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1 Las Facultades de Ciencias Políticas y Económicas, se crean con fecha 29 de julio d... Página 1 de 11 X Jornadas ASEPUMA MATEMÁTICAS EN LA FACULTAD DE ECONÓMICAS: CASI MEDIO SIGLO DE CONTENIDOS Meri E. Calvo Martín* Ana Isabel Busto Caballero* Mª del Carmen Escribano Ródenas** * Dpto. de Economía Financiera y Contabilidad I Facultad de CC. Económicas y Empresariales Universidad Complutense de Madrid Campus de Somosaguas MADRID Tfno.: ** Dpto. Métodos Cuantitativos para la Economía Facultad de CC. Económicas y Empresariales Universidad San Pablo- CEU C/ Julián Romea, Madrid Tfno.: ext * escrod@ceu.es Resumen Las Matemáticas de primer curso de las Facultades de Ciencias Económicas y Empresariales han ido modificando sus contenidos a lo largo de la historia. Pretendemos con esta contribución, resaltar sus coincidencias fundamentales, es decir la invarianza de algunos temas, así como sus divergencias y los puntos más relevantes, en la Universidad Complutense de Madrid. Los contenidos se revisaran desde el punto de vista conceptual, pasando por los principales planes de estudio desde la creación de la Facultad en Madrid, hasta la actualidad. Palabras clave: Contenidos, Programas, Historia, Facultad de CC. Económicas, Matemáticas.

2 Las Facultades de Ciencias Políticas y Económicas, se crean con fecha 29 de julio d... Página 2 de 11 Introducción Las Facultades de Ciencias Políticas y Económicas, se crean con fecha 29 de julio de 1943, en su artículo 15, por la Ley de Ordenación de la Universidad Española. La Facultad de Ciencias Políticas y Económicas de la Universidad de Madrid se crea por orden ministerial de 7 de septiembre del mismo año. Por orden del 6 de octubre de 1943 se determinan las disciplinas que componen el primer curso de la Facultad figurando una con la denominación Complementos de Matemáticas en los dos cuatrimestres en que queda dividido el primer curso. De las consideraciones que figuran en la orden de 29 de enero de 1944 se deduce que no se llegó a poner en práctica la orden antes mencionada. En la del 29 de enero de 1944 se estructura la Facultad en dos secciones, la de Ciencias Políticas y la de Economía. En la sección de Economía figura una disciplina denominada Matemáticas para Economistas de carácter anual. (En el curso 43-44, con carácter excepcional la duración para todas las asignaturas fue de un cuatrimestre, el segundo) En el Decreto de 7 de julio de 1944 sobre Ordenación de la Facultad de Ciencias Políticas y Económicas fija tres vías de especialización correspondientes a las tres finalidades esenciales de la licenciatura de Ciencias Económicas: el puro conocimiento científico, el desempeño de cargos de carácter económico en la Administración Pública y la actividad económica privada. En el artículo 23, la licenciatura en la sección de Economía, se organiza en tres especialidades: Teoría Económica, Política económica y Hacienda Pública y Economía Privada, en el plan de estudios de este decreto figuran las disciplinas Matemáticas para economistas I, II, III en los tres primeros cuatrimestres en todas los especialidades. Por Ley de 17 de julio de 1953 sobre Ordenación de las enseñanzas Económicas y Comerciales pasa la Facultad a denominarse Facultad de Ciencias Políticas, Económicas y Comerciales (sección de Económicas y Comerciales) pasando a ser tres las especialidades Economía General, Economía de la Empresa y Seguros. En el Decreto de 11 de agosto de 1953 se establecen los planes de estudios de varias Facultades, entre ellas la de Facultad de Ciencias Políticas, Económicas y Comerciales (sección de Económicas y Comerciales), tanto en primero como en segundo curso existe una disciplina con el nombre Análisis Matemático. La modificación siguiente del plan de estudios es la correspondiente al plan 63. En este trabajo analizaremos ésta, junto con la del plan 71, para acabar con el plan actual. Se han tomado tres planes de estudios, con la suficiente distancia en el tiempo, aproximadamente 40 años. Análisis del plan 63 En el primer y segundo curso de la licenciatura se encuentra una asignatura bajo el epígrafe Análisis Matemático. Detallamos a continuación el programa de la misma correspondiente a primer curso, en las dos versiones encontradas, que corresponden a profesores diferentes. Esta circunstancia se repetirá a lo largo de los programas que vamos a estudiar de los planes siguientes.

