7. SUCESIONES Y SERIES.

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1 7. SUCESIONES Y SERIES. En este tema vamos a tratar el concepto de sucesión numérica y su aplicación a las series, es decir, sumas innitas. Concluiremos viendo las series de Taylor de funciones como método de aproximación y de sumación de algunas sucesiones. 7.. Sucesiones numéricas. Denición 7.. Una sucesión de números reales es una aplicación φ : N R : n φ(n) = a n. La expresión a n es el llamado término general de la sucesión. Es decir, recorriendo N tenemos el conjunto ordenado {a, a 2, a 3,, a n, } (pudiendo a veces empezar en n = 0 o en cualquier número natural). Para determinar una sucesión basta con conocer el término general a n, por lo que no usaremos la notación φ, sino que llamaremos sucesión a la imagen de la aplicación y la representaremos por (a n ) n N, (a n ) n, (a n ) n o simplemente (a n ). Una sucesión se puede denir, esencialmente, de dos formas: Mediante una o más fórmulas de su término general: (a) a n = n 2, n N. (b) a n = 0 si n es impar, a n = si n es par. Ejemplo. Por recurrencia, es decir, cada término se dene en función del anterior (o anteriores) mediante una regla recurrente y se da explícitamente el primero (o primeros) término: (a) a =, a n+ = + a 2 n. (b) a = 2, a 2 = 3, a n+ = a n + a n, n 2. 2 (a) Progresión aritmética de primer término a = a y diferencia d: donde el término general es a n = a + (n )d. {a, a + d, a + 2d,, a + (n )d, }, Departamento de Análisis Matemático Análisis Matemático (Grado en Física)

2 (b) Progresión geométrica de primer término a = a y razón r: {a, ar, ar 2,, ar n, }, donde el término general es a n = ar n. (c) La sucesión de Fibonacci: a =, a 2 =, a n+2 = a n+ + a n (n N), que tiene como término general a n = 5 [( + ) n ( 5 2 ) n ] 5. 2 Dado que el concepto de sucesión no es más que el mismo que el de función, pero con dominio en N, se puede denir el límite de forma idéntica al de función, tan sólo teniendo en cuenta que en el caso de sucesiones, sólo tiene sentido que n + Denición 7.2. Sea (a n ) una sucesión, y l R. Se dice que la sucesión (a n ) converge a l, y se denota por lím a n = l (o simplemente lím a n = l), n + si para todo ε > 0, existe un n 0 N tal que n n 0, a n l < ε. Se dice que la sucesión (a n ) diverge a + (resp. ), y se denota por lím a n = + (resp. n + lím a n = ), si para todo M > 0, existe un n 0 N tal que n n 0, a n > M (resp. n + a n < M). Se dice que la sucesión (a n ) diverge (a ) y se denota un n 0 N tal que n n 0, a n > M. lím n + a n = si para cada M > 0 existe Se dice que la sucesión (a n ) es oscilante si no es convergente ni divergente. Ejemplo. Vamos algunos ejemplos elementales. (a) La sucesión de término general a n = n es convergente a 0. (b) La sucesión de término general a n = 2n + es divergente a +. Departamento de Análisis Matemático 2 Análisis Matemático (Grado en Física)

