Matemáticas para las Ciencias Sociales

Transcripción

1 Mª Carmen García Llamas Fº Javier Palencia González Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED) Matemáticas para las Ciencias Sociales

2 Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o transmitirse por ningún procedimiento electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación magnética, o cualquier almacenamiento de información y sistema de recuperación, sin permiso escrito de Ediciones Académicas, S. A. Diríjase a CEDRO (Centro escanear algún fragmento de esta obra. (c) Ediciones Académicas, S.A. Bascuñuelos, 13-P Madrid (c) Mª Carmen García Llamas, Fco. Javier Palencia González ISBN: Depósito legal: M Copias Centro C/San Máximo Madrid Impreso en España / Printed in Spain

3 A los estudiantes de la UNED por su afan de superación

4

5 Prólogo Sin duda las matemáticas son una herramienta de gran utilidad en todas las disciplinas relacionadas con las Ciencias Sociales, y en particular con el turismo. En la actualidad, la facilidad para recoger información sobre distintos aspectos de la actividad humana crea, si cabe, una mayor necesidad de poder expresarla de forma resumida e intuitiva. Para ello las matemáticas suponen una gran ayuda. Eso es lo que se pretende con este texto, ayudar a los estudiantes de turismo a manejar las matemáticas con soltura para obtener el máximo benecio de su aplicación a las actividades propias del sector. El texto se estructura en dos grandes bloques. En el primer bloque se comienza con temas de cálculo matricial, resaltando la importancia de este a la hora de representar mediante matrices gran cantidad de información que será más fácilmente manejable. El otro bloque que se aborda hace referencia a técnicas básicas de análisis matemático, encaminadas a mostrar la evolución temporal de los fenómenos objeto de estudio. La experiencia acumulada en los primeros años de implantación del Grado de Turismo indica que por causas de diversa índole acceden a estos estudios alumnos que o bien llevan tiempo sin cursar asignaturas de Matemáticas o bien no han estudiado este tipo de asignaturas en los últimos años de su vida académica. Esto ha hecho que en el texto se incluya una primera parte de repaso e introducción para facilitar el estudio posterior de los temas que propiamente forman parte del plan de estudios de la asignatura de Fundamentos Matemáticos de las Ciencias Sociales. Cada uno de los temas que se desarrolla en el presente texto se trata inicialmente desde un punto de vista intuitivo, para a continuación hacer una VII

6 presentación formal de los distintos conceptos teóricos y nalmente ilustrar estos conceptos mediante ejemplos. Esta forma de presentar los temas está encaminado a facilitar el aprendizaje autónomo por parte del estudiante, así como la comprensión y la adquisición de las capacidades y habilidades necesarias para superar con éxito la asignatura. Los autores, docentes de la asignatura con amplia experiencia, completan cada uno de los capítulos con mapas conceptuales, cuestiones de autoevaluación y ejercicios propuestos de forma que los estudiantes puedan avanzar y profundizar en el estudio de la asignatura. El texto está escrito con la clara intención de hacer ver que las matemáticas, si bien es cierto que necesitan del trabajo personal, no han de suponer para el estudiante un esfuerzo mayor que otras disciplinas. Los autores Junio 2018 VIII

7 Índice general 1. Conceptos Básicos Los números Los números naturales, N Los números enteros, Z Los números racionales, Q Los números reales, R Número factorial y combinatorio Propiedades de los números Propiedades básicas Desigualdades Propiedades de orden Valor absoluto Intervalos Potencias y radicales Potencias Propiedades de las potencias Radicales Polinomios Monomios y binomios Polinomios Operaciones con polinomios Factorización Descomposición en fracciones simples Palabras clave Autoevaluación Problemas ix

8 x ÍNDICE GENERAL 2. Cálculo Matricial Introducción Concepto de matriz. Tipos de matrices Concepto de matriz Tipos de matrices Operaciones con matrices Suma de matrices Producto de un escalar por una matriz (Ley de composición externa) Producto de matrices Transposición de matrices Método de Gauss Determinantes Concepto de determinante Cálculo de determinantes Propiedades de los determinantes Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea Rango de una matriz Cálculo práctico del rango de una matriz Método de Gauss aplicado a la obtención del rango de una matriz Transformaciones que conservan el rango de una matriz Matriz inversa Cálculo de la inversa usando la matriz adjunta Cálculo de la inversa por el método de Gauss Palabras clave Autoevaluación Problemas

9 ÍNDICE GENERAL xi 3. Sistemas de ecuaciones Introducción Método de Gauss-Jordan Expresión matricial. Sistemas de Cramer Expresión matricial de un sistema Sistemas de Cramer Discusión de sistemas con m ecuaciones y n incógnitas. Teorema de Rouche-Frobenius Sistemas homogéneos Sistemas con parámetros Palabras clave Autoevaluación Problemas Funciones Introducción Función Dominio de una función Imagen de una función Gráca de una función Función inyectiva Función a trozos Operaciones con funciones Composición de funciones Función inversa Método para hallar la función inversa Función monótona Función acotada Funciones simétricas

10 xii ÍNDICE GENERAL Función par e impar Método para estudiar la simetría de una función Función periódica Funciones polinómicas y racionales Funciones trigonométricas Razones trigonométricas Igualdades trigonométricas Función seno y coseno Funciones ondulatorias Otras funciones trigonométricas Funciones trigonométricas inversas Coordenadas polares Función exponencial Propiedades de las funciones exponenciales Función logaritmo Propiedades de la función logaritmo Cambio de base Funciones hiperbólicas Funciones elementales Palabras clave Autoevaluación Problemas Límites y continuidad Límites Introducción Denición de Límite Cálculo de límites Infinitésimos

11 ÍNDICE GENERAL xiii Propiedades de los innitésimos Comparación de innitésimos Innitésimos equivalentes Indeterminaciones Continuidad Continuidad de una función Continuidad lateral Propiedades de las funciones continuas Continuidad por tipo de función Discontinuidad Asíntotas Asíntotas verticales Asíntotas horizontales Asíntotas oblicuas Teorema de Bolzano y otros Teorema de Bolzano Teorema de los Valores Intermedios Método para hallar los valores intermedios Teorema de los Valores Extremos ó de Weierstrass Palabras clave Autoevaluación Problemas Derivación Concepto de derivada Tasa de variación La tasa de variación instantánea El problema de la recta tangente Derivada en un punto

12 xiv ÍNDICE GENERAL Interpretación geométrica Derivadas laterales Continuidad y derivabilidad Función derivada Método de obtención de funciones derivadas Regla de la cadena Derivada de la función inversa Derivación logarítmica Derivada de la función exponencial Derivada de la función exponencial de base a Derivación implícita Derivadas de funciones trigonométricas Derivadas trigonométricas Derivadas de las funciones inversas trigonométricas Derivadas de las funciones hiperbólicas Tabla de derivadas Palabras clave Autoevaluación Problemas Aplicaciones de la derivada Introducción Derivadas sucesivas Análisis de funciones Crecimiento y decrecimiento de funciones Extremos absolutos de una función Máximos y mínimos locales Puntos críticos o estacionarios Algunos teoremas importantes

13 ÍNDICE GENERAL xv Concavidad y convexidad Puntos de inexión Problemas de optimización Método para resolver problemas de optimización Cálculo de límites indeterminados Indeterminaciones Regla de L'Hôpital Análisis y representación gráfica de funciones Decálