Inducción y recursividad

Transcripción

1 Capítulo Inducción y recursividad.. Proposiciones Definición (Proposición) Una proposición es una colección de símbolos sintácticos a la cual se le puede asignar uno y solo un valor de verdad: verdadero (V) o falso (F). Las proposiciones, generalmente se denotan con letras en mayúscula. Recordatorio Sean P y Q dos proposiciones, las conectivas lógicas conjunción ( ), disyunción ( ), implicación ( ), y doble implicación ( ) generan nuevas proposiciones definidas cuyos valores de verdad se define a continuación: P Q P Q V V V V F F F V F F F F P Q P Q V V V V F V F V V F F F P Q P Q V V V V F F F V V F F V P Q P Q V V V V F F F V F F F V Definición (Proposición abierta) Una proposición abierta es una colección de proposiciones indexadas a través de uno o varios parámetros. El conjunto más grande de posibles valores para los parámetros, se denomina universo de discurso o dominio. Ejemplo Considere la proposición abierta: P n : n + es un número par. Donde n IN note que para diferentes valores de n la proposición P n puede ser falsa o verdadera, es importante entender que P n no es una sola proposición, sino una familia de pro-

2 .. Inducción matemática. posiciones. Donde P, P, P 3, etc, son miembros particulares de dicha familia. Para este caso, se puede observar que: P V, P F, P 3 V, P 4 F. Demostración de una implicación Demostrar P Q consiste en demostrar que la proposición P Q V esto es que no es posible la combinación P V y Q F. Para demostrar P Q se puede hacer de dos posibles formas: Demostración directa: Consiste en suponer que P V y demostrar que bajo esa suposición se llega a concluir que Q V. Demostración por contradicción: Consiste en suponer verdadero la proposición: P Q y demostrar que bajo dicha suposición, se puede concluir una contradicción (Una proposición evidentemente falsa). De esta manera, de donde se partió tiene que ser falso y como P no puede ser falso, pues es la premisa o hipótesis Q tiene que serlo. Así se tiene que P Q V.. Inducción matemática. La inducción matemática es una técnica de demostración que se basa en el principio del bueno orden, dicho principio se menciona a continuación: Principio del buen orden. Todo subconjunto de los números naturales posee primer elemento. El método de inducción matemática sirve para probar que una proposición abierta es verdadera para todo n es su dominio, siempre que éste sea de la forma {p, p +, p +, p + 3,...}, donde p 0. Para el caso de que el dominio sea IN se tiene que: Método de inducción matemática. Para demostrar ( n IN)[P n ] V. Basta probar que: P 0 V. P n P n+ V. Si el dominio no es IN se deberá probar que P p V, donde p es el primer elemento del dominio, y posteriormente probar que P n P n+ V para n arbitrario. Posteriormente se concluye que ( n D)[P n ] V, donde D {p, p +, p +, p + 3,...}.

3 . Inducción y recursividad 3... Por qué funciona el método de inducción matemática? El objetivo de la técnica de inducción matemática, es poder garantizar que una proposición abierta P n es verdadera para todo n IN, n p. Por comodidad suponga que p 0. Si se tiene que P 0 V y P n P n+ V para todo n, entonces se puede hacer el siguiente análisis: P 0 V Para n 0 se tiene que: P 0 P, por lo que P V Para n se tiene que: P P, por lo que P V Para n se tiene que: P P 3, por lo que P 3 V Para n 3 se tiene que: P 3 P 4, por lo que P 4 V Para n 4 se tiene que: P 4 P 5, por lo que P 5 V.. por lo que se puede deducir que P n V para todo n IN. Una variación válida del método de inducción matemática corresponde a lo que se conoce comúnmente como método de inducción fuerte o inducción transfinita. Esta variación consiste en lo siguiente: Método de inducción fuerte Para demostrar ( n IN)[P n ] V. Basta probar que: P 0 V. P 0 P P P n P n+ V. Es importante indicar que esta variación no genera un nuevo método de inducción ni nada por el estilo, este es una generalización, más fuerte (ya que se cuenta con más premisas o bien una HI más general) que la anterior. Se usa cuando para poder demostrar P n+ se requiere más información que P n. En esta variación la hipótesis de inducción sería: HI : P 0 P P P n El por qué funciona esta variante del método de inducción matemática es muy simple: Primero se demuestra que P 0 V. Luego, si se tiene que P 0 P P P n P n+ V, entonces se tiene que:

4 4.3. Aplicación del método de inducción matemática P 0 V Para n 0 se tiene que: P 0 P, por lo que P V Para n se tiene que: P 0 P P, por lo que P V Para n se tiene que: P 0 P P P 3, por lo que P 3 V Para n 3 se tiene que: P 0 P P P 3 P 4, por lo que P 4 V Para n 4 se tiene que: P 0 P P P 3 P 4 P 5, por lo que P 5 V.. De donde se demuestra inductivamente que P n V para todo n IN..3. Aplicación del método de inducción matemática La técnica de inducción matemática se empleará para demostrar varios tipos de proposiciones de la forma ( n IN)(n p)[p n ]. Se trabajarán a groso modo 3 tipos de proposiciones: divisibilidad, igualdades y desigualdades. Seguidamente se aplicará la inducción matemática para el caso de divisibilidad, posteriormente durante el desarrollo del tema se sucesiones y series se abordarás el caso de las desigualdades e igualdades..3.. Divisibilidad. Definición 3 (divisibilidad) Sean a y b números enteros. Se dice que a es divisible por b o b divide a a y se denota por b a si y solo si: ( k Z)[a b k] Ejemplo 3 6 pues existe Z tal que pues existe 3 Z tal que pues existe 663 Z tal que Ejemplo 3 Use inducción matemática para demostrar que 3 n+ + n+ es divisible por 7, para todo n IN. Solución. Se debe probar que 7 (3 n+ + n+ ) para todo n natural n 0. Es decir, que para todo n IN, existe k Z tal que: 3 n+ + n+ 7k

5 . Inducción y recursividad 5 De este modo se tendría que: P n 7 (3 n+ + n+ ) Se debe demostrar que P 0 V. (Probar que es válido para n 0) y 7 7, por lo que se tiene que P 0 V. Se debe probar que P n P n+. Suponga válido para n (P n V ) que será la Hipótesis de Inducción. HI : 3 n+ + n+ 7k con k Z 3 n+ 7k n+ con k Z Hay que demostrar, bajo la HI, que P n+ V, esto equivale a probar que existe k Z tal que: 3 n+3 + n+3 7 k Demostración 3 n+3 + n n+ + n+ HI 3 (7k n+ ) + n+ 9 7k 9 n+ + n+ 9 7k (9 ) n+ 9 7k 7 n+ 7(9 k n+ ) 7 k Y como k Z se tiene que k Z. De donde se concluye que P n P n+. Finalmente, por el principio de inducción se tiene que, 3 n+ + n+ es divisible por 7, para todo n IN Ejemplo 4 Utilice el principio de inducción matemática, para demostrar que 7 n + 3 n es divisible por 8 para todo n IN. Solución. Se debe demostrar que 8 (7 n + 3 n ), para todo n IN. Esto es, que para todo n natural, existe un k Z tal que: Defina P n 8 (7 n + 3 n ) 7 n + 3 n 8k

