Introducción al Análisis Matemático

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1 4 Hoja 1 de 5 Programa de: UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales República Argentina Carrera: Ingeniería Civil Escuela: Ingeniería Civil Departamento: Matemática Carácter: Obligatoria Código: 0004 Plan: Carga Horaria: 72 Semestre: Primero Introducción al Análisis Matemático Puntos: 3 Hs. Semanales: 4,5 Año: Primero Objetivos: Esta asignatura tiene un doble objetivo general. a. Formativo en el aspecto teórico, a través de aproximadamente a los conceptos de derivada y de integral. b. Formativo en el aspecto de la enseñanza de los métodos y técnicas de resolución de ejercicios de "carácter general", que servirán como herramienta imprescindible para la resolución posterior de problemas específicos en la asignatura de aplicación.- Programa Sintético: 1.- Números Reales 2.-Funciones y Gráficos de R en R. 3 Límites y Continuidad. 4.- Derivadas. Aplicaciones geométricas y físicas. 5.- Teoremas de Valor Medio. Formas indeterminadas 7.- Primitivas. Métodos generales de integración indefinida. 8. Introducción a las ecuaciones diferenciales. Programa Analítico: de foja 2 a foja 3. Bibliografía: de foja 4 a foja 4. Correlativas Obligatorias: Matemática del Ciclo de nivelación. Correlativas Aconsejadas: Rige: 1997 Aprobado HCD, Res.: Fecha: Modificado/Anulado/Sust. HCD Res.: Fecha: El Secretario Académico de la Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales (UNC) certifica que el programa está aprobado por el (los) número(s) y fecha(s) que anteceden. Córdoba, / /. Carece de validez sin la certificación de la Secretaría Académica:

2 Programa Analítico de Introducción al Análisis Matemático Módulo I Unidad I: Números Reales 1. Números reales. La recta real.desigualdades. Propiedades. 2. Intervalos. Entornos simétricos. 3. Cotas, extremos, máximos y mínimos de conjuntos de números reales. 4. Valor absoluto de un número real. Propiedades. 5. Punto de acumulación. Unidad II: Funciones y Gráficos. 1. Definición de función. Gráfico de una función. Igualdad de funciones. 2. Funciones usuales. 3. Álgebra de funciones. 4. Funciones polinómicas, racionales e irracionales. 5. Funciones valor absoluto, signo y parte entera. Función compuesta. 6. Funciones inyectivas, suryectivas y biyectivas. 7. Función inversa. Unidad III: Límite y Continuidad 1. Límite finito. Definición. Interpretación gráfica. Límites laterales. Algunos límites finitos. Teorema de la Unicidad del límite. Teorema de la acotación y de la conservación del signo. Teoremas de la intercalación, y de las desigualdades. Demostración del límite notable lim 0 ( sen ( x) / x) = Álgebra de límites. 3. Límite infinito. Distintos casos. 4. Indeterminación del límite: siete casos. Indeterminación de funciones algebraicas. 5. Función continua en un punto. 6. Discontinuidades. Casos y ejemplos. 7. Álgebra de funciones continuas. Continuidad de funciones algebraicas y trascendentes.

3 8. Continuidad de la función compuesta. Corolario y ejemplos. 9. Continuidad en un intervalo. Teoremas de Bolzano y del Valor Intermedio. 10. Extremos absolutos de funciones. Definición. Teorema de la acotación o de Weierstrass, y teorema de Bolzano- Weierstrass. Aplicaciones. Módulo II Unidad IV: Derivada. Aplicaciones Geométricas y Físicas. 1. Derivada de una función. Definición y ejemplos. Notaciones usuales. Derivadas laterales. Método incrementa1. Interpretación geométrica. Recta tangente. Problema fisico. Casos particulares. 2. Función derivada. Derivadas de funciones elementales. 3. Continuidad y derivabilidad de una función. 4. Derivadas de las funciones: constante, identidad, suma. Derivada logarítmica: derivada de un producto, de un cociente, de las funciones potencial, exponencial y potencial-exponencial. Derivada de la función seno, coseno, tangente y seno. Derivada de la función inversa. Derivada de la función arcoseno. 5. Aplicaciones geométricas y fisicas de la derivada. 6. Derivadas sucesivas. 7. Diferencial de una función. Definición e interpretación geométrica. Aplicaciones. Unidad V: Teoremas del Valor Medio, Formas Indeterminadas. 1. Propiedades de las funciones derivables: teoremas de Rolle, del Valor Medio y teorema del Valor Medio Generalizado. 2. Formas indeterminadas. Regla de L'Hospita1. Generalizaciones. Módulo III Unidad VI: Primitivas. Métodos Generales de Integración Indefinida. 1. Primitiva. Definición y ejemplos. Propiedades de las primitivas. 2. Métodos de integración: inmediata, por descomposición, por sustitución directa, por partes, por sustitución inversa. 3. Integración de funciones a1gebraicas racionales. 4. Integración de funciones irracional es monomias y racionales de seno y coseno.

4 Unidad VII: lntroducción a las Ecuaciones Diferenciales. 1. Ecuaciones diferenciales ordinarias. Orden. Grado. Solución. 2. Ecuación diferencial de una familia de curvas. 3. Variables separables. 4. Ecuación diferencial lineal de primer orden. 5. Aplicaciones.

5 Bibliografía Gigena, S., Joaquín, D., Azpilicueta. J., Molina. F. y Cabrera, E. Análisis Matemático l. Teorfa, práctica y aplicaciones. Ed. Universitas. Córdoba (Argentina) Rabuffetti, Hebe. Introducción al Análisis Matemático. (Cálculo 1) (2 o Edición). El Ateneo Rabuffetti, Hebe. Introducción al Análisis Matemático. (Cálculo 2). El Ateneo Bers, Lipman. Cálculo Diferencial e Integral. Interamericana. Lang, Serge. Cálculo. Addison-Wesley lberoamericana Sadosky-Guber. Elementos de Cálculo Diferencial e Integral. Edición Alsina. Haaser, Lasalle, Sullivan. Análisis Matemático. Edición Trillas. Vol. 1 y 2.