TEMA 3. SERIES NUMÉRICAS
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- Paula Miguélez Montes
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1 TEMA 3. SERIES NUMÉRICAS 3.1 DEFINICIÓN DE SERIE DE NÚMEROS REALES Definición: Dada una sucesión de números reales x n, se considera una nueva sucesión s n de la forma : s 1 x 1 s 2 x 1 x 2 s 3 x 1 x 2 x 3.. s k s k 1 x k Al par ordenado (x n, s n se le llama serie infinita o simplemente serie y la escribiremos como x n. - A la sucesión s n se le denomina sucesión de sumas parciales. -Alosx k términos de la sucesión.
2 - En ocasiones no empezaremos la serie por n 1, sino que será conveniente empezar por n 5, n 0,...Aún cuando por lo general los subíndices de los elementos de una serie son los números naturales. Carácter de una serie -Sis n es convergente, lim s n s, n diremos que la serie es convergente y s será la suma de la serie: x n s. -Sis n es divergente, diremos que la serie es divergente y su suma será : x n. -Sis n no tiene límite, diremos que la serie es oscilante. Nota: El carácter de una serie no se altera si se suprime un número finito de sumandos
3 3.2 SERIES CONVERGENTES. PROPIEDADES Teorema: i Si las series x n y y n convergen, entonces la serie x n y n converge y su suma será : x n y n x n y n ii Si la serie x n converge y c, entonces la serie cx n converge y su suma será : cx n c x n Teorema:(condición necesaria de convergencia) Si x n es convergente lim x n 0 n
4 3.3SERIESDETÉRMINOSNO NEGATIVOS. Definición: Se dice que x n es de términos positivos (o no negativos) si x n 0, n N. - Las series de términos negativos se tratan de forma análoga a la de terminos positivos. - Se pueden considerar y tratar como serie de términos positivos aquellas para las que x n 0, n N 0. Teorema: Una serie de términos positivos, o es convergente o divergente, no puede ser oscilante. Criterios de convergencia Definición: Dadas dos series de términos positivos x n y y n, diremos que x n es mayorante de y n,si n 0 N
5 tal que x n y n, n n 0. x n es minorante de tal que x n y n, n n 0. y n,si n 0 N Criterios de comparación Criterio de comparación de la mayorante. Sean x n y y n series de términos positivos. i Si x n es mayorante de y n y x n es convergente y n es convergente. ii Si x n es minorante de y n y es divergente y n es divergente. Comparación con paso al límite x n
6 Sean x n y y n dos series de términos positivos con lim x n y n n l 0,. i Si l 0 y l, las dos series tienen el mismo carácter, es decir, convergen o divergen simultáneamente. ii Si l 0 y y n es convergente x n es convergente. Si l 0 y x n es divergente divergente. iii Si l y es divergente. Si l y es convergente. y n es y n es divergente x n x n es convergente y n
7 Serie armónica Definición: Llamamos serie armónica generalizada de orden alaserie n 1 Teorema: (Convergencia de la serie armónica generalizada). La serie n 1 converge si 1 y diverge si Criterio de la raíz Sea x n positivos con una serie de términos lim n n xn Entonces se cumple: l 0,
8 i) Si l 1 x n es convergente. ii) Si l 1 x n es divergente. iii) Si l 1 no se sabe Criterio del cociente Sea x n una serie de términos positivos con lim n x x n Entonces se cumple: l 0, i Si l 1 x n es convergente. ii Si l 1 x n es divergente. iii Si l 1 no se sabe.
9 3.3.4 Criterio de Raabe Sea x n una serie de términos positivos con lim n x x n Entonces se cumple: l i Si l 1 x n es convergente. ii Si l 1 x n es divergente. iii Si l 1 no se sabe. 3.4 Series alternadas Definición: Diremos que una serie de términos reales es alternada si sus sumandos son alternativamente positivos y negativos. Es decir si x n x 0 n N. Nota 1: La forma más común de
10 presentar una serie alternada es 1 x n ó 1 n x n con x n 0. Nota 2: Laserie x n también puede considerarse alternada si x n x 0, n n 0. Criterio de Leibnitz Sea 1 x n una serie alternada. Si la sucesión de términos positivos x n verifica: i lim x n 0 n ii x x n n (monótona decreciente). Entonces la serie alternada es convergente. Nota1: Observar que las condiciones para aplicar el criterio son dos, no hay que olvidar la monotonia. Ej: n 1 5 n..
11 Esta serie es divergente aunque su término general tienda a cero. Falla la monotonía. Nota 2: El criterio de Leibnitz es una condicion suficiente pero no es necesaria. Ej: n n 2 Esta serie es convergente, aunque no sea monótona. 3.5 SERIES DE TÉRMINOS ARBITRARIOS.CONVERGENCIA ABSOLUTA Definición: Una serie de términos arbitrarios, es aquella que no es necesariamente ni de términos positivos ni alternada. Definición: Diremos que una serie x n es absolutamente convergente si x n
12 es convergente. Teorema: Si una serie x n es absolutamente convergente, entonces es convergente. Nota: El teorema anterior es una estrategia a seguir cuando intentamos estudiar el carácter de una serie de términos arbitrarios. Estudiamos previamente x n que es de términos positivos y que por tanto tenemos los criterios para deducir su carácter. Definición: Una serie es condicionalmente convergente cuando es convergente pero no absolutamente convergente. 1. Criterio de Dirichlet. La serie x n y n es convergente si se cumple:
13 de i La sucesión de sumas parciales x n está acotada. ii) y n es una sucesión monótona decreciente con lim y n 0 n 2. Criterio de Abel. La serie x n y n esconvergente si se cumple: ila serie x n es convergente. ii y n es una sucesión monótona y acotada. 3.6 SUMA DE SERIES Series aritmético -geométricas Son delaforma:
14 Pnr n n0 Donde Pn es un polinomio de grado mayor o igual que 1 y r es la razón. Será convergente cuando r 1. La suma se obtiene de forma similar a las geométricas Series hipergeométricas Sonlaquecumplen x x n an an b c donde a, b, c, a 0. Son convergentes cuando c b a. Su suma vale S x 1 c c a b Series cuyo término general es Pn de la forma n k!. Se hace la descomposición en fracciones simples del término general (en p 1) y
15 entonces a partir de la fórmula 1 n! 1 1 1! n0 se suman todas las series Series telescópicas. 1 2! 1 3!... 1 n!.. e La serie x n es telescópica si su n0 término general se puede poner de la forma. x n y n y donde y n es otra sucesión. La serie será convergente cuando En este caso n0 lim y n l n x n x 1 l Series de Stirling Son aquellas cuyo término general es el cociente de dos polinomios de la forma:
16 x n Pn Qn donde Pn es un polinomio de grado p y Qn es un polinomio de grado m p 2. x n Pn n b 1 n b 1 b 2...n b 1 b m donde b 1, b 2, b 3,..., b m Z. Se hace la descomposición en fracciones simples y al identificar coeficientes llegamos a que: a 0 a 1...a m 0. Una vez hecho esto se suman las series de las fracciones.
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