3 Las Facultades de Ciencias Políticas y Económicas, se crean con fecha 29 de julio d... Página 3 de 11 ANÁLISIS MATEMÁTICO, PRIMER CURSO Lección 1. Campos numéricos. Lección 2. Cálculo vectorial. Lección 3. Análisis combinatorio. Lección 4. Matrices y determinantes. Lección 5. Sistemas de ecuaciones lineales. Lección 6. Coordenadas para los espacios de 1, 2, 3 y más dimensiones. Lección 7. Geometría de la recta y el plano. Lección 8. Funciones de una y varias variables. Lección 9. Continuidad y límites. Lección 10. Derivación de una variable. Lección 11. Derivadas parciales. Lección 12. Desarrollos de Taylor. Lección 13. Máximos y mínimos en funciones de dos variables. Lección 14. Máximos y mínimos en funciones de dos variables. Lección 15, Máximos y mínimos condicionados. Lección 16. Geometría de curvas y superficies de segundo grado. Lección 17. Construcción de curvas. Lección 18. Ajuste de curvas. Lección 19. Raíces de una ecuación. Lección 20. Formas cuadráticas. ANALISIS MATEMATICO PARA ECONOMISTAS, PRIMER CURSO Lección 1. La Matemática moderna.- Simbolismo de las proposiciones compuestas.- Primeras nociones sobre conjuntos.- Intersección y unión de conjuntos. Lección 2. Producto cartesiano de dos conjuntos.- Aplicación y función.- Diversas formas de correspondencias o aplicaciones.- Relaciones de equivalencia y de orden. Lección 3. Operaciones o leyes de composición.- Propiedades ordinarias de las leyes de composición.- Nociones elementales de estructura y de isomorfismo.- El número natural. Lección 4. Combinatoria: permutaciones, variaciones y combinaciones. Propiedades de los números combinatorios.- Variaciones, permutaciones y combinaciones con repetición.- Potencia de un binomio y de un polinomio. Lección 5. Concepto de anillo.- El anillo de los enteros relativos - Algoritmo de diferencias.- Progresiones aritméticas de orden superior.- Fórmula de interpolación de Newton. Lección 6. Concepto de cuerpo: los números racionales.- Matrices: conceptos elementales.- El grupo abeliano respecto de la adición de las matrices equidimensionales.- Producto de matrices.- Partición de matrices.- Propiedades de las matrices transpuestas. Lección 7. Clase de una permutación.- Determinante de una matriz cuadrada.- Desarrollo de un determinante de orden n.- Producto de determinantes: cálculo de la matriz inversa. Lección 8. Espacios vectoriales.- Resolución de un sistema de ecuaciones lineales por la regla de Cramer - Rango o característica de una matriz.- Teorema de Rouché-Fröbenius.- Sistemas de ecuaciones lineales homogéneas. Lección 9. Límite de una sucesión de números racionales.- El concepto de número real.- Operaciones con números reales. Lección 10. Sucesiones de números reales: Cálculo de límites.- Cálculo de algunos límites indeterminados: el número e.- Series numéricas: criterios de convergencia. Lección 11. La recta topológica.- Funciones de variable real.- Función de función y producto de funciones.- Función inversa.- Conocimiento de algunas funciones elementales. Lección 12. Sistemas de coordenadas cartesianas y polares.- Producto escalar de dos vectores: su expresión analítica.- Diversas formas de la ecuación de la recta en el espacio E. Lección 13. Límites de funciones de variable real.- Infinitésimos: Infinitésimos equivalentes.- Funciones continuas.- Propiedades de las funciones continuas: continuidad uniforme. Lección 14. Conceptos de derivada y de diferencial.- Reglas de derivación y de diferenciación.- Algunas aplicaciones de la derivación. Lección 15. Teoremas de Rolle y del Valor Medio.- Fórmulas de Taylor.- Desarrollos en serie de una función de una variable real. Lección 16. Representación gráfica de una función f (x)- Crecimiento. Concavidad, convexidad y puntos de inflexión.- Máximos Asíntotas. Lección 17. Funciones de varias variables: límites y continuidad.- Derivadas parciales: Teorema de Schwarz.- Derivadas sucesivas.- Aplicaciones a la Economía. Lección 18. Diferencial total y diferenciales sucesivas.- Derivación y Diferenciación de las funciones compuestas.- Derivación y diferenciación de las funciones implícitas. Lección 19. La fórmula de Taylor en las funciones de varias variables. Máximos y mínimos: condiciones necesarias y suficientes.- El método de los multiplicadores de Lagrange para la obtención de máximos y mínimos condicionados. Lección 20. Funciones homogéneas: Teorema de Euler.- Aplicaciones de la Teoría de Funciones Reales de varias variables para el conocimiento económico. Lección 21. Números complejos: representación gráfica y operaciones elementales.- Fórmula de Moivre.- Raíces, potencias y logaritmos en el campo de los números complejos. Si se leen con detalle los dos programas se aprecian tres partes diferenciadas: una de álgebra, una de análisis-cálculo y unos temas de geometría. En el segundo programa se detallan mucho más quedando todo mas especificado. En ambos programas:

