separado : Y 3 1 Se trata de una Serie Geométrica, demos algunos términos : Y 3 2 Se trata de una Serie Aritmético-Geométrica, Apliquemos la técnica adecuada. [ Para no abusar de notación fraccionaria, llamaremos a = 5/2 ] Tema : numéricas. Problemas 44
45 [ Bonita suma!, eh? ] 42. Estudiar carácter y suma de 2n es PAR, œ n 0 ù Y (-1) 2n = 1, œ n 0 ù Y CARÁCTER es una Serie de términos positivos. Apliocando el criterio de D'Alembert : Y La Serie CONVERGE SUMA. Serie Aritmético-Geométrica. Apliquemos la técnica adecuada: Tema : numéricas. Problemas 45
46 Tomando límites : 43. Estudiar carácter y suma de CARÁCTER: La Serie dada, se puede descomponer como una resta de dos series así : Estudiemos cada una de ellas por separado : Serie de términos positivos. Por D'Alembert : Y Tema : numéricas. Problemas 46
47 La Serie CONVERGE SUMA. Apliquemos la técnica adecuada para sumar la Serie Aritmético-Geométrica Tomando límite : Serie de términos positivos. Apliquemos el criterio de Pringsheim Y La Serie CONVERGE Propongamos una descomposición del término general en SUMA de fracciones según las raíces del denominador Tema : numéricas. Problemas 47
48 Asignando valores a "n" ( Hábil e inteligentemente seleccionados ) 6 Si n = -2 1 = A Y A = 1 6 Si n = -3 1 = -B Y B = -1 Refundiendo los resultados : CARÁCTER es CONVERGENTE SUMA NOTA : La serie también es Hipergeométrica pues Tema : numéricas. Problemas 48
49 Y al ser CONVERGENTE su suma es That s all Tema : numéricas. Problemas 49
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