Series de números complejos

Transcripción

1 Análisis III B - Turno mañana - Series 1 Series de números complejos 1 Definiciones y propiedades Consideremos una sucesión cualquiera de números complejos (z n ) n1. Para cada n N, sabemos lo que quiere decir la suma de los n primeros términos de la n sucesión, suma que indicamos como z 1 + z z n,otambién z k.loque pretendemos ahora es contar con algo así como la suma de todos los infinitos términos de dicha sucesión, suma que indicaríamos como z 1 +z z n +...,o también z k. Dado que no es posible efectuar infinitas sumas, se hace necesario introducir una definición. Para esto, consideremos las siguientes sumas: S 1 = z 1 S 2 = z 1 + z 2. S n = z 1 + z z n. (1) Es razonable definir z k de manera que las sumas anteriores se le vayan acercando. En tal caso, estamos pidiendo que la sucesión (S n ) n1 tenga límite, lo cual no está garantizado en todo caso. Por ejemplo, si tomamos la sucesión z k =( 1) k+1, la correspondiente sucesión (S n ) n1 no lo tiene ya que que S n =1 si n es impar y S n =0si n es par. Definición: Sea (z n ) n1 C. Llamamos serie de término general z n ala sucesión (S n ) n1 definida por (1). El número S n se llama suma parcial n ésima de la serie. Decimos que la serie converge a S (o que es convergente a S) sii existe el lim S n y es igual a S, vale decir, n lim S n = lim n n n z k = S (2) Si la sucesión de sumas parciales no converge, se dice que la serie diverge (o que es divergente). Notación: El límite (2) suele representarse como z k. Por abuso de notación, también se lo utiliza para hacer referencia a la serie, converja ésta o no.

2 Análisis III B - Turno mañana - Series 2 z k (C) si con- Para especificar el carácter convergente de la serie, notamos verge y z k ( si diverge. Proposición 1. (condición necesaria de convergencia) Si la serie z k converge entonces lim z k =0. Si la serie converge a S, escribiendo el término general de la siguiente manera: z k = S k S k 1 =(S k S)+(S S k 1 ), como lim S k S = lim S k 1 S =0,seconcluyelatesis. 1 Observación: No vale la recíproca. Contraejemplo: k. Proposición 2. Sea z k = α k + iβ k con α k, β k R. Entonces: z k (C) α k (C) y Es consecuencia de la propiedad análoga para sucesiones y de la definición de serie. Ejemplo: Sobre la convergencia de a k para a C. β k (C) Si a 1, la serie diverge ya que a k no tiende a cero cuando k. Si a < 1, es posible calcular el valor de la n ésima suma parcial: S n =1+a + a a n 1 = 1 an 1 a yporlotanto, a k 1 a n = lim n 1 a = 1 1 a. Proposición 3. Si las series z k y w k convergen, entonces: a) (z k + w k )= z k + b) cz k = c z k (c C) w k Cada una es consecuencia de la propiedad análoga para sucesiones y de la definición de serie.

3 Análisis III B - Turno mañana - Series 3 Observación: Qué puede decirse sobre la convergencia de la serie de las sumas si al menos una de las dos series divergen? Si una converge y la otra diverge, la serie de las sumas también diverge. En cambio, no hay conclusión general si ambas divergen: basta ver los ejemplos dados por z k =( 1) k,w k =( 1) k+1 y z k = w k =( 1) k. Para lo que sigue, nos será útil tener en cuenta el siguiente resultado sobre series reales: Lema. Siendo a k,b k,c k R vale: a) si a k (C), c k (C) y a k b k c k k K (C) b) si a k (C) a k (C) a) Es consecuencia del criterio de comparación de sucesiones. b) Es consecuencia de a) usando que a k a k a k. ( 1) k Observación: No vale la recíproca de b). Contraejemplo:. k Definición: Una serie z k se dice absolutamente convergente sii z k (C). Notamos z k (A.C). Ejemplo: i k es absolutamente convergente. 2 El siguiente teorema es la extensión de b) dellemaparaseriesdenúmeros complejos: Teorema. Todaserieabsolutamenteconvergenteesconvergente. Sea z k = α k + iβ k con α k, β k R y z k (C). Como 0 a k z k para todo k, por a) del Lema se deduce que a k (C) ydeaquí,porb) del Lema, que a k (C). De la misma manera, resulta que b k (C). Luego, por la Proposición 2, se llega a z k (C). Definición: Si una serie es convergente pero no es absolutamente conver- b k

4 Análisis III B - Turno mañana - Series 4 gente, se dice que es condicionalmente convergente. Notamos Ejemplo: ( 1) k es condicionalmente convergente. k 2 Criterios de convergencia z k (C.C) Criterio de comparación Sean z k y w k dosseriestalesque z k w k k K para algún K. Si w k (A.C) entonces z k (A.C). Es consecuencia de a) del Lema. Ejemplo: Dado que 1+i k 1+2 k 1+ i k k 2 = 1 para todo k 1 k 2k 1 1+i k entonces 1+2 (A.C). k Criterio de D Alembert Sea una serie z k con z k =0 k K para algún K. i) Si r (0 <r<1): z k r k K z k (A.C). ii) Si z k 1 k K z k (. i) Como r (k+1) K z K k K y r k (C) para 0 <r<1, aplicando el criterio de comparación sale la tesis. ii) Siendo z k apartirdek, entoncesz k 0 y por lo tanto, la serie diverge. En muchos casos puede verificarse (y es más práctico) el siguiente criterio que es un caso particular del anterior: ρ < 1 z k (C) Si lim z k = ρ y ρ > 1 z k ( ρ =1 no se sabe

5 Análisis III B - Turno mañana - Series 5 Ejemplos: 1) Si el término general de la serie es z k = 1, aplicando el criterio en su 2k versión más particular, se deduce la convergencia de la serie. Sin embargo, para el caso: z k = 1 2 si k es par y z k k = 1 si k es impar, podremos garantizar la 3k convergencia si aplicamos el criterio en su forma más general. Cuál es el valor de cada una de las series? 2) Los siguientes ejemplos confirman que lim z k =1no brinda informaciónsobreelcomportamientodelaserie: sesabeque 1 k ( y 1 k (C) 2 pero tanto para z k = 1 k como para z k = 1 se verifica que lim k2 z k =1. Criterio de Cauchy Sea una serie z k : i) Si r (0 <r<1): k z k r k K ii) Si k z k 1 para infinitos k i) Como z k r k k K y z k (A.C). z k (. r k (C) para 0 <r<1, aplicando el criterio de comparación sale la tesis. ii) Resulta que z k 1 para infinitos k, entoncesz k 0 y por lo tanto, la serie diverge. Para este criterio también se cuenta con un caso particular: Si lim k z k = ρ y ρ < 1 z k (A.C). ρ > 1 z k ( ρ =1 no se sabe Ejemplo: z k = 1 k lim 1 k zk =0 k k (C). k Los criterios presentados hasta aquí nos permiten determinar la convergencia absoluta de una serie de términos complejos pero desde ya que también es impor-

6 Análisis III B - Turno mañana - Series 6 tante contar con otros que nos ayuden a estudiar la convergencia (condicional) de una serie. En el caso particular de series de términos reales, tenemos: Criterio de Leibniz (para series de téminos alternados). Si una sucesión (a n ) n1 R verifica: entonces la serie ( 1) k+1 a k i) a n 0 para todo n N ii) a n+1 a n para todo n N iii) lim n a n =0 converge. Para no extender tanto este apunte y dado que es un criterio específico de series reales, no lo desarrollamos aquí (se puede encontrar en general en cualquier texto recomendado en cursos de variable real). Los criterios que veremos a continuación permiten decidir si una serie compleja es convergente, sin estudiar la convergencia absoluta. Los mismos se fundamentan en el siguiente resultado: Lema. Sean (z k ) k1, (w k ) k1 C y S k = z z k. Para todo n vale: Por consiguiente, n z k w k = S n w n+1 n S k (w k+1 w k ) z k w k converge si la sucesión (S k w k+1 ) k1 converge y la serie S k (w k+1 w k ) converge. Si hacemos S 0 =0,vale n z k w k = n (S k S k 1 )w k = n n S k w k S k w k+1 + S n w n+1 yresultatodoloenunciado. Criterio de Dirichlet Sea (z k ) k1 C, (b k ) k1 R y S k = z z k Si (S k ) k1 sucesión acotada y (b k ) k1 sucesión decreciente que converge a cero entonces z k b k (C).

7 Análisis III B - Turno mañana - Series 7 La sucesión (S k b k+1 ) k1 converge a cero pues (S k ) k1 es acotada y (b k ) k1 converge a cero. Como existe M tal que S k M, setiene S k (b k+1 b k ) M b k+1 b k. Debido a las hipótesis sobre b k, la serie b k+1 b k (C) y por comparación resuta S k (b k+1 b k ) (C) con lo cual, se tiene S k (b k+1 b k )(C). Por lo tanto, por el Lema anterior, se obtiene la convergencia de z k b k. Criterio de Abel Sea (z k ) k1 C, (b k ) k1 R.. Si z k (C) y (b k ) k1 sucesión monótona y convergente entonces La convergencia de z k b k (C). z k es equivalente a la convergencia de la sucesión de sumas parciales (S k ) k1. Luego, como (b k ) k1 converge, se tiene que (S k b k+1 ) k1 converge. En particular, la sucesión de sumas parciales es acotada y procediendo como en la demostarción del criterio anterior, usando las hipótesis sobre (b k ) k1 se obtiene la convergencia de S k (b k+1 b k ). Por lo tanto, por el Lema anterior, se obtiene la convergencia de z k b k.