4 Las Facultades de Ciencias Políticas y Económicas, se crean con fecha 29 de julio d... Página 4 de 11 - En los primeros temas de álgebra se estudia con todo detalle la parte conjuntivista y las operaciones pasando a continuación a los espacios vectoriales, que en el primer programa no aparecen. - Existen cinco temas de análisis en una variable. Además, en el segundo programa hay un tema de funciones homogéneas, ausente en el primero, y un tema de números complejos, sin ninguna conexión con los temas anteriores. - Se detecta la ausencia de formas cuadráticas en uno de ellos, aunque se detallan en varios temas el cálculo de máximos y mínimos globales y condicionados en una y varias variables, a la vez que se incluyen series y sucesiones, y en el otro aparece como último tema. Los temas de geometría del primer programa tienen una gran extensión, llegando al ajuste de curvas, junto con las cónicas, sin continuación en programas posteriores. Si cuantificamos la parte común de los dos programas, las coincidencias se pueden valorar entre un 60% y un 70%. Análisis del plan 71 Como ocurre en el plan anterior, existen dos programas, el primero sólo consta de la primera parte, álgebra, el segundo es del curso académico compararemos la parte de álgebra y valoraremos la parte de análisis. CURSO SELECTIVO: ANÁLISIS MATEMÁTICO Programa de álgebra lineal para el curso el curso I ALGEBRA MODERNA La Matemática Moderna. Proposiciones lógicas. Conjuntos y retículos. Aplicaciones al Calculo de Probabilidades. Aplicaciones y función. Relaciones de equivalencia y de orden. Leyes de composición. Estructuras, homorfismos e isomorfismos. Grupo y Semigrupo. Estructura de anillo. El número natural. Enteros relativos y polinomios. Estructura de cuerpo. El cuerpo de los números racionales. La relación de divisibilidad. Divisibilidad de polinomios. El cuerpo de los números reales. El cuerpo de los números complejos. II ESPACIOS VECTORIALES Vectores libres y producto escalar. La estructura de espacio vectorial. Dependencia e independencia lineal. Base y dimensión. Subespacios vectoriales o variedades lineales. Aplicaciones lineales. Formas lineales y bilineales. Sistemas de ecuaciones lineales. Ecuaciones homogéneas. Espacio vectorial de matrices. Producto, partición y transposición de matrices. Determinantes. Propiedades, desarrollo y producto de determinantes. Matriz inversa. Análisis input-output. Matrices ortogonales. Producto vectorial. Vectores y valores propios de una matriz. Formas cuadráticas. Cónicas. Geometrias -. Espacio afín y espacio euclídeo. Geometría analítica de la recta y el plano. Nociones elementales de topología. III MISCELÁNEA Combinatoria. Potencia de un binomio y de un polinomio. Distribución binomial. Algoritmo de diferencias. Progresiones aritméticas de orden superior. Fórmula de interpolación de Newton. Cálculo de una matriz inversa por el método de Crout. Interés compuesto e interés continuo. Ecuaciones de diferencias y dinámica económica. PROGRAMA DE ANÁLISIS MATEMATICO 1 CURSO

5 Las Facultades de Ciencias Políticas y Económicas, se crean con fecha 29 de julio d... Página 5 de 11 NOCIONES DE CONJUNTOS Tema I.- Conjuntos. 1.- Relación de inclusión. 2.- Conjunto de partes. 3.- Operaciones con conjuntos. 4.- Operaciones boolerianas sobre el conjunto de partes 5.- Producto de conjuntos. CORRESPONDENCIAS, APLICACIONES Y RELACIONES Tema II.- Correspondencias entre conjuntos. 1.- Funciones, su clasificación. 2.- Producto de aplicaciones. 3.- Aplicación biyectiva de un conjunto en sí mismo. Tema III.- Relaciones de ordenación y equivalencia. 1.- Relaciones binarias. 2.- Relaciones de orden, Orden total. 3.- Relaciones de equivalencia; clases de equivalencia. 4.- Conjunto cociente. Tema IV.- Leyes de Composición. 1.- Definición: Notaciones y clasificaciones. 2.- Estructura algebraica: Grupoide, Semigrupo, grupo. 3.- Homomorfismo e isomorfismo. Tema V.- Leyes de composición (continuación). 1.- Anillos. 2.- Subanillos. 3.- Ideales. 4.- Cuerpos.