3 (c) La sucesión de término general a n = n 2 es divergente a. (d) La sucesión de término general a n = ( ) n n es divergente a. (e) La sucesión de término general a n = ( ) n es oscilante. El álgebra de límites (tanto nitos como innitos) así como las propiedades fundamentales de las sucesiones (crecimiento, decrecimiento, acotación...) son exactamente las mismas que las vistas para funciones. Como casos particulares, incluimos las siguientes propiedades especícas de sucesiones. Propiedades 7.3. (a) Una sucesión convergente está acotada (superior e inferiormente). (b) Una sucesión monótona no puede ser oscilante. (c) Toda sucesión creciente y acotada superiormente es convergente. (d) Toda sucesión decreciente y acotada inferiormente es convergente. Para el cálculo efectivo de límites, podemos acudir al siguiente resultado. Teorema 7.4 (Teorema Fundamental del Límite). Sea f : I R R una función denida en un intervalo abierto I, sea c I y sea L R. Entonces lím f(x) = L (x n) I \ {c} con lím x n = c se cumple que lím f(x n ) = L. x c El resultado también es cierto para L = ± o si se toman límites en el innito, cuando esto sea posible. Como consecuencia directa de este resultado, para calcular el límite de una sucesión con término general φ(n) = a n, basta calcular lím φ(x). Si este último límite existe (o es innito), el límite de la x + sucesión valdrá lo mismo. Para ello, podemos utilizar todas las herramientas estudiadas para el cálculo de límites funcionales, cuando sea posible (Regla de L'Hôpital, innitésimos, Polinomios de Taylor, racionalización, logaritmos...) Sin embargo, este último método no es válido en general, pues no siempre es posible traducir, de forma simple, un término general al lenguaje de funciones. Por ejemplo, la sucesión a n = n ln n ln n! equivalente si la variable es real, a menos que utilicemos la función Gamma de Euler: φ(x) = no tiene x ln x ln Γ(x+). Departamento de Análisis Matemático 3 Análisis Matemático (Grado en Física)

4 Pero esta expresión es mucho más complicada de manejar que la original de la sucesión. Para estos casos, vamos a necesitar un nuevo criterio. Teorema 7.5 (Criterio de Stolz). Sean (a n ) n y (b n ) n dos sucesiones de números reales con (b n ) n creciente y divergente a + y sea L R {± }. Si lím a n+ a n = L, entonces, lím a n = L. b n+ b n b n Ejemplo. Vamos a calcular lím n ln n ln n!. Llamando a n = n ln n y b n = ln n!, vemos que estamos en condiciones de aplicar Stolz. Así pues, lím a n+ a n (n + ) ln(n + ) n ln n = b n+ b n ln(n + )! ln n! ( ) n + Ahora, tengamos en cuenta que n ln n Criterio de Stolz nos garantiza que lím n ln n =. ln n! Una consecuencia inmediata de este criterio es el siguiente resultado = n ln ( ) n+ n ln(n + ) +. (n + ) ln(n + ) n ln n = ln(n + ) ( = ln + n) n ln e = y que ln(n + ) +, el Corolario 7.6. Sea (a n ) n una sucesión de términos positivos de forma que existe lím L 0 ó +. Entonces existe lím n a n = L. a n a n = L, donde 7.2. Series numéricas. En esta sección vamos a tratar el concepto de serie, es decir, una suma innita Deniciones y propiedades generales. n Denición 7.7. Sea (a n ) una sucesión de números reales. Para cada n N, denimos S n := a k = k= a + + a ( n. Al par (a n ), (S n ) ) se le llama serie de término general a n y se suele representar por a n ó a + a a n +... Los términos de la sucesión (S n ) se llaman sumas parciales de la serie. Si la sucesión (S n ) es convergente, es decir, si S R tal que S = lím S n, se dirá que la serie a n es convergente, al valor S se le llama suma de la serie, y se escribirá a n = S. Si la sucesión (S n ) es divergente, es decir, si lím S n = (± ), se dirá que la serie divergente y se escribirá a n = (± ). a n es Departamento de Análisis Matemático 4 Análisis Matemático (Grado en Física)