6 6.3. Aplicación del método de inducción matemática Se debe probar que la proposición P 0 V, P 0 8 ( ) 8 0 V Ahora de debe probar que P n P n+. Suponga válido P n, que será la Hipótesis de Inducción: HI : 7 n + 3 n 8k con k Z 3 n 8k 7 n + con k Z Se debe probar, bajo la HI, que la proposición P n+ tiene que ser válida. Esto equivale probar que para todo n IN existe un k Z para la cual se cumple que: 7 n+ + 3 n+ 8 k Demostración: 7 n+ + 3 n+ 7 7 n n HI 7 7 n + 3 (8k 7 n + ) 7 7 n k 3 7 n k n k 4(7 n + ) ( ) Sin embargo, se debe notar que para cualquier n IN se tiene que 7 n + es par, pues 7 n siempre será impar (También se puede demostrar por inducción, sin embargo, dicho detalle se presenta evidente). De este modo, existe p Z tal que 7 n + p pues es par. Así se tiene que: Finalmente, se tiene que: ( ) 8 3 k 4 p 8(3k + p) 7 n+ + 3 n+ 8(3k + p) 8 k y como k y p son enteros, necesariamente k es entero. Lo que demuestra que P n+ V. Finalmente, por el principio de inducción matemática se tiene que 8 (7 n + 3 n ) para todo n IN. En el ejemplo 4 se requirió justificar que 7 n + es un número par, y de este modo poder decir que se puede expresar por p para algún p Z. En algunas ocasiones, dicha justificación se torna evidente y se puede justificar tal y como se realizó en el ejemplo 4. Sin embargo, en otras ocasiones, dicha justificación no será tan directa, por lo que se debe proceder por inducción.

7 . Inducción y recursividad 7 Ejercicios.. Demuestre que para todo n IN se cumple que 7 n +6n es divisible por 64.. Demuestre que para todo n IN se cumple que 0 n+ + es divisible por.

8 8.3. Aplicación del método de inducción matemática

9 Capítulo Sucesiones y Series.. Sucesiones Definición 4 (Sucesión) Una sucesión {a 0, a, a, } de números reales, es una función a : IN IR. Es decir, es una función de la forma: a : IN IR n a(n) a n En las sucesiones, la notación funcional cambia por una notación de subíndice, así: a(0) a 0 a() a a() a a(3) a 3.. a(k) a k.. Las sucesiones pueden iniciar en n 0, n, o en n p, con p IN, p. En caso de iniciar en p con p 0, la sucesión se debe denotar explícitamente por {a n } np o bien {a n } n p. En caso de que la sucesión inicie en 0, entonces es posible denotarla con {a n } n0, {a n} n IN, o bien {a n }. Ejemplo 5. Considere la sucesión de los números impares {, 3, 5, 7, 9,,...}. Es posible denotar esta sucesión como {n + }, {n }, {n 3} n, {n 5} n3, etc. 9

10 0.. Sucesiones. Considere la sucesión { n + ( ) n }, los primeros términos de esta sucesión: {,, 5, 7, 7, 3,...} { } 3. Considere la sucesión n n. Esta sucesión se puede representar por extensión por: { 4 n, 9, 6 3, 5 4, 36 5,...}. Esta sucesión puede ser redefinida de manera que pueda iniciar en n 0, para esto basta realizar un corrimiento del índice, quedando: { } (n+) n+. n0 Como se observa en el ejemplo 5, toda sucesión puede ser expresada de forma que su dominio sea IN, es decir, que inicie en n 0. Por esta razón, a partir de aquí, en este documento se supondrá que todas las sucesiones inician en 0 a menos que se indique explícitamente lo contrario.... Sucesión factorial Definición 5 La sucesión definida por {n!}, se denomina sucesión factorial, donde: n! n(n )! con 0! Ejemplo 6 3! 3! 3! 3 0! 3 6 5! 5 4! 5 4 3! Considere la sucesión {a n } n, donde a n 3(n+)! (n )!. Note que a 3 3 4!! Considere además la sucesión {b n } n definida por b n an a n+. Es posible simplificar la fórmula del enésimo término de esta nueva sucesión, de la siguiente manera: a n a n+ 3(n+)! (n )! 3(n+3)! (n+)! De esta forma se tiene que la sucesión: {b n } n 3(n + )!(n + )! (n )!3(n + 3)! n(n + ) (n + 3)(n + ) { n(n + ) (n + 3)(n + ) } n

11 . Sucesiones y Series Ejercicios. Considere la sucesión definida por {a n } a 4. Además, simplifique la expresión a n+ a n+. { } 3(n)!. Determine a y 4(n + 4)! Ejemplo 7 Encuentre una posible fórmula para el enésimo término de cada una de las siguientes sucesiones: a) 3, 7,, 5,... b),,, 4, 8,... c),, 6, 4, 0,... d) 3, 3 4, 4 5, 5 6,... e), 3, 9, 4 7, 8,... d),, 7, 4, 3,... 8 Solución. a) {4n } n b) d) { } n n + n e) { ( ) n } n { } n 3 n c) { } n! n d) { n } n Todas las sucesiones dadas anteriormente están expresadas en forma explícita, esto es que su n-ésimo término está en función de solo n. Existe otra forma de representar sucesiones, esta nueva forma se conocerá como recursiva o recurrente.... Sucesiones recursivas Definición 6 (Sucesión Recursiva.) Se dice que una sucesión {a n } está definida en forma recursiva, si el n ésimo término está en función de los términos anteriores. Además, se define el orden de una sucesión {a n } dada en forma recursiva como el número de términos anteriores necesarios para representar el n ésimo término. Es decir, se dice que {a n } es una sucesión recursiva de orden k, si y solo sí: a n f(a n, a n,..., a n k ) donde los términos a 0, a,..., a k son conocidos y se denominan condiciones iniciales de la sucesión.

12 .. Sucesiones Ejemplo 8 Considere la sucesión de orden definida por: { an a n + 3 a 0 Esta sucesión corresponde a: {, 5, 3, 9, 6,...}. En las sucesiones definidas por recurrencia es necesario definir condiciones iniciales que son el punto de partida para la sucesión, en caso de que el k ésimo término dependa de m términos anteriores, entonces se requieren m condiciones iniciales, a estas sucesiones se denominan sucesiones recursivas de orden m. Ejemplo 9 Considere la sucesión definida por: { an a n + a n a 0, a Esta sucesión corresponde a: {,,, 3, 5, 8, 3,, 34,...} y es conocida como la sucesión de Fibonacci. La sucesión de Fibonacci es una de las sucesiones más curiosas que se conocen, esta sucesión da la solución al famoso problema de los conejos que Fibonacci escribió en su libro Liber abaci. El problema en lenguaje actual diría: Problemas de los conejos Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, a partir de ese momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras ser fértiles engendrarán cada mes una pareja de conejos. Cuántas parejas de conejos habrá al cabo de un determinado número de meses? Ejemplo 0 Considere la sucesión {x n } definida por: x n+ x n f (x n) f (x n ) x 0 donde f es la función con criterio f(x) x + 3. Note que f (x) x por lo que la sucesión sería: x n+ x n x n + 3 x n x 0 y la sucesión dada por extensión corresponde a: {,,,,,,,...}