6 Las Facultades de Ciencias Políticas y Económicas, se crean con fecha 29 de julio d... Página 6 de 11 NUMEROS: NATURAL,ENTERO,RACIONAL,REAL Y COMPLEJO Tema VI.- El número natural. 1.- El conjunto de los números naturales, leyes de composición y estructura. 2.- Cardinal de un conjunto. 3.- Combinatoria: Permutaciones, variaciones y combinaciones. Tema VII.- El número entero y el número racional. 1.- El conjunto de los números enteros, leyes de composición y estructura. 2.- El conjunto de los números racionales, leyes de composición y estructura. 3.- Valor absoluto. Tema VIII.- Topología en los números racionales. 1.- Sucesiones de números racionales.- Intervalo en la recta racional.- Sucesiones regulares ó de Cauchy. 2.- El cuerpo de los números reales.- Topología en R. Tema IX - Sucesiones de números reales. 1.- Sucesiones de números reales. Convergencia. 2.- Cálculo de límites. 3.- Límites indeterminados. 4.- El número e. Tema X.- El número complejo. Topología. 1.- El cuerpo de los números complejos. 2.- Potencia y logaritmo de un complejo. 3.- Topología en el cuerpo de los números complejos. ESPACIOS VECTORIALES Tema XI.- El espacio vectorial. 1.- concepto de espacio vectorial. 2. Vectores en el plano y en el espacio. 3.- Dependencia. e independencia lineal. 4.- Base y dimensión. 5.- Coordenadas respecto de una base vectorial. Cambios de base. Tema XII.- El espacio vectorial euclídeo. 1.- Multiplicación escalar de dos vectores libres. 2.- Estudio analítico del producto escalar. 3.- Producto vectorial. Expresión analítica. Tema XIII.- Aplicaciones entre espacios vectoriales. 1.- Aplicación lineal. 2.- Concepto de matriz. Tema XIV.- Conjuntos convexos. 1.- Concepto de conjunto convexo. 2.- Propiedades. MATRICES DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Tema XV.- Matrices. 1.- Matrices numéricas. Tipología. Igualdad. 2.- Leyes de composición lineales. Estructura. 3.-Multiplicaci6n- de matrices. Transposición. Tema XVI.- Determinantes. 1.- Determinantes de una matriz cuadrada. Propiedades. 2.- Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea. y por menores complementarios. 3.- Producto de determinantes. 4.- Determinantes especiales. Tema XVII.- Inversión de matrices. 1.- Rango de una matriz. 2.- Matrices no singulares. Inversa de una matriz. 3.- Cálculo de la matriz inversa. Tema XVIII.- Sistemas de ecuaciones lineales. 1.- Definiciones. Regla de Cramer. 2.- Teorema de Rouche-Frobénius. 3.- Sistemas homogéneos. Tema XIX. Formas cuadráticas. 1.- Algunos tipos especiales de matrices cuadradas. 2.- Transformaciones lineales. 3.- Formas bilineales. 4.- Formas cuadráticas. Discusión del signo de una forma cuadrática. FUNCIONES DE VARIABLE REAL: LÍMITES, CONTINUIDAD, DERIVACIÓN, MÁXIMOS Y MÍNIMOS. Tema XX.- Límite de funciones de variable real 1.- Concepto de función de una variable real, representación geométrica de una función. 2.- Límite de una función de una variable real. Tema XXI. - Continuidad de función de variable real 1.- Funciones: continuas de una variable real. 2.- Propiedades: Teoremas de Bolzano y Weirstrass. 3.- Funciones discontinuas. Tema XXII Funciones de variables reales. 1.- Función de dos o más variables reales. 2.- Límite.

7 Las Facultades de Ciencias Políticas y Económicas, se crean con fecha 29 de julio d... Página 7 de Continuidad. TEMA XXIII.- Derivada y diferencial de funciones de una variable real. 1.- Concepto de derivada.- Su interpretación. geométrica. 2.- Concepto de diferencial. 3.- Concepto de primitiva. 4.- Crecimiento y decrecimiento de funciones de una variable real. 5.- Valor de la derivada en sus máximos y mínimos. Tema XXIV.1.- Teorema de Rolle y Cauchy Regla de L'Hopital; su aplicación al caso de límites indeterminados Tema XXV. - Derivada y diferencial. de funciones de varias variables reales. 1.- Concepto de derivada parcial..- Su interpretación geométrica. 2.- Derivadas segundas.- Enunciado del Teorema de Schwarz. 3.- Derivadas sucesivas. 4.- Diferencial total.- Diferencial segunda - Diferenciales sucesivas. Tema XXVI.- Funciones compuestas. Funciones implícitas. Funciones homogéneas. 1.- Funciones compuestas; su derivación y diferenciación. 2.- Funciones implícitas; su derivación y diferenciación; jacobiano. 3.- Funciones homogéneas; Teorema del Euler. Tema XXVII.- Desarrollo de Taylor. 1.- Fórmulas de Taylor y de - Mac-Laurin para funciones de una variable real y de varias variables. Tema XXVIII.- Máximos y Mínimos. 1.- Concavidad, convexidad e inflexión de una variable real. 2 - Máximos y Mínimos; condiciones necesarias y suficientes. 3.- Máximos y Mínimos de una función de varias variables, condiciones necesarias y suficientes Tema XXIX.- Máximos y Mínimos (continuación ). 1.- Máximos y Mínimos condicionados; método de los multiplicadores de Lagrange. NOCIONES DE CALCULO INTEGRAL Tema XXX. Integral definida. 1.- Integral definida de Cauchy. 2.- La integral de Riemann.- El problema del área. 3.- Interpretación geométrica de la integral. 4.- Otros problemas que nos conducen a la integral. 5.