5 Si la sucesión (S n ) es oscilante, es decir, no tiene límite, la serie también se dirá oscilante. Ejemplo. Consideremos la serie geométrica (progresión geométrica indenida) de razón a R y primer término la unidad, es decir, + a + + a n + = a n. Las sumas parciales de esta serie, son: + a + + a n = an a = an si a S n = a a +.. (n) = n si a = () Si a <, es lím S n = lím an a =. Luego la serie es convergente y su suma es S = a a. (2) Si a >, es lím S n = lím an a =. Luego la serie es divergente. (3) Si a =, es lím S n = lím n = +. Luego la serie es divergente. (4) Si a =, se tiene que lím S n, pues S 2n = y S 2n = 0. Luego la serie es oscilante. Una serie a n se dice telescópica cuando su término general puede escribirse como diferencia de dos términos consecutivos de otra sucesión, es decir, si existe (b n ) tal que a n = b n b n+. El comportamiento de la serie telescópica, viene determinado por el de la sucesión (b n ). Teorema 7.8. En las condiciones anteriores, la serie a n es convergente (repect. divergente) si y sólo si la sucesión (b n ) es convergente (respect. divergente). En caso de convergencia, donde l = lím n b n. a n = b l, Este comportamiento se puede generalizar a otros casos similares de forma análoga (por ejemplo, si a n = b n+2 b n ó a n = b n+2 2b n+ + b n ). Ejemplo. Consideremos la serie armónica, es decir, la serie de los inversos de los naturales: n. Vamos comprobar que esta serie es divergente a través de la integral de Riemann. En efecto, sea H n el n n-ésimo número armónico, es decir, H n = k, entonces k= ln n = n n x dx = k= k+ k n x dx < k= k+ k n k dx = k = H n < H n k= Departamento de Análisis Matemático 5 Análisis Matemático (Grado en Física)

6 Por tanto, como lím ln n = +, se deduce que lím H n = + y la serie armónica es divergente. El álgebra de series se reduce al álgebra de límites de las sumas parciales. Concretamente, se tiene el siguiente resultado. Teorema 7.9. Sean a n y b n dos series numéricas. (a) Si las dos series son convergentes, entonces la serie que (a n + b n ) = a n + (b) Si una serie es divergente y la otra convergente, entonces la serie b n. Teorema 7.0 (Propiedad distributiva). Sea (a n +b n ) también es convergente y se cumple (a n + b n ) es divergente. a n una serie numérica. (a) Si la serie es convergente, entonces λ R la serie (λa n ) es convergente y se verica que (λa n ) = λ a n. (b) Si la serie es divergente, entonces λ 0 la serie (λa n ) es divergente. Teorema 7. (Propiedad asociativa). En una sucesión convergente o divergente se pueden asociar términos consecutivos sin que varíe el carácter de la serie ni su suma, si es convergente. Esta propiedad no es cierta series oscilantes. Tampoco es cierta, en general, la propiedad disociativa, es decir, del hecho de que una serie obtenida asociando términos consecutivos sea convergente o divergente, no signica que la serie original también lo sea, ya que ésta puede ser oscilante. Por ejemplo, la serie de término general a n = ( ) n es oscilante, pero asociando términos consecutivos de dos en dos, es decir, tomando b = a + a 2, b 2 = a 3 + a 4,...,b n = a 2n + a 2n, la serie resultante es convergente a 0. Sin embargo, si dejamos el primer término libre y asociamos, a partir del segundo de dos en dos, es decir, tomando b = a, b 2 = a 2 + a 3, b 3 = a 4 + a 5,..., b n = a 2n 2 + a 2n, la serie resultante es convergente a. Departamento de Análisis Matemático 6 Análisis Matemático (Grado en Física)

7 Teorema 7.2. Si intercalamos (o suprimimos) en una serie un número nito de términos cuya suma sea A, la nueva serie mantiene el carácter de la original y, caso de ser convergente de suma S, la nueva suma será S + A (o S A si se suprimen términos). Teorema 7.3 (Condición necesaria de convergencia). Si a n es convergente, entonces lím a n = Series de términos positivos. Un caso especialmente relavante de series son las series de términos positivos, es decir aquellas para las que el término general es a n 0 para todo n N. Estas series tienen la ventaja de que nunca pueden oscilar. Teorema 7.4. Una serie de términos positivos es convergente o divergente a +, pero nunca oscilante. Corolario 7.5. Una serie de términos positivos es convergente si y sólo si su sucesión de sumas parciales está acotada (superiormente). Para estudiar el carácter de una serie de términos positivos, podemos acudir a uno de los siguientes criterios de convergencia, muy similares a los de integrales impropias. b n dos series de términos positi Criterios de convergencia. Teorema 7.6 (Criterio general de comparación). Sean vos. (a) Si n 0 y c > 0 tales que b n < c a n n n 0 y (b) Si n 0 y c > 0 tales que b n < c a n n n 0 y Corolario 7.7. Sean a n y a n y a n es convergente, entonces b n es divergente, entonces b n es convergente. a n es divergente. b n dos series de términos positivos. Si α, β > 0 y n 0 N tales que αa n < b n < βa n n n 0 entonces ambas series tienen el mismo carácter. Departamento de Análisis Matemático 7 Análisis Matemático (Grado en Física)

