PROGRAMA DE CÁLCULO I. CURSO (w: documento de apoyo en la página web; w : se utiliza durante la explicación)

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1 PROGRAMA DE CÁLCULO I. CURSO (w: documento de apoyo en la página web; w : se utiliza durante la explicación) PRIMER CUATRIMESTRE Tema I. EL NÚMERO REAL (4 clases) 1.- Sucesivas ampliaciones del concepto de número Números naturales (w) Números enteros Números racionales. 2.- Axiomas de cuerpo Estructura de cuerpo Relaciones de orden Cuerpo ordenado Cotas y extremos Valor absoluto. 3.- Sucesiones en IQ Definición Sucesiones convergentes Sucesiones de Cauchy. 4.- Propiedades de IQ. 5.- Necesidad de ampliar IQ: los números reales (w). 6.- Propiedades de IR (w). 7.- Operaciones en IR. Tema II. ESPACIOS MÉTRICOS (3 clases) 1.- Definición y propiedades. 2.- Bolas y entornos. 3.- Puntos notables de un espacio métrico (w ). 4.- Conjuntos notables de un espacio métrico. 5.- Conjuntos abierto, cerrado, compacto, conexo (w). 6.- El espacio métrico (IR ) Distancia, abierto y cerrado Teorema de Bolzano-Weierstrass. Tema III. SUCESIONES EN IR (6 clases) 1.- Sucesiones en espacios métricos Definición Límite de una sucesión Tipos de sucesiones. Sucesiones acotadas. 2.- Propiedades de los límites (w ). 3.- Sucesiones monótonas Definición y clases Teorema Sucesiones de intervalos encajados. 4.- Operaciones con límites Suma y diferencia (w) Producto (w) Inverso (w) Logaritmo Exponencial Potencial-exponencial.

2 5.- Tipos de indeterminación. 6.- Criterios de convergencia Transformación de Toeplitz Límite de la media aritmética Límite de la media geométrica Media aritmética ponderada Criterio de Stolz. 7.- Infinitos e infinitésimos (w ) Definiciones Comparación. Orden y parte principal Órdenes de infinitud. 8.- Sucesiones equivalentes (w ). 9.- Sustitución por sucesiones equivalentes (w) Métodos de cálculo de límites Formas del número e (w ) Expresiones polinómicas Sucesiones recurrentes Método de integración Equivalencias de Stirling, trigonométricas y otras Cambio del tipo de indeterminación. Tema IV. FUNCIONES EN IR (12 clases) A. LAS FUNCIONES NUMÉRICAS. 1.- Espacio funcional. 2.- Dominio y recorrido. 3.- Extremos de una función numérica. Propiedades. 4.- Tipos de funciones. B. LÍMITE FUNCIONAL. 1.- Definición. 2.- Límites laterales. 3.- Extensión del concepto de límite a IR. 4.- Relación entre el límite funcional y el límite por sucesiones. 5.- Propiedades de los límites (w ). 6.- Operaciones con límites (w ). 7.- Tipos de indeterminación (w ). 8.- Infinitos e infinitésimos (w ). 9.- Funciones equivalentes en un punto (w ) Sustitución por funciones equivalentes (w ). C. FUNCIONES CONTINUAS. 1.- Definición. 2.- Continuidad lateral. 3.- Discontinuidades. 4.- Operaciones con funciones continuas. 5.- Continuidad de las funciones elementales. 6.- Composición de funciones continuas. 7.- Teoremas de las funciones continuas (w ). 8.- Continuidad uniforme. Teoremas.