13 . Sucesiones y Series 3 Ejercicios 3. Para cada una de las funciones que se presentan a continuación, determine los primeros 5 términos de las sucesiones: x n+ x n f(x n) f (x n ) x 0 p a n+ a n f(a n)(a n a n ) f(a n ) f(a n ) a 0 p, a p +. f(x) x 3 x + ; p.. f(x) cos(x) x; p π. 3. f(x) ln(x) + x ; p. 4. f(x) cos(x) x ; p...3. Paso de la forma recursiva a explícita y viceversa Las sucesiones recursivas tienen el inconveniente de requerir mucha información para determinar nuevos términos. Por ejemplo, para determinar el término 8 de la sucesión de Fibonacci es necesario saber el valor de a 6 y a 7. Para saber a 7 es necesario saber el valor de a 6 y a 5, pero para saber el valor de a 5 es necesario saber a 4 y a 3 y así sucesivamente hasta llegar a las condiciones iniciales a 0 a. Por otro lado, si una sucesión está dada en forma explícita, determinar el valor de algunos de los términos de la sucesión es muy sencillo, basta asignar el valor de n que se desee y listo. Por esta razón es importante determinar un método que funcione para representar sucesiones recursivas como sucesiones explícitas. La fuerza bruta: De recursiva a explícita Ejemplo Determine una fórmula explícita para la sucesión recursiva dada por: { an+ a n + a 0 Solución. a 0 a + a ( + ) a 3 ( + + ) a 4 ( )

14 4.. Sucesiones De esta forma se tiene que a n n + n + n ( ) ( n + n + n ) ( ) ( n + n + n ) ( n+ + n + n ) ( n + n + n ) n+ De esta forma se sospecha que a n n+. Ahora se debe demostrar por inducción: Para n 0 se tiene que a 0 Ahora se debe demostrar que P n P n+, esto es: HI HQD {}}{{}}{ a n n+ a n+ n+ Demostración: Se sabe que a n+ a n +, de esta manera se tiene que: a n+ a n + HI ( n+ ) + n+ + n+ Por lo que queda demostrado que para todo n IN se cumple que a n n+. Ejemplo Determine una fórmula explícita para la sucesión recursiva dada por: { an+ 3a n + a 0 Solución. a 0 a 3 + a 3 (3 + ) a 3 3 ( )

15 . Sucesiones y Series 5 De esta forma se tiene que: a n 3 n + 3 n + 3 n n + (3 ) ( 3 n + 3 n ) 3 3 n + 3 ( 3 n + 3 n ) ( 3 n + 3 n ) ( 3 n + 3 n ) ( 3 n + 3 n ) 3 n + 3 n + 3n 5 3n Por lo que se sospecha que a n 5 3n Ahora se debe de demostrar por inducción: Para el caso de n 0 se tiene que: a Ahora se debe probar que P n P n+, esto es: HI HQD {}}{{}}{ a n 5 3n a n+ 5 3n+ Demostración: Se sabe que a n+ 3a n + de donde se tiene que: a n+ 3a n + HI 3 5 3n + 5 3n+ Por lo que queda demostrado que para todo n IN se cumple que a n 5 3n Ejemplo 3 Determine una fórmula explícita para la sucesión recursiva dada por: { an+ 5a n 3 a 0

16 6.. Sucesiones Solución. a 0 a 5 3 ( a 5 5 ) ( a ) ( a De esta forma se tiene que: ) a n 5 n 5n 3 5 n n 3 (5 n + 5 n ) 5 n 5 n n ( (5 ) 5 n + 5 n ) 3 ( 5 5 n + 5 n ) ( 5 n + 5 n ) 5 n 3 5n 4 3 5n 4 De donde se sospecha que ( 4 5 n + 5 n ) ( 5 n + 5 n ) a n 3 5n 4 Ahora se debe demostrar por inducción nuestras sospechas. Para el caso de n 0 se tiene que: a Se debe demostrar que P n P n+, ésto es: 4 HI HQD {}}{{}}{ a n 3 5n a n+ 3 5n+ 4 4 Demostración: Se sabe que a n+ 5a n 3 de este modo se tiene que: a n+ 5a n 3 HI 5 3 5n 3 3 5n+ 4 4

17 . Sucesiones y Series 7 Por lo que se tiene que para todo n IN se cumple que a n 3 5n 4 Ejemplo 4 Determine una fórmula explícita para la sucesión recursiva dada por: { qn+ (n + )q n q 0 Solución. q 0 q q () q 3 3 ( ) 3 3 q 4 4 ( 3 3) q 5 5 ( 3 4 4) De este modo se sospecha que: q n n! n Se debe demostrar por inducción que nuestra sospecha es cierta. Para n 0 se tiene que: q 0 0! 0 Se debe probar que P n P n+, esto es: HI HQD {}}{{}}{ q n n! n q n+ (n + )! n+ Demostración: Se sabe que q n+ (n + ) q n de donde se tiene que: q n+ (n + ) q n HI (n + ) n! n (n + )! n+ De donde queda demostrado que para todo n IN se cumple que: q n n! n

18 8.. Sucesiones Ejercicios 4.. Determine la forma explícita para las siguientes sucesiones dadas en forma recursiva. a) { an+ a n a 0 c) { cn+ nc n c { bn+ 3b n 7 b) b 0 3 d) { dn+ 7d n d 0 Fuerza Bruta: de explícita a recursiva Ejemplo 5 Determine una fórmula recursiva para la sucesión explícita dada por: a n 5n+ 7 Solución. a a 5+ 7 a 5+ 7 a a a Diferenciando los términos sucesivos se tiene que: 7a 7a a 7a a 3 7a a 4 7a a 5 7a

19 . Sucesiones y Series 9 En esta nueva sucesión es importante notar que el 7a n+ 7a n 5 (7a n 7a n ) de donde se tiene que: 7a n+ 7a n 5 (7a n 7a n ) a n+ a n 5a n 5a n a n+ 6a n 5a n Por lo que { an+ 6a n 5a n para n a 0 4 7, a 4 7 Ahora se debe demostrar dicha sospecha por inducción. Ejercicio. Sucesiones recursivas, lineales, homogéneas y de orden k Definición 7 Dada una sucesión recursiva {a n } de orden k. Se dice que {a n } es lineal homogénea si y solo si, el término n ésimo se puede expresar de la forma: A 0 a n + A a n + A a n + + A k a n k 0 donde A i son constantes para i 0,,, 3,..., k y A 0 0. Definición 8 (Polinomio característico) Dada una sucesión recurrente, lineal homogénea de orden k tal que: A 0 a n + A a n + A a n + + A k a n k+ + A k a n k 0 El polinomio formado por: P (x) A 0 x k + A x k + A x k + + A k x + A k se le conoce como polinomio característico asociado a la sucesión recursiva. Y a la ecuación P (x) 0 se le llama ecuación característica donde P (x) es el polinomio característico. Los ceros del polinomio característico y bien las soluciones de la ecuación característica serán de mucha importancia para determinar la fórmula explícita de una sucesión recursiva, lineal y homogénea de orden k. Ejemplo 6 La sucesión de Fibonacci es una sucesión es una sucesión lineal, homogénea de orden. La misma se puede expresar como: { an a n a n 0 a a 0 El polinomio característico es: P (x) x x, los ceros de dicho polinomio son x + 5 y x 5