- Propiedades de la integral definida. Tema XXXI.- Integral definida (continuación). 1.- Cambio de variable en una integral definida. 2.-Teorema del cálculo integral.- Regla de Barrow. 3.- Integrales que dependen de un parámetro. 4.- Derivación e integración bajo el signo integral. Tema XXXII.- Integrales indefinida. 1.- Cálculo de primitivas. 2.- Integración indefinida y derivación. 3.- Integrales inmediatas. 4.- Integración por descomposición. En cuanto al álgebra, la coincidencia entre ambos programas del mismo curso, es casi total, solo se podrían apreciar diferencias si su detalle, en la exposición no fuera el mismo. Esta parte de álgebra supone en este plan el 60% de los temas del curso En la segunda parte del programa, la relativa al análisis se hace un barrido por el análisis de una y varias variables, llegando a las integrales definidas e indefinidas con amplitud, terminando con máximos y mínimos con o sin restricciones. Todos los temas están enunciados con gran detalle. Análisis del plan 2000 Los dos programas vigentes en la actualidad corresponden al plan 2000, tienen gran similitud en temas y profundidad, si bien es verdad que en el segundo programa hay dos temas que no tienen correspondencia en el primero, sucesiones y series. Por lo tanto la coincidencia es de un 90% entre ambos aproximadamente. Tienen ambos programas dos partes que se corresponden con los dos cuatrimestres del curso: la primera es álgebra, empezando con las estructuras algebraicas más sencillas para terminar con la estructura fundamental del curso que es la de espacio vectorial como en todos los programas anteriores, introduciendo las aplicaciones lineales y todo lo relacionado con ellas. La segunda parte es de análisis recorriendo tanto una variable como varias, terminando con las funciones inversa e implícita. La coincidencia es total salvo en la iniciación de integrales. Programa de Matemáticas Empresariales I TEMA 1. INTRODUCCION Las matemáticas, la economía y la empresa. Los fundamentos de las matemáticas y la lógica matemática. TEMA 2. ESPACIOS VECTORIALES Vectores en dos y tres dimensiones. Definición de espacio vectorial. Subespacios vectoriales. Espacio vectorial cociente. Dependencia e independencia lineal, sistema generador, bases y dimensión de espacios

8 Las Facultades de Ciencias Políticas y Económicas, se crean con fecha 29 de julio d... Página 8 de 11 y Subespacios vectoriales. TEMA 3. APLICACIONES LINEALES Transformaciones y aplicaciones lineales. Núcleo e imagen. Rango de una aplicación lineal. El espacio de las aplicaciones lineales L(E, F) Isomorfismo de espacios vectoriales. Aplicaciones y formas bilineales y multilineales. TEMA 4. MATRICES Matrices sobre un cuerpo K. Espacio vectorial de matrices m x n.matrices cuadradas. TEMA 5. DETERMINANTES Determinantes de una matriz cuadrada. Formas multilineales alternadas. Función determinante. Cálculo y desarrollo de un determinante. Cálculo de la matriz inversa y rango de una matriz. TEMA 6. MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACION LINEAL Matriz asociada a una aplicación lineal, endomorfismos. Relación entre las operaciones con aplicaciones lineales y matrices. Cambio de base. Matrices semejantes. Matrices especiales. TEMA 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Sistemas de ecuaciones lineales. Teorema de Rouché-Froebenius. Método de Cramer. Sistemas homogéneos. Método de Gauss. TEMA 8. ESPACIO AFÍN.ESPACIO EUCLÍEO Ecuaciones de un subespacio afín. Conjuntos convexos. Espacios afines. Producto escalar, norma, desigualdad de Cauchy-Schwarz. Ortogonalidad y bases ortonormales. Espacio vectorial euclídeo. TEMA 9. DIAGONALIZACION Vectores propios y valores propios. Ecuación característica y polinomio característico. Subespacios propios. Teorema de Cayley Hamilton. Endomorfismos y matrices diagonizables. Condición necesaria y suficiente para diagonalizar un endomorfismos. Introducción a la forma reducida de Jordán. TEMA 10. FORMAS CUADRATICAS Forma bilineal simétrica. Forma cuadrática. Reducción de una forma cuadrática a suma de cuadrados. Ley de inercia. Formas cuadráticas definidas. Clasificación de las formas cuadráticas. Clasificación de Jacobi. Formas cuadráticas restringidas. TEMA 11. CONCEPTOS TOPOLOGICOS Normas y distancias. Ejemplos. Aplicaciones continuas de un espacio métrico en otro. Bolas abiertas y bolas cerradas en espacios métricos. Conjuntos abiertos, cerrados y compactos. TEMA 12. FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Concepto de función de una variable real. Límite de una función en un punto. Continuidad de una función en un punto. Continuidad global. Función inversa de una función continua monótona. Continuidad uniforme. TEMA 13. DERIVADA DE FUNCIONES DE VARIABLE REAL Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica de la derivada. Continuidad y derivabilidad. Algebra y cálculo de las derivadas. definición de diferencial. Funciones derivables en un intervalo. Extremos relativos de funciones. Teoremas de valor medio. TEMA 14. INTEGRACION DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Integrales de funciones en escalera. Integrales de funciones continuas. Primitivas y métodos de integración. Integración de funciones racionales, irracionales, algebraicas y transcendentes. TEMA 15. FORMULA DE TAYLOR REPRESENTACION DE FUNCIONES Fórmula de Taylor. Término complementario: forma de Lagrange Fórmula de Mc Laurín. Series de potencias. Estudio del comportamiento de una curva en el entorno de un punto. Funciones convexas. Representación gráfica de funciones. TEMA 16. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Funciones de varias variables: campos escalares y vectoriales. Representaciones gráficas. Límites y continuidad de funciones de varias variables. TEMA 17. FUNCIONES DIFERENCIALES Definición de derivada: derivada direccional y parcial. Teorema de valor medio. Derivadas parciales de orden superior. Teorema de Schwarz. Significado geométrico. Definición de diferencial gradiente. Condiciones suficientes de diferenciabilidad. Diferenciales de funciones compuestas regla de la cadena. Diferenciación de funciones vectoriales. Matriz Jacobiana. Regla de la cadena. Teorema de la función inversa TEMA 18. FUNCIONES IMPLICITAS. EXTREMOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Derivación de funciones definidas implícitamente. Teorema de existencia. Dependencia funcional. Extremos de funciones de dos o más variables. Formula de Taylor para funciones de varias variables. Multiplicadores de Lagrange. TEMA 19. FUNCIONES HOMOGENEAS Polinomios y funciones homogéneas. Propiedades. Fórmula de Euler Programa de Matemáticas Empresariales I Tema 1: INTRODUCCION Historia de la matemática aplicada: economía, empresa y matemáticas. El lenguaje de las matemáticas, los fundamentos y la lógica matemática. Operadores lógicos y tablas de verdad Conjuntos, operaciones. Aplicaciones. Relaciones binarias. Producto cartesiano. Estructuras algebraicas. Tema 2: ESPACIOS VECTORIALES Espacio afín.- Vectores en dos y tres dimensiones.- Definición de espacio vectorial. Subespacios vectoriales.- Espacios vectoriales cocientes. Intersección y suma de Subespacios vectoriales.- Dependencia e independencia lineal.- Bases en un espacio vectorial. Dimensión. Dimensión de un subespacio. Tema 3: ESPACIO AFÍN Ecuaciones de un subespacio afín.- Coordenadas en un espacio afín. Cambio de coordenadas.- Conjuntos convexos.- Producto escalar. Normas, distancias.-desigualdad de Cauchy-Schwarz.- Ortogonalidad, base

9 Las Facultades de Ciencias Políticas y Económicas, se crean con fecha 29 de julio d... Página 9 de 11 ortonormal. Método de Gram-Schmidt.- Complemento ortogonal.- Espacio vectorial euclídeo. Tema 4: APLICACIONES LINEALES Transformaciones y aplicaciones lineales.- Núcleo e imagen.- Rango de una aplicación lineal.- El espacio vectorial L(E,F).- Composición de aplicaciones lineales. Dual de un espacio vectorial.- Aplicaciones y formas bilineales. Formas multilineales. Tema 5: MATRICES Definición de matriz. Matrices sobre un cuerpo K.- Operaciones con matrices. Espacio vectorial de las matrices m x n.- Producto de matrices.- Anillo de las matrices cuadradas.- Matriz inversa de una matriz dada. Traspuesta de una matriz. Propiedades.- Cambio de base.- Matrices equivalentes. Matrices semejantes. Tema 6: DETERMINANTES Signatura de una permutación, sustituciones. Formas multilineales alternadas.- Determinante de una aplicación lineal de E en E. Determinante de una matriz cuadrada.- Calculo de un determinante por bloques.- Determinante de un producto de matrices.- Desarrollo de un determinante por los elementos de una fila o columna. Cálculo de un determinante. Tema 7: INVERSA DE UNA MATRIZ Cálculo de rango de una matriz.- Cálculo de la inversa de una matriz.- Método de Gauss. Tema 8: MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACION LINEAL Matriz de una aplicación lineal. Endomorfismos.- Relación de las operaciones entre aplicaciones lineales y matrices.- Efecto de un cambio de base en la matriz de una aplicación lineal.- Matrices especiales.- Matriz de una forma bilineal. Tema 9: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Sistemas de ecuaciones lineales.- Teorema de Rouche-Frobénius. Regla de Cramer.- Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos. Tema 10: DIAGONALIZACION DE MATRICES Matrices cuadradas y Endomorfismos.- Vectores propios y valores propios.- Ecuación característica y Polinomio característico.- Subespacios propios. Teorema de Cayley-Hamilton.- Endomorfismos y Matrices diagonalizables. Condiciones necesarias y suficientes.- Introducción a la forma reducida de Jordán Tema 11: FORMAS CUADRATICAS Formas bilineales simétricas.- Formas cuadráticas.- Reducción de una forma cuadrática a suma de cuadrados.- Ley de inercia de las formas cuadráticas.- Formas cuadráticas definidas.- Clasificación del las formas cuadráticas Clasificación de Jacobi.- Formas cuadráticas restringidas. Tema 12: CONCEPTOS TOPOLOGICOS Normas y distancias. Concepto de espacio métrico.- Puntos de acumulación. Conjuntos abiertos, conjuntos cerrados.