8 Teorema 7.8 (Criterio de comparación por paso al límite). Sean términos positivos tales que lím b n a n = l [0, + ]. (a) Si l (0, + ), entonces ambas series tienen el mismo carácter. (b) Si l = 0 y (c) Si l = + y a n es convergente, entonces a n es divergente, entonces b n es convergente. Teorema 7.9 (Criterio de condensación de Cauchy). Sea que la sucesión (a n ) n es decreciente. Entonces las series b n es divergente. a n y a n y b n dos series de a n una serie de términos positivos tal 2 n a 2 n tienen el mismo carácter. Ejemplo. Como aplicación del criterio anterior, vamos a estudiar el carácter de la serie armónica generalizada con α R. nα En primer lugar, si α < 0 entonces lím = + 0 y la serie debe ser divergente; y si α = 0, nα entonces lím = lím = 0 y la serie también será divergente. nα Así pues nos centraremos en el caso α > 0, por lo que la sucesión ( a n = n )n α es decreciente. Entonces 2 n 2 n a 2 n = 2 nα = 2 n( α) ( = 2 α ) n, que es una serie geométrica de razón 2 α. Por consiguiente, si α >, es 2 α < y la serie será convergente. Mientras que si 0 < α <, es 2 α > y la serie será divergente. En resumen, n α es convergente si α > divergente si α Teorema 7.20 (Criterio de Pringsheim). Sea (a) Si α > tal que lím n α a n [0, + ), la serie (b) Si α tal que lím n α a n (0, + ], la serie a n una serie de términos positivos. Entonces a n converge. a n diverge. Departamento de Análisis Matemático 8 Análisis Matemático (Grado en Física)

9 Teorema 7.2 (Criterio de la raíz). Sea Entonces (a) Si λ < la serie (c) a n una serie de términos positivos tal que λ = lím n a n. a n es convergente. Si λ = el crietrio no puede armar nada. Teorema 7.22 (Criterio del cociente). Sea lím a n+. Entonces a n (a) Si λ < la serie (c) a n es convergente. (b) Si λ > la serie a n es divergente. a n una serie de términos positivos tal que λ = Si λ = el criterio no puede armar nada. (b) Si λ > la serie a n es divergente. Teorema 7.23 (Criterio de Raabe). Sea a n una serie de términos positivos tal que se verica que ( existe lím n a ) n+ = λ. Entonces a n (a) Si λ > la serie a n es convergente. (b) Si λ < la serie a n es divergente. (c) Si λ = el criterio no puede armar nada. Teorema 7.24 (Criterio integral). Sea f : [, + ) [0, + ) una función decreciente y sea a n := f(n) + para cada n N. Entonces la serie a n es convergente si y sólo si la integral impropia f(x) dx es convergente Series de términos positivos y negativos. En esta sección veremos cómo actuar con series numéricas cuyos términos no son necesariamente positivos. En realidad, trabajaremos con series en las que haya innitos términos positivos e innitos términos negativos, pues en otro caso, el estudio puede reducirse a las series de términos positivos. En efecto, si hay una cantidad nita de términos negativos, se puede prescindir de ellos sin alterar el carácter de la serie; mientras que si hay una cantidad nita de términos positivos, multiplicando por la serie, estaríamos en el caso anterior. Departamento de Análisis Matemático 9 Análisis Matemático (Grado en Física)