20 0.. Sucesiones Ejemplo 7 Considere la sucesión definida por: { a n 5a n 3a n + 6a n 3 6 a 0, a 0, a Esta sucesión es un sucesión recursiva, lineal, homogénea de orden 3, ya que su n ésimo término se puede escribir de la forma 6a n 5a n + 3a n 6a n 3 0. Para la cual se tiene que el polinomio característico corresponde a: P (x) 6x 3 5x + 3x 6. Cuyos ceros corresponden a x 3, x y x 3. Teorema (Fórmula explícita para una lineal homogénea de orden ) Dada una sucesión: lineal, homogénea, de orden, tal que c y c sean los ceros del polinomio característico. Entonces: Si c c, entonces la fórmula explícita de la sucesión es: a n Ac n + Bcn. Donde A y B son constantes. Si c c c, entonces la fórmula explícita de la sucesión es: a n Ac n +Bnc n. Donde A y B son constantes. Los valores de las constantes A y B se determinan haciendo uso de las condiciones iniciales de la sucesión recursiva. Teorema (Fórmula explícita para una lineal homogénea de orden 3) Dada una sucesión lineal homogénea de orden, tal que c, c y c 3 sean los ceros del polinomio característico. Entonces: Si c c c 3 c, entonces la fórmula explícita de la sucesión es: a n Ac n + Bcn + Ccn 3. Donde A, B y C son constantes. Si c c c 3, entonces la fórmula explícita de la sucesión es: a n Ac n + Bc n + Cncn. Donde A, B y C son constantes. Si c c c 3 c, entonces la fórmula explícita de la sucesión es: a n Ac n + Bnc n + Cn c n. Donde A, B y C son constantes. Los valores de las constantes A, B y C se determinan haciendo uso de las condiciones iniciales de la sucesión recursiva. Ejemplo 8 Considere la sucesión recursiva definida { an a n a n a 0, a

21 . Sucesiones y Series Esta sucesión es recursiva, lineal, homogénea de orden con polinomio característico asociado P (x) x +x+ y con ceros x y x. Así, el término n ésimo de la sucesión tendrá la forma: De los términos iniciales se tiene que: a n A( ) n + Bn( ) n a 0 A ( ) 0 + B 0 ( ) 0 a A ( ) + B ( ) De donde se tiene el sistema: { A A B De donde se tiene que A y B 3. Así, la fórmula explícita será: a n ( ) n 3n ( ) n Ejemplo 9 Considere la sucesión definida por: { a n 5a n 3a n + 6a n 3 6 a 0 3, a 5, a Esta sucesión es un sucesión recursiva, lineal, homogénea de orden 3, ya que su n ésimo término se puede escribir de la forma 6a n 5a n + 3a n 6a n 3 0. Para la cual se tiene que el polinomio característico corresponde a: P (x) 6x 3 5x + 3x 6. Cuyos ceros corresponden a x 3, x y x 3. De esta forma se sabe que su fórmula explícita tiene la forma: a n A3 n + B ( ) n + C ( 3 Ahora, de las condiciones iniciales se tiene que: a 0 A + B + C 3 a 3A + B + 3 C 5 a 3 9A + 4 B C ) n De donde se tiene el sistema A + B + C 3 3A + B + 3 C 5 9A + 4 B C Cuya solución es A, B 3, C 36 de esta manera se tiene que: ( ) n ( ) 3 n a n 3 n

22 .. Sucesiones Ejemplo 0 Considere la sucesión dada en forma explícita por: Determine su término recursivo. a n 3 + n+ 3 n n n 0 Solución. Primero que todo, note que a n 3 () n + n + 3 n n Donde se tiene que los ceros del polinomio característico es: x, x, x 3 Así, la ecuación característica será (x ) (x ) (x ) 0 x 3 5x + 8x 4 0 Así, la fórmula de la sucesión recursiva es: a n 5a n + 8a n 4a n 3 0 con las condiciones iniciales a 0 3 () a 3 () Así, la fórmula será: { an 5a n 8a n + 4a n 3 a 0 5, a, a 3 Ejemplo Considere la sucesión dada en forma explícita por: Determine su término recursivo. a n 3 n + 3 n n Solución. Primero que todo note que: a n 3 () n n () n + 3 (3) n

23 . Sucesiones y Series 3 Donde se tiene que los ceros del polinomio característico es: Así, la ecuación característica será x, x, x 3 3 (x ) (x ) (x 3) 0 x 3 5x + 7x 3 0 Así, la fórmula de la sucesión recursiva es: con las condiciones iniciales Así, la fórmula será: a n 5a n + 7a n 3a n 3 0 a a { an 5a n 7a n + 3a n 3 n a 0, a 3 0, a Monotonía de sucesiones. Definición 9 Una sucesión {a n } se dice que es: creciente, si y solo si, a n a n+ para todo n IN. decreciente, si y solo si, a n a n+ para todo n IN. Otra forma para estudiar la monotonía de una sucesión, se puede, si la sucesión lo permite, definir una función que pasa por todos los puntos de la sucesión y utilizar los conocimientos acerca de la primera derivada. Si la función es monótona entonces la sucesión también es monótona., estudie la monotonía de dicha su- Ejemplo { n Considere la sucesión definida por n + cesión: } Solución. Si se logra demostrar que para cualquier valor de n IN se cumple que a n a n+, entonces se tendría que la sucesión {a n } es creciente, en caso que

24 4.. Sucesiones se demuestre que a n a n+, se tendría que {a n } es decreciente. En cualquier otro caso, se tendría que la sucesión no es monótona. a n? an+ n n +? (n + ) n + n (n + )? (n + ) 3 n 3 + 4n? n 3 + 6n + 6n + 4n? 6n + 6n + 0? n + 6n + Note que como 0 n +6n+ es cierta para n 0, entonces se tiene que a n a n+. Por lo tanto {a n } n es siempre creciente. La otra alternativa, consiste en considerar una función f : IR + IR tal que el gráfico de la sucesión sea subconjunto del gráfico de la función, es decir, una función que cumpla que f(n) a n para todo n IN, n. Sea f definida por f(x) f(x) x x +. x x + f 4x (x + ) x (x) (x + ) f (x) x (x + ) (x + ) De donde, construyendo la tabla de signos, se establece que f(x) > 0 para todo x ]0, [ por lo que f es creciente en ]0, [ y se concluye que {a n } n es creciente. Ejemplo 3 Discutir la monotonía de las siguientes sucesiones: a) {a n } {3 + ( ) n } b) {b n } { } n + n Solución. {a n } {3 + ( ) n } Esta sucesión alterna entre y 4, por lo tanto no es monótona. { } n {b n } + n

25 . Sucesiones y Series 5 Será esta sucesión creciente?, es decir b n b n+? n.? b n bn+ n? (n + ) + n + (n + ) 4n + n? n + 4n + 0? Debe notarse que 0 es evidentemente falso, para todo n IN. Es decir, 0 es evidentemente verdadero para todo n IN, lo que conlleva a que b n b n+ para todo n IN, así {b n } es decreciente. Otra forma, considere la función f que cumple: f(n) b n para todo n IN y que está definida por: f (x) x x + Luego f (x) ( + x), y como f (x) 0, x >, entonces f es decreciente y esto implica que {b n } es decreciente. Ejemplo 4 Use inducción matemática para demostrar que la sucesión creciente. { } n! n es una sucesión n Solución. Considere la proposición P n : a n a n+. Se debe demostrar que P n V para todo n IN, n Demuestre que P V (Demostrar para el primer elemento). P : a a Demostremos que P n P n+. Considere que P n V (HI): HI : n! (n + )! n n+ HQD P n+ V, suponiendo HI, esto es que: Demostración: (n + )! (n + )! n+ n+

26 6.. Sucesiones (n + )! (n + ) n! (n + ) n+ n (n + ) (n + )! HI (n + ) (n + )! n+ n+ (n + )! n+ n! n Por lo que: (n + )! (n + )! n+ n+ Como P V y P n P n+ V, entonces por el principio de inducción matemática se tiene que P n : a n a n+ para todo n IN, n. Por lo tanto, la sucesión {a n } n es creciente...5. Sucesiones convergentes Definición 0 (Sucesión Convergente) Sea {x n } una sucesión, decimos que la sucesión {x n } es una sucesión convergente si existe un L IR tal que lím n x n L En este caso se dice que la sucesión {x n } converge a L. En caso de que no exista L IR tal que lím n x n L se dice que {x n } diverge. Ejemplo 5 { e n } Determine si la sucesión e n + 5n converge o diverge. Solución. lím n e n e n + 5n lím n e n ( e n + 5n e n ) lím n 5n + e n 0 Por lo que la sucesión converge a.