- Teorema de Bolzano- Weierstrass. Teorema de recubrimiento de Heine-Borel. Conjuntos compactos. Tema 13: SUCESIONES DE NUMEROS REALES Sucesiones de números reales. Límite de una sucesión.- Criterios de convergencia.- Sucesiones de Cauchy. Sucesiones monótonas.- Cálculo de limites. Infinitésimos e infinitos. Indeterminaciones- Espacio métrico completo. Completitud de un espacio. Tema 14: SERIES NUMERICAS Definición de serie numérica.- Series convergentes. y divergentes.- Resto en una serie y convergencia.- Criterio de convergencia de Cauchy.- Comparación de series de términos positivos.- Convergencia absoluta.- Series alternadas.- Criterios de convergencia de Dirichlet y Abel. Tema 15: FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Función de una variable real.- Representación gráfica.- Limite de una función.- Algebra de los límites. Teoremas sobre limites.- Continuidad de una función de variable real.- Continuidad de una función compuesta. Continuidad global.- Teorema de Bolzano para funciones continuas. Propiedades de las funciones continuas.- Función inversa de una función continua monótona.- Funciones uniformemente continuas. Tema 16: DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Derivada de una función de variable real.- Interpretación geométrica.- Continuidad y derivabilidad.- Derivadas laterales.- Definición de diferencial.- Algebra de las derivadas y las diferenciales.- Derivadas sucesivas. Regla de la cadena.- Derivada de una función compuesta. Derivada de inversa de una función. Tema 17: TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES Teorema de Rolle. Teoremas de valor medio.- Regla de L'Hopital.- Extremos de una función de variable real.- Funciones convexas. Convexidad y concavidad. Puntos de inflexión. Tema 18: INTEGRACION DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Concepto de integral para funciones en escalera.- Integral de funciones continuas.- Primitivas. Integral indefinida.- Propiedades de la integral. Integración por partes. Cambios de variable.- Integrales de funciones racionales, irracionales y transcendentes. Tema 19: FORMULA DE TAYLOR. REPRESENTACION DE FUNCIONES. Aproximación de una función por polinomios.- Fórmula de Taylor con resto. Resto de Lagrange.- Estudio de la variación de una función en el entorno de un punto. Determinación de los extremos de una función de una variable real Tema 20: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES Funciones de varias variables reales: campos escalares y campos vectoriales.- Funciones vectoriales de variable real.- Representación geométrica de las funciones de dos variables reales. líneas y superficies de nivel.- Límites y continuidad de funciones de varias variables.- Límites y continuidad de funciones vectoriales. Tema 21: DERIVADAS PARCIALES. DERIVADAS DIRECCIONALES Derivada parcial. Interpretación geométrica.- Derivada de un función compuesta.- Derivadas parciales sucesivas. Teorema de Schwarz.- Fórmula de Taylor. Extremos de funciones de dos o más variables.- Multiplicadores de Lagrange.- Programas sin restricciones. Programas con restricciones de igualdad. Tema 22: DERIVADAS DIRECCIONALES

10 Las Facultades de Ciencias Políticas y Económicas, se crean con fecha 29 de juli... Página 10 de 11 Derivada de una función en la dirección de un vector. Derivada direccional.- Teorema de valor medio.- Derivada en un campo vectorial. Matriz Jacobiana. Tema 23: FUNCIONES DIFERENCIABLES Definición de diferencial para funciones de varias variables.- Diferencial de una función de varias variables. Gradiente. Propiedades.- Condición suficiente de diferenciabilidad.- Diferencial de funciones compuestas. Regla de la cadena.- Diferencial de funciones vectoriales.- Diferencial de funciones vectoriales compuestas. Regla de la cadena.- Teorema de la función inversa. Tema 24: FUNCIONES IMPLICITAS Función implícita. Derivadas y diferenciales de funciones implícitas.- Teorema de existencia de la función implícita.- Sistemas de funciones implícitas. Tema 25: FUNCIONES HOMOGENEAS Polinomios y funciones homogéneas.- Propiedad de las funciones homogéneas. Fórmula de Euler. Análisis comparativo dos a dos de los planes 63, 71 y Si Comparamos ahora el programa más extenso del plan 63 con el completo del plan 71, se aprecian similitudes y diferencias. Similitudes: Empiezan ambos programas con una extensa parte dedicada a las estructuras algebraicas. Continúan con temas relacionados con cálculo matricial, incluyendo determinantes y resolución de sistemas. En la parte de análisis hacen ambos programas un estudio en una variable para pasar después a varias variables siguiendo con de máximos y mínimos en una y varias variables, terminando con el método de Lagrange. Aparecen las funciones homogéneas. Las diferencias de pueden resumir en: En el segundo programa incluye el tema de números complejos en la primera parte, es decir, está con las estructuras algebraicas, en la parte de álgebra, en el plan del año 63 es el último tema del curso sin relación con los otros conjuntos