3 D. FUNCIONES DIFERENCIABLES. 1.- Derivada y diferencial Función derivable en un punto Función diferenciable en un punto Relación entre ambos conceptos Diferencial de una función Interpretación gráfica. 2.- Relación entre continuidad y diferenciabilidad. 3.- Operaciones con funciones diferenciables. 4.- Regla de la cadena. Aplicaciones. 5.- Derivada de la función inversa. 6.- Teoremas del valor medio (w ) Teorema de Rolle Teorema de Cauchy Teorema de Lagrange Función monótona Función constante. 7.- La derivada como límite de derivadas (w ). 8.- Reglas de L Hôpital (w). 9.- Derivadas sucesivas Desarrollos de Taylor y Mc Laurin Desarrollo limitado de Taylor de orden n Desarrollo limitado de Mc Laurin de orden n Término complementario Teorema del extremo relativo Aplicaciones. Extremos de funciones Desarrollos deducidos de otros (w ). E. DIBUJO DE CURVAS (w ). 1.- Cartesianas explícitas. 2.- Cartesianas paramétricas. 3.- Polares. Tema V. INTEGRACIÓN (3 clases) 1.- Primitiva de una función Definición Condición necesaria para la existencia de primitiva (w). 2.- Integral según Riemann Sumas de Darboux. Propiedades Condición necesaria y suficiente de integrabilidad Condiciones suficientes de integrabilidad (w) Propiedades de la integral de Riemann. 3.- Teorema de la media. 4.- Primer Teorema Fundamental. Regla de Barrow. 5.- Segundo Teorema Fundamental. 6.- Integrales impropias.

4 SEGUNDO CUATRIMESTRE Tema VI. FUNCIONES VECTORIALES (12 clases) 1.- Introducción. Tipos de funciones. 2.- Espacio euclídeo Producto escalar ordinario Norma euclídea Distancia euclídea. 3.- Funciones vectoriales de variable real Límite Continuidad Diferenciabilidad. 4.- Funciones reales de variable vectorial Límite funcional. Límites direccionales (w) Continuidad Diferenciabilidad. Derivada direccional y parcial. Teoremas (w ). 5.- Funciones vectoriales de variable vectorial Límite Continuidad Diferenciabilidad. 6.- Composición de funciones Continuidad de la función compuesta Diferenciabilidad de la función compuesta Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena. 7.- Derivadas de orden superior Derivadas cruzadas Diferenciales sucesivas. 8.- Desarrollo de Taylor Expresión general Expresión matricial Interpretación geométrica en dos variables. 9.- Extremos relativos Condición necesaria de extremo Condición suficiente de extremo (w) Determinación del tipo de forma cuadrática Resumen y ejemplos (w ) Función implícita Definición Teorema de existencia Generalización Extremos condicionados Condiciones en forma explícita Condiciones en forma implícita (w) Función inversa. Tema VII. SERIES NUMÉRICAS (7 clases) 1.- Definiciones. 2.- Series aritmética y geométrica. 3.- Condición necesaria de convergencia. 4.- Propiedades de las series (w ). 5.- Criterios generales de convergencia. 6.- Series de términos positivos. Criterios de convergencia.

5 6.1.- Mayorante y minorante Serie de Riemann Comparación de series Pringsheim Raíz (Cauchy-Hadamard) (w ) Cociente (D Alembert) (w ) Raabe-Duhamel (w ) Logarítmico (w ) Condensación (Cauchy). 7.- Series de términos positivos y negativos Convergencia y divergencia absoluta e incondicional Teorema de Riemann Teoremas de Dirichlet (w) Series alternadas. Teorema de Leibnitz. 8.- Suma de series Hipergeométricas (w ) Sumables por descomposición A partir de la armónica A partir del desarrollo en serie de e x Aritmético-geométricas. Tema VIII. SUCESIONES Y SERIES FUNCIONALES (4 clases) 1.- Sucesiones funcionales Definición Convergencia simple Convergencia uniforme Sucesiones de funciones continuas (w). 2.- Series funcionales Definición Convergencia simple y uniforme Criterio de Cauchy Criterio de la mayorante Continuidad Integración Derivación. 3.- Series de potencias Teorema de Cauchy-Hadamard (w) Continuidad, derivación e integración (w) Teoremas de Abel. 4.- Desarrollo de una función en serie de potencias. Serie de Taylor. Tema IX. NÚMEROS COMPLEJOS (3 clases) 1.- Definición y operaciones básicas. 2.- Formas binómica y trigonométrica. Representación gráfica. 3.- Conjugado, opuesto e inverso. Cociente. 4.- Exponencial de un complejo. Fórmula de Euler. 5.- Potencia natural. Fórmula de Moivre. 6.- Raíz de un complejo. 7.- Logaritmo neperiano. 8.- Potencia generalizada (w ). 9.- Funciones hiperbólicas y trigonométricas en IC (w ) Teorema Fundamental del Álgebra. A Coruña, 22 de Septiembre de 2.009