27 . Sucesiones y Series 7 Teorema 3 Sea f una función de variable real tal que: lím f (x) L x Si {a n } es una sucesión tal que f (n) a n n IN, entonces lím n a n L. La importancia de este resultado es la posibilidad de aplicar la regla de L Hôpital. Teorema 4 (del valor absoluto) Sea {a n } una sucesión de números reales. Si lím n a n 0, entonces lím n a n 0. Ejemplo 6 Determine si las siguientes sucesiones son convergentes o divergentes: a n n n b n ( )n n + Solución. Consideremos la función asociada f (x) para ello empleamos la regla de L Hopital: x x x. Calculamos lím x x, lím x x x lím x x x ln lím x x ln 0 Como la función posee límite 0, entonces la sucesión {a n } anterior converge a 0. ( ) ( ) n ( ) n Note que lím + lím +, por lo que se debe analizar la convergencia de la sucesión. Por el teorema 4 se tiene n n n { n } ( ) n que ( ) n lím n n 0, de donde se tiene: n ( ) ( ) n lím + x n

28 8.. Sucesiones Ejercicios 5. Determine si las sucesiones siguientes convergen o divergen { n } + 3n n 5 { n + 4 } {ln (3n + 5) ln (5n + 8)} { } ( ) n+ n { sen } {( ) n 3 n n + 7 n } n + Se debe tener cuidado, ya que el recíproco del teorema 3 no es cierto en general, se considerará un ejemplo en el cual se muestre este detalle. Ejemplo 7 Considere los siguientes límites. Los primeros dos sobre IR y el tercero sobre IN. lím x x 0 ( ) lím + sen (πx). Éste límite no existe pues sen (πx) oscila entre y x x cuando x tiende a infinito. ( ) lím + sen (πn). Observe que sen (πn) 0 n IN, por lo que n n ( ) lím + sen (πn) 0. n n Así la sucesión a n + sen (πn) converge a 0 a pesar que la función f (x) n + sen (πx) no converja. x

29 . Sucesiones y Series Figura.: Recíproco del teorema 3 Teorema 5 (del encaje para sucesiones) Si a partir de un N se tiene que a n b n c n para todo n N y lím c n L entonces lím b n L. n n Ejemplo 8 Estudie la convergencia de la siguiente sucesión { } sen (n) 3 n. + lím a n n Solución. Se tiene que sen (n) n IN, así: Luego lím n 3 n + lím n sen (n) 3 n + 3 n + 3 n + 3 n 0, por el teorema anterior se tendría que: + sen (n) lím n 3 n + 0 y por lo que la sucesión anterior converge a 0. Teorema 6 Si {a n } es una sucesión y lím n a n+ a n L < entonces lím n a n 0

30 30.. Sucesiones Ejemplo 9 Dada la sucesión c n n!, tenemos que: nn lím c n+ c n lím n n c n+ c n ( n + lím n n lím n ) n ( (n + )! (n + ) n+ n! n n lím n lím n (n + ) n!n n n+ lím n! (n + ) ( + n) n ) e < Así lím n c n e y como e < entonces la sucesión converge a 0. n ( n ) n n Sucesiones acotadas Definición Se dice que una sucesión {a n } es acotada inferiormente si existe una constante real K tal que K a n para todo n IN. Se dice que una sucesión {a n } es acotada superiormente si existe una constante real K tal que a n K para todo n IN. Si una sucesión es acotada inferiormente y superiormente se dice que es acotada. Teorema 7 Si una sucesión es decreciente y acotadas inferiormente, entonces es convergente. Si una sucesión es creciente y acotada superiormente, entonces es convergente. Ejercicios. Hallar el n ésimo término de la sucesión dada por: a n f (n ) (0) donde f (x) e x 3 y determinar si es convergente dicha sucesión.. Determine si las siguientes sucesiones convergen o no.. a n + ( )n n 4. a n np e n p > 0. b n ln n n 3. c n (n )! 5. b n n! ( + n) k n 6. c n n sen ( ) n

31 . Sucesiones y Series 3.. Series Definición Dada una sucesión {a n }, se define la serie a n como la suma de todos los términos de la sucesión {a n }. Es decir: a n a + a + a 3 + a 4 + En caso de que la serie inicie en 0, entonces se puede denotar por a n. En cualquier otro caso, es necesario indicar el término inicial de la serie. Definición 3 Dada una serie a n, se define su k ésima suma parcial, y se denota S k como: S k k a n a + a + a a k En caso de que la serie inicie en p, entonces S k k+p np a n a p + a p+ + a p+ + + a p+k Se define además, la sucesión de k ésimas sumas parciales como {S k } k. Al igual que se hizo en sucesiones, las series se pueden redefinir de forma que den inicio en p 0, p o bien en el valor que más convenga. Así: a k kp a p+k k k0 a p+k Por esta razón, a partir de este punto, los resultados se estudiarán para series que inicien en uno. Sin embargo, los resultados que se estudiarán podrán ser aplicados a series que dan inicios en números naturales distintos a la unidad aplicando una traslación conveniente.... Convergencia y divergencias de series Definición 4 Dada una serie a n, si la sucesión de las k ésimas sumas parciales converge, entonces se dice que la serie es convergente. En caso contrario se dice que la serie es divergente.

32 3.. Series Si la sucesión de las k ésimas sumas parciales de una serie converge a S, entonces la serie converge a S y se escribe: a n lím k k a n S Ejemplo 30 Considere la serie. Use inducción para demostrar que: 3n S k k 3 n 3 k Es la serie convergente? de serlo cuál es su valor de convergencia? Solución. Aplicando inducción sobre k. Se debe demostrar que para todo k IN, k se cumple que: k 3 n 3 k Para k se tiene que: Se debe probar que P k P k+, esto es: Demostración: k+ 3 n HQD HI {}}{{}}{ k 3 n k+ 3 k 3 n 3 k+ 3 n }{{ 3 k } HI k 3 n k 3 n + 3 k+ ( 3 ) k + 3 k+ 3 3 k+ + 3 k+ 3 k+ + 3 k+

33 . Sucesiones y Series 33 k+ 3 n 3 k+ Por el principio de inducción matemática se tiene que k 3 n, k IN 3k Lo anterior demostró que S k 3 k, k IN converge, basta probar si la sucesión de las k ésimas sumas parciales converge, esto es, se debe analizar si la sucesión { } 3n 3 k k converge. Para analizar si la serie lím ( 3 ) k k de donde se tiene que la serie converge y lo hace a. 3 n Ejemplo 3 Considere la serie k k. Use inducción matemática para demostrar que: n k k Determine si la serie converge o diverge. n (n + ) Solución. Se aplicará inducción sobre n, para n. Para n se tiene que: k k ( + ) Ahora se debe probar que P n P n+, esto es: HI {}}{{}}{ n n+ n (n + ) (n + ) (n + ) k k k k HQD

34 34.. Series Demostración: n+ k } {{ + + n } + (n + ) n k k k Por lo tanto se tiene que: HI n k + (n + ) k n (n + ) + (n + ) (n + ) (n + ) n+ k k (n + ) (n + ) Por el principio de inducción matemática se tiene que: n k k n (n + ) para n. De esta manera se ha demostrado que la sucesión de las n ésimas sumas parciales está dada por {S n } n donde S n n (n + ) Finalmente, se puede observar que S n cuando n, de donde se concluye que la serie k k es divergente. Ejemplo 3 Considere la serie dada por k0 rk, donde r es una constante real distinta de cero y uno. Deduzca una fórmula para la n ésimas suma parcial. Demuéstrela por inducción. Y determine bajo que condiciones se tiene la convergencia de la serie. Solución. Se desea determinar una fórmula para S n, donde n S n r k + r + r + r r n k0

35 . Sucesiones y Series 35 Así, se tiene que: n S n r k + r + r + r r n k0 por lo que: ( r) ( + r + r + r r n ) ( r + r + r + r r n ) r ( + r + r + r r n ) ( r + r + r + r r n ) r r r 3 r 4 r n r n rn r k0 r n S n r k rn r Ahora debemos probarla por inducción sobre n, con n. Para n se tiene que: r k r 0 r r k0 Ahora se debe probar que P n P n+, esto es: Demostración: HI { }} { n k0 r k rn r HQD {}}{ n k0 r k rn+ r n r k } + r + r + r {{ r n } + r n k0 rk k0 n r k + r n k0 HI rn r + rn rn+ r Donde queda demostrado que: n k0 r k rn+ r n

36 36.. Series Por el principio de inducción matemática se tiene que n r k rn r k0 para todo n. Finalmente se debe probar, bajo que condiciones se cumple que k0 rk converge. Por definición se tiene que: k0 r k r n converge lím n r existe Aplicando propiedades de límites se tiene que r n lím lím n r r n rn Donde lím n rn existe únicamente cuando r <. Y en este caso se tiene que: r n lím n r r De donde se tiene que: k r k r siempre que r <. Y diverge en cualquier otro caso.

37 . Sucesiones y Series 37 Ejercicios 6.. Considere la serie. Demuestre que la sucesión de (k + )(k + ) k0 { } n las n ésimas sumas parciales está dada por. La serie 3n + 6 n original será convergente?. Considere la serie. Demuestre que la sucesión de las k(k + ) k { } n ésimas sumas parciales está dada por 4 n + 3. (n + )(n + ) n La serie original será convergente? 3. Use el método de inducción matemática para demostrar que la n ésima suma parcial de la serie k es igual que n (n + ) ( ) k k para todo n. Use este hecho para demostrar que la serie converge. 4. Considere la siguiente serie: a) Demuestre, usando inducción n (n + )! n k k (k + )! (k + )!. b) Determine si la serie dada converge o diverge. En caso de convergencia determine su suma. 5. Realice lo siguiente: a) Demuestre, utilizando inducción matematica,la siguiente igualdad. n k k k 3 n + 3 n () k b) Utilice el resultado () para determinar si la serie k es k convergente o divergente, en cada caso de convergir indique a que valor converge.

38 38.. Series Ejemplo 33 Considere la serie como sigue: i i i. Demuestre que la serie converge. Para esto proceda Use inducción matemática para demostrar que S k 7 k + 3 k. Use este hecho para concluir que {S k } es acotada superiormente por 7. Pruebe que {S k } es una sucesión creciente. Concluya que la serie es convergente usando el resultado del teorema 7. Solución. Se debe probar que: S k k i Usando inducción sobre k se tiene: para k se tiene que: i i i 7 k + 3 k para todo k. i i Ahora se debe demostrar que P k P k+, que es lo mismo a: i i HQD HI {}}{{}}{ k i i 7 k + 3 k+ i k i 7 (k + ) + 3 k+ Demostración: k+ i i i k }{{ k + } k i k i i i i (k + ) i + k+ HI 7 k + 3 k + 7 ( 4k + 6 k+ 7 k + 5 k+ 7 (k + ) + 3 k+ (k + ) k+ (k + ) k+ (k + ) k+ )

39 . Sucesiones y Series 39 De donde se deduce que: k+ i i i 7 (k + ) + 3 k+ Por el principio de inducción se tiene que: S k k i i i 7 k + 3 k para todo k. Note además que 7 k + 3 k 7 k + 3 k 0 (k + 3) 0 k 3 k 3 Lo que es evidentemente cierto, por lo que se tiene que {S k } k está acotada superiormente por 7. Ahora se demostrará que {S k } k es creciente. Por definición basta demostrar S k S k+ para todo k. S k S k+ k i k i i k+ i i i i k i i i (k + ) 0 k+ 0 (k + ) k + k k i (k + ) i + k+ Esto último es evidentemente cierto, por lo que se tiene que S k S k+ para todo k. Así, se tiene que {S k } k es una sucesión creciente. Como {S k } k es una sucesión creciente y acotadas superiormente, entonces en virtud del teorema 7 se tiene que es convergente. Por lo que k i i es una serie i convergente.

40 40.. Series Ejemplo 34 Considere la serie dada por m m. Use inducción para demostrar que S k k. Qué se puede decir sobre la convergencia de la serie? Solución. Se debe probar que: S k k m m k para todo k Usando inducción sobre k se tiene que: para k se tiene que: m m Ahora se debe demostrar que P k P k+, que es lo mismo a: Demostración: m m HQD HI {}}{{}}{ k k+ k k + m m k+ m m k }{{} k m k + k m m + m k + k +? k + + k + Ahora se probará que la desigualdad anterior es verdadera:

41 . Sucesiones y Series 4 De donde se deduce que: k + k + k + k + k + k + k + k k (k + ) k k k + k k k 0, lo cual es verdadero. k+ m m k + Por el principio de inducción se tiene que: S k k m Finalmente, note que la serie diverge, pues lím k, entonces lím k S k. Ejercicios 7. m k para todo k k k y como Sk k para todo. Considere la serie dada por r. Use inducción para demostrar que r S k > k3. Qué se puede decir de la convergencia de la serie? 3 n +. Considere la serie dada por. Use inducción para demostrar que S k < 3 n(n + )n. Qué se puede decir de la convergencia (n + )n de la serie? Teorema 8 (propiedades de las series) Si np a n y np b n son dos series convergentes, p un número natural cualquiera y c es una constante real, entonces también son convergentes las series np ca n, np (a n + b n ), np (a n b n ). Además se cumple:

42 4.. Series ca n c np np (a n + b n ) np (a n b n ) np a n a n + np np np a n np b n b n Si se suprimen los primeros N primeros términos de una serie, no se destruye su convergencia o su divergencia, resultado que se extiende en el siguiente teorema. Teorema 9 (Supresión de los primeros N términos de una serie) Para cualquier entero positivo N las series a n a + a + y nn+ a n a N+ + a N+ + son ambas convergentes o ambas divergentes. Si ambas convergen, sus sumas difieren por la suma parcial S N. Ejemplo 35 Si se hace uso del resultado obtenido en el ejemplo 3, con r, se obtiene que ( ) 3 n 3, entonces utilizando el teorema anterior determine ( ) n. 3 3 n0 n3 Solución. ( ) n S + 3 n ( n n3 n3 ( ) n ( 3 n3 ) n ) n ( ) n 3 Por lo tanto tenemos que: n3 ( ) n 8 3 9

43 . Sucesiones y Series Criterio de divergencia Teorema 0 (criterio de la divergencia) Si la serie k a k converge a L IR, entonces lím k a k 0. Demostración. Suponga que k a k converge a un número real L, esto implica que {S n } donde S n n k a k también converge a L. Además se tiene que: a n S n S n lím n lím n S n ) n n lím n lím n lím n n lím a n L L 0 n n S n De donde se tiene que lím n a n 0. La contrapositiva del teorema 0 es lo que se conoce como el criterio de divergencia, el mismo se leería como sigue: Criterio de divergencia Si la sucesión {a k } no converge a cero, entonces la serie k a k diverge. Es importante aclarar que en caso de que la sucesión {a k } converja a cero, no hay garantía de la convergencia de la serie k a k. Esto es: si a k 0 cuando k, entonces la serie k a k puede converger o puede diverger. Ejemplo 36 Determine, de ser posible, utilizando el criterio anterior, cuáles de las siguientes series divergen:.. 3. n n0 n0 n n! n! n arctan (n) ( ) n ( nπ ) sen ( ) n ln n ( ) n 3n 4n Solución. Para la. y la 4. tenemos que: lím n n 0 lím 0 n n 0

44 44.. Series por lo que el criterio no se aplica y no se puede concluir nada sobre su convergencia (posteriormente se verá que una de ellas converge y la otra diverge). Para las series., 3., 5. y 9. se tiene que: lím n n 0 lím n n! n! + lím n n! ( n! + n! ) lím n ( + n! ) 0 lím arctan (n) π n 0 ( ) n 3n lím n 4n 3 0 Si n es par Si n es impar. y por el criterio de divergencia se concluye que las cuatro series divergen. Para el caso de la series dadas en 6., 7. y 8. se tiene que: ˆ lím n ( )n no existe, pues cuando n es par da y cuando es impar da. De este modo diverge, pues el límite no es cero. ( nπ ) ˆ Considere el límite lím sen, note que cuando n es par se tiene que ( n nπ ) ( nπ ) sen 0 y cuando n es impar se tiene que sen o bien ( nπ ) sen. De donde se concluye que el límite no existe. ( ) ˆ Para el caso de lím n n ln, considere la función real que cumple ( ) n que f(n) n ln para todo n IN, n. Usando L Hôpital se n demuestra que: ( ) lím x ln x x de donde se tiene que la serie diverge. Ejemplo 37

45 . Sucesiones y Series Criterio de la serie Geométrica Definición 5 (Serie Geométrica) La serie dada por: se llama serie Geométrica. Teorema La serie geométrica + r + r + + r n + r k converge a k0 r r k k0 k r k si r < y diverge si r. Demostración. La demostración del teorema corresponde al ejemplo 3. Puede consultarse allí. En el caso de que la serie inicie en p y r < se tiene que r k kp r k+p r p r k r p r rp r k0 k0 Criterio de la serie Geométrica kp r k converge a r p r si r < diverge si r. Ejemplo 38 Determine la suma de k3 4 k+ 5 k : Solución. k3 4 k+ 5 k 4 k3 como 4 5 < la serie anterior converge y: 4 k3 ( ) 4 k k 5 k 4 ( ) 4 k 5 ( ) k3 56 5

46 46.. Series Ejemplo 39 Determine, en caso de convergencia, la suma de la serie k0 ( ) k+ k 5 k+. Solución. Usando la propiedades para series convergentes dadas en el teorema 8, se tiene que: k0 ( ) k+ k 5 k+ ( ) k+ 5 k+ k0 [ ( ) k 5 5 k 5 [ ( 5 5 k0 k0 k0 k 5 k+ k 5 k ) k 5 ] ( ) ] k 5 como 5 < y 5 < ambas series convergen, así: [ ( ) k ( ) ] k k ( ) k 5 5 k k0 ( 5 ) k 5 5 por lo tanto k0 ( ) k+ k 5 k+. Ejemplo 40 Considere la serie 3n + 3 n n0 Analice la convergencia de dicha serie. En caso de converger calcule el valor de su suma. 4 n

47 . Sucesiones y Series 47 Solución. Haciendo uso del teorema 8 se tiene que: n0 3n + 3 n 4 n ( ) 3n 3n + 4n 4 n n0 n0 n0 3n 4n + 3 ( ) n + 3 n0 3 n 6 n ( ) 3 n 6 n0 Note que < y 3 6 <, entonces las series son convergentes, de este modo se tiene que: n0 ( ) n + 3 n0 ( ) 3 n Ejercicios 8.. Calcule la suma de las siguientes series: a) b) k + 6e k 3 k+ ( ) 7 n 4 c) d) [ n n+ 3n+ [ ( ) n ( ) ] n ]. Encuentre los valores de w (w 0) para que la serie geométrica w n+ sea convergente y halle su respectiva suma parcial en n3 3w n+3 términos de w. 3. Sea S a) Represente a S por medio de una serie. b) Verifique que S converge y halle el valor al cual converge.

48 48.. Series..4. Criterio de la serie telescópica Definición 6 (Serie telescópica) Decimos que una serie a n b n b n+. a n es telescópica si existe una sucesión {b n } tal que Teorema Sea a n (b n b n+ ) una serie telescópica. Entonces la serie converge si y solo si la sucesión {b n } converge y a n (b n b n+ ) b lím n b n+ Demostración. Considere la k ésima suma parcial de la serie, S k k a n k (b n b n+ ) (b b ) + (b b 3 ) + + (b k b k ) + (b k b k+ ) b b + b b 3 b b k+ + + b k b k + b k b k+ De este modo se tiene que la sucesión de las k ésimas sumas parciales {S k } corresponden a S k b b k+. Por definición, la serie a n converge, si la sucesión {S k } converge, y lo hacen al mismo valor. Así, la sucesión {S k } converge, si y solo si lím k b k+ existe. De donde se tiene que: a n lím k (b b k+ ) b lím k b k+

49 . Sucesiones y Series 49 Para el caso que la serie inicie en p se tiene que: a n np (b n b n+ ) np (b n+(p ) b n+(p )+ ) (b n+p b n+p ) b p lím Pues lím k b k+p lím k b k+. b p lím k b k+ k b k+p Criterio de la serie telescópica (b n b n ) np converge a b p lím k b k+ si lím k b k+ existe diverge si lím k b k+ existe Ejemplo 4 Considere la serie n converge calcule su suma. ln ( n ). Determine si ésta serie converge o diverge. Y si Solución. n ln ( n ) ( n ) ln n n [ln (n + ) + ln (n ) ln (n)] n [ln (n ) ln (n) + ln (n + ) ln n] n n [ ln ( ) n Luego b n+ ln, como n + se concluye que está dada por: n ln ( n ) ( n n ) ( )] n ln n + ( ) n lím ln 0 n n + converge y al ser una serie telescópica, su suma ( ) ( ) n b lím ln ln n n +

50 50.. Series Ejemplo 4 Analice la convergencia de la serie ( ) n + 3n + En caso de converger, determine el valor de su suma. Solución. Aplicando fracciones parciales a n + 3n + tenemos que: n + 3n + (n + ) (n + ) A n + + B n + (A + B) n + A + B A y B por lo tanto: y tenemos que: n + 3n + ( ) n + 3n + n + n + ( n + ) n + Luego, b n+ n+ de donde se tiene que {b n} es una sucesión convergente ya que Así, por: ( ) n + 3n + lím n n + 0 converge y al ser una serie telescópica, su suma está dada b lím n n + Ejemplo 43 Analice la convergencia de la serie ( 6 ) 9n + 4n + 7 En caso de converger, determine el valor de su suma.

51 . Sucesiones y Series 5 Solución. Aplicando fracciones parciales se tiene que: 6 9n + 4n + 7 3n + 3n + 7 notemos que los términos no son consecutivos por lo que la serie no se aprecia que sea una telescópica. 6 9n + 4n + 7 3n + 3n n + 4 3n + 7 por lo que 6 9n + 4n + 7 [( 3n + 3n + 4 ( 3n + 3n + 4 ( 3 + lím n n + 4 ) ( + ) + ) + 3n + 4 )] 3n + 7 ( 3n + 4 ) 3n + 7 ( lím n 3n + 7 ) y de aquí tenemos que 6 9n + 4n Ejemplo 44 Analice la convergencia de la serie n (n + ) (n + ) En caso de converger, determine el valor de su suma. Solución. Usando fracciones parciales se tiene que: n (n + ) (n + ) n + n + + n +

52 5.. Series n (n + ) (n + ) ( ) n + n + + n + ( n + n + + ) n + ( n n + n + + ) n + [ ( n ) ( n + n + ) ] n + [ ( )] lím n n + lím n n + [ ] 4 Ejemplo 45 Analice la convergencia de la serie (n + ) (n + ) (n + 3) En caso de converger, determine el valor de su suma. Solución. Usando fracciones parciales se tiene que: (n + ) (n + ) (n + 3) n + + n n + 3 (n + ) (n + ) (n + 3) ( 4 n + + n + + ) 3 n + 3 ( 3 n + + n + + n + + ) 3 n + 3 ( ) ( 3 n n + n + + ) 3 n + 3 ( n + ) + 3 ( n + n + ( lím n n + ) + 3 ( 3 lím n n + 3 n + 3 ) )

53 . Sucesiones y Series 53 Ejemplo 46 Analice la convergencia de la serie ( n ) + 3n + ln n + 3n En caso de converger, determine el valor de su suma. Solución. ( n ) + 3n + ln n + 3n [ ] (n + ) (n + ) ln n (n + 3) [ln (n + ) + ln (n + ) ln n ln (n + 3)] [ln n ln (n + )] + [ln (n + ) ln (n + 3)] lím n [ ] ln lím ln (n + ) n + [ln (n + ) ln (n + 3)] ln 3 lím ln n + ln 3 ln 3 n n + 3 [ ] ln 3 lím ln (n + 3) n Ejercicios 9.. Determine si las siguientes series convergen o divergen. En caso de ser convergente halle su suma. a) b) c) 4 k + 6k + 8 k 6 (4n ) (4n + 7) n [ cos π ] k cos π k + k d) e) n (n + ) (n + ) 3n n (n + ) n+ n3 3 n+

54 54.. Series..5. Criterio de la integral y p series Este criterio permite analizar la divergencia o convergencia de una serie, pero no calcula su suma. Se puede realizar una aproximación de ésta suma y medir el error de aproximación. Teorema 3 (Criterio de la integral) Si f es monótona en el intervalo [a, [ para algún a IN entonces: f(n) converge a f (x) dx converge Demostración. Por el teorema 9 se puede suponer que a. y y f(n) R f(n+) f(n) T f(n) f(n+) f(n+) R T n n+ y x n n+ x f(n) f(n+) n+ A f(x) dx n n A n+ x Figura.: Caso de una función decreciente positiva Si f es decreciente y positiva [, [, entonces en el intervalo [n, n + ] con n IN, n se cumple que: f(n + ) n+ n k f(n + ) S k+ f() k f(x)dx f(n) n k+ n+ f(x)dx f(x)dx S k k f(n) De esta forma se tiene dos análisis:

55 . Sucesiones y Series 55 ˆ De la primera parte de la desigualdad anterior y del hecho que f es positiva se tiene que: S k+ k+ De donde se tiene que si f(x)dx + f() M {}}{ f(x)dx + f() f(x)dx existe se tendría que la sucesión {S k } es creciente y acotada superiormente por M, de donde y en virtud del teorema 7 se tiene que {S k } es convergente. Por lo que la serie converge. ˆ De la segunda parte de la desigualdad anterior se tiene que: k+ De donde claramente si la integral cuando k. Y la serie diverge. f(x)dx S k f(x)dx se tiene que S k Si f es creciente y positiva, en análisis es análogo al anterior. En caso de ser f negativa, basta estudiar la serie Ejemplo 47 Determine si la serie n n ln n converge o diverge. f(n). Solución. Sea f (x) x ln x. Tenemos que f (ln x + ) (x) x ln 3. Es claro que x ln x > 0 x. Por lo que f (x) < 0 x y por lo tanto f es decreciente (y por lo tanto monótona) en [, [. Así, aplicando el criterio de la integral: así x ln dx lím x b lím b lím b b x ln x dx converge y por lo tanto x ln x dx ( ) b ln x ( ln b + ) ln n ln n ln n también.

56 56.. Series Ejemplo 48 Determine si la serie e n n0 converge o diverge. Solución. Sea f (x) e x. Tenemos que f (x) e x. Es claro que e x > x 0 x. Por lo que f (x) < 0 x y por lo tanto f es decreciente (y por lo tanto monótona) en [, [. Así, aplicando el criterio de la integral: así e x dx lím b lím b b e x dx (aplicar sust. y partes) ( ) xe x e x ( lím be b e b ( e e )) 4e b e x x converge y por lo tanto n0 b e n también. Ejemplo 49 Analice la convergencia de la serie k ln n n. Solución. Basta analizar el valor de la integral lím A A ln 3 Por lo que se tiene que la serie u ln x du x dx udu lím A k ln n n u diverge. A ln 3 3 ln x x dx Ejemplo 50 Utilice el criterio de la integral para demostrar que la serie para p >. (n + ) p diverge Solución. Se debe demostrar que (n + ) p es monótona. Sea f (x) (x + ) p f (x) p (x + ) p+

57 . Sucesiones y Series 57 donde si para x > tenemos que f es creciente si p > 0 y decreciente si p < 0. En cualquier caso f es monótona. Por lo que se puede aplicar el criterio de la integral. B (x + ) p dx lím (x + ) p dx lím B B lím B lím B Analizado el límite anterior se tiene que ( (B + ) p+ p + ( (B + ) p+ p + lím (B + B )p+ (x + ) p+ p + ) ( + )p+ p + ) p+ p + Si p + > 0 p > por lo que la integral diverge para p >. Luego, la serie diverge para p >. B Ejercicios 0.. Use el criterio de la Integral para analizar la convergencia de las siguientes series: a) b) n e 3n n n n ln 3 n c) n( + ln n) Teorema 4 (Criterio de las p series) La serie definida por n p es convergente si p > y divergente si p. Esta serie se conoce como p serie o serie de Dirichlet. Demostración. Ejercicio.