10 Series alternadas Denición Se dice que la serie b n es una serie alternada cuando sus términos van alternando de signo, es decir, cuando b n b n+ < 0 n N. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que el primer término es positivo, en cuyo caso, una serie alternada será de la forma ( ) n+ a n con a n > 0 n N (si el primer término fuese negativo, bastaría con multiplicar la serie anterior por ). Teorema 7.26 (Criterio de Leibnitz). Sea (a n ) n una sucesión decreciente y convergente a 0. Entonces la serie alternada ( ) n+ a n es convergente. Además, si las suma de la serie es S y S n es la n-ésima suma parcial, se cumple que S S n < a n+. ( ) n+ Ejemplo. La serie armónica alternada es convergente. n Convergencia absoluta y condicional. Denición Sea la serie de términos positivos que a n una serie numérica. Se dice que a n es convergente. Si a n es condicionalmente convergente. a n es absolutamente convergente si a n converge, pero Proposición Toda serie absolutamente convergente es convergente. El recíproco de este resultado no es cierto en general, pues es divergente pero n convergente, es decir, la serie armónica alternada es condicionalmente convergente. Teorema 7.29 (Teorema de Dirichlet). Sea Entonces cualquier reordenación suya también es absolutamente convergente de suma S. Teorema 7.30 (Teorema de reordenación de Riemann). Sea a n una serie condicionalmente convergente. Entonces, α R {, + } existe una reordenación a n diverge, se dirá ( ) n es n a n una serie absolutamente convergente de suma S. b n de a n tal que b n = α. Departamento de Análisis Matemático 0 Análisis Matemático (Grado en Física)

11 7.3. Series de potencias Deniciones Denición 7.3. Sea (a n ) n una sucesión de números reales y a R. Se llama serie de potencias centrada en a, a la serie a n (x a) n. Se llama radio de convergencia de la serie a r = /λ donde λ = lím n a n = lím a n a n. Si λ = 0, entenderemos que r = + y viceversa. Teorema Sea a n (x a) n una serie de potencias de radio de convergencia r. Se verica: (a) La serie converge absolutamente en (a r, a + r). (b) La serie no converge en R \ [a r, a + r]. Los ejemplos x n, x n /n, x n /n 2 nos muestran que en los puntos extremos del intervalo de convergencia (a r, a + r) todos los casos de convergencia/divergencia son posibles. A partir de ahora, al intervalo donde la serie de potencias es convergente, lo llamaremos intervalo de convergencia, y puede ser (a r, a + r), [a r, a + r), (a r, a + r] ó [a r, a + r] Desarrollo en Serie de Taylor. La suma de una serie de potencias de radio no nulo dene en su intervalo de convergencia una función f(x) = a n (x a) n. Se dice entonces que la serie representa a la función f(x) en el intervalo de convergencia y que la serie es el desarrollo en serie de potencias de la función f(x) en el punto a. Se plantean pues dos problemas: Dada una serie de potencias, estudiar propiedades de la función suma. Dada una función, averiguar si se puede representar por medio de una serie de potencias. Teorema 7.33 (Derivación e integración de una serie de potencias). Una serie de potencias se puede derivar e integrar término a término dentro de su intervalo de convergencia. Es decir, si la serie a n(x a) n tiene radio de convergencia r > 0 y llamamos f(x) = a n (x a) n para cada Departamento de Análisis Matemático Análisis Matemático (Grado en Física)

12 x (a r, a + r), entonces: f (x) = cualquier x (a r, a + r). na n (x a) n y f(x)dx = a n n + (x a)n+ + C para El teorema anterior garantiza que f(x) es de clase C (tiene derivadas de todos los órdenes) en su intervalo de convergencia y se cumple que f (k) n! (x) = (n k)! a n(x a) n k para cada x (a r, a+r) n=k y k 0. En consecuencia, a n = f (n) (a), n! de manera que las sumas parciales de la serie son los correspondientes polinomios de Taylor de f en el punto x = a. Ejemplo. (a) La serie de potencias x n n! dene una función f(x) = para todo x R. Entonces se puede comprobar que f (x) = f(x), x R. Y de ahí, mediante una ecuación diferencial, probar que f(x) = e x. (b) La serie de potencias f(x) = f (x) = x n n x n n! converge en el intervalo [, ). Por otro lado su derivada x n converge en el intervalo (, ), sin embargo converge en el intervalo [, ]. f(x)dx = x n+ n(n + ) + C A la vista de la observación anterior y el Teorema de Taylor (ver Tema 4) nos preguntamos si una función de clase C en un entorno de un punto a, puede expresarse como una serie de potencias alrededor de x = a. Denición Si una función f tiene derivadas de todos los órdenes en x = a, la serie se llama serie de Taylor para f en a. f (n) (a) (x a) n n! Departamento de Análisis Matemático 2 Análisis Matemático (Grado en Física)