de números. No aparecen casi en el primer plan las formas cuadráticas y en el segundo es el último tema de álgebra. En el programa más antiguo se empieza el análisis por las sucesiones y las series, mientras que en el segundo lo hace directamente a las funciones reales de variable real. En el programa del plan 71 tiene una última parte de cuatro temas de cálculo integral, con integrales definidas e indefinidas. Hablando de porcentajes se pueden fijar en un 70% aproximadamente de coincidencias en álgebra; en la parte de análisis todo el temario del primer programa esta contenido en el segundo que supone el 80% del plan Si ahora comparamos el plan del año 63 con el plan del año 2000 observaremos gran diferencia. En cuanto al álgebra todo lo que aparece en el año 63 ha desaparecido en el ultimo empezando éste con la estructura de espacio vectorial directamente, en el primer programa los espacios vectoriales aparecen en el tema ocho junto con la resolución de sistemas de ecuaciones por lo que es de suponer que no fuera lo fundamental de esta parte. Otra de las ausencias del primer programa del primer plan, es la de la formas cuadráticas que suponen una parte importante en el plan actual. Por lo tanto las coincidencias sólo serían de un 30% aproximadamente. En cuanto al análisis la similitud es mayor, casi total si exceptuamos el último tema tantas veces nombrado de los números complejos y logaritmos del primer programa. En este caso las coincidencias serían de un 90% Se observa que en el programa del año 71 hasta el tema XI no se citan a los espacios vectoriales, antes se han dado conjuntos, correspondencias, aplicaciones, relaciones números, naturales, enteros, racionales, reales y complejos siempre nombrando las estructuras algebraicas anteriores a la de espacio vectorial. En el programa del año 2000 en el segundo tema ya se habla de los espacios vectoriales (el primer tema es de introducción, relación entre las matemáticas y la economía). Después en los dos programas se continua con matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales y formas cuadráticas, en el último plan se completa con diagonalización de matrices. Si comparamos el número de temas del curso con los que se dedican al álgebra es importante en ambos, 19 de 33 en el plan 71 y 10 de 19 en el año 2000, que resulta ser un 58% y un 53% respectivamente. En cuanto a la segunda parte del curso, el análisis, empiezan por funciones reales de variable real, en el último programa se introduce un tema de topología. Por lo demás las diferencias son mínimas. La parte común supondría un 85% de coincidencias entre ambos planes. Conclusiones A lo largo de los años se han ido perfilando los programas llegándose a una línea totalmente definida, una parte de álgebra con un tema central, espacios vectoriales, y todos los puntos relativos a ellos, tanto aplicaciones lineales como formas cuadráticas. Existe siempre una segunda parte del programa, dedicada al análisis, compuesta de un repaso de las funciones en una variable para terminar en varias variables, llegando a dar una cierta importancia a su aplicación económica. En los planes del año 71 quizás se dedica una primera parte a lo conocida como álgebra moderna, desaparecieron en los posteriores, siguiendo la tendencia que a lo largo de los años se ha producido en la enseñanza de las Matemáticas.

11 Las Facultades de Ciencias Políticas y Económicas, se crean con fecha 29 de juli... Página 11 de 11 En los primeros planes de estudios se habla de coordenadas polares, números complejos, logaritmos, en los actuales ha desaparecido aunque son necesarios en estudios posteriores como pueden ser la Econometría o la Estadística. Se observa que mientras que los cambios a lo largo del tiempo en la primera parte de los programas dedicada al álgebra han sido notables, en la parte correspondiente al análisis son menos relevantes. Quizás falte por considerar el número de horas lectivas, actualmente créditos de que constaba cada curso académico. En la actualidad son 9 créditos a razón de 3 horas semanales. Como se puede apreciar en las páginas anteriores hemos mantenido el formato original de los programas, como otra forma de comparación. También hemos conservado el nombre dado a cada asignatura, pues nos ha parecido que puede resultar curioso que en el mismo plan, en el mismo curso, en el mismo año, se denoten con títulos parecidos, pero no iguales. Es reseñable el hecho de la desaparición actual de los siguiente epígrafes dentro de los contenidos: Algoritmo de diferencias, Fórmula de interpolación de Newton, Enteros relativos, Método de Crout y Ecuaciones de diferencias. Bibliografía B.O.E. Publicaciones Varias. Escribano Ródenas, M.C.; Calvo Martín, M. E. (2001): Importancia histórica de la Estadística en la Facultad de CC. Económicas y la Escuela de Empresariales de la Universidad de Madrid, en Actas de las IX Jornadas ASEPUMA, Universidad de Las Palmas de Gran Canaria. Facultad de CC. Económicas y Empresariales. Universidad Complutense de Madrid. Programas Oficiales.