13 Se prueba fácilmente que si una función tiene una representación en serie de potencias en un intervalo (a r, a + r) de la forma: a n (x c) n, entonces debe ser a n = f (n) (a) para todo n 0, n! así que los términos a n coinciden con los coecientes de Taylor de f en x = a. Sin embargo, no toda serie de Taylor representa a la función de la que proviene, como muestra el siguiente ejemplo. Ejemplo. Consideremos la función f : R R dada por f(x) = e /x2 si x 0 y f(0) = 0. Es un ejercicio simple de inducción comprobar que f (n) (0) = 0, para todo n 0. Por tanto, su serie de Taylor es la función nula que es convergente en todo R. Sin embargo, sólo coincide con f exactamente en x = 0. A la vista del ejemplo anterior, introducimos la siguiente denición Denición Sea I un intervalo abierto y f : I R R. Se dice que f es analítica en un punto a I y se denotará f C ω (a), cuando f pueda expresarse en un entorno de a como una serie de potencias centrada en a, es decir: f C ω (a) r > 0 : x (a r, a + r) es f(x) = f (n) (a) (x a) n. n! Se dice que f es analítica en un abierto A R, y se denotará f C ω (A), cuando f C ω (a) para todo a A. Teorema Sea f C (a r, a + r). Entonces f C ω (a) si y sólo si lím R n (f; a)(x) = 0 para todo x (a r, a + r), donde R n (f; a) = f T n (f; a) es el resto o término complementario de Taylor de la función f en x = a. Teorema 7.37 (Condición suciente). Sea f C (a r, a + r). Si existe M > 0 tal que para todo n N y para cada x (a r, a + r), f (n) (x) M, entonces f C ω (a). Ejemplo. (a) Las funciones sen x y cos x tienen derivadas de cualquier orden en todo R y éstas (las derivadas) están acotadas por. Por tanto, los desarrollos en series de Taylor en c = 0 de estas funciones son: para todo x R. sen x = ( ) n (2n + )! x2n+, cos x = ( ) n (2n)! x2n, Departamento de Análisis Matemático 3 Análisis Matemático (Grado en Física)

14 (b) Consideremos f(x) = e x. Fijado cualquier r > 0, tenemos que 0 f (n) (x) = e x e r, para todo n 0 y todo x ( r, r). Por tanto e x = n! xn, para todo x ( r, r). Como r es arbitrario, el desarrollo es válido para cualquier x R. (c) Sea f(x) = x denida para x. Entonces f(x) = x n es convergente en el intervalo (, ). Para representar f en otro intervalo se debe desarrollar otra serie diferente. Por ejemplo, si queremos obtener la serie de potencias centrada en, se podría escribir f(x) = x = 2 (x+) = 2 Con lo cual f(x) = x = ( ) x + n = n+ (x + )n para todo x ( 3, ). (d) Calculemos la suma de la serie es (, ). Como x+ 2 (n+) 2 x n. Se prueba fácilmente que su intervalo de convergencia x = x n, derivando se obtiene que x ( x) 2 = nx n. Derivando de nuevo, se obtiene + x ( x) 3 = (n + ) 2 x n. ( x) 2 = nx n, de donde + x ( x) 3 = n 2 x n. Por tanto. Departamento de Análisis Matemático 4 Análisis Matemático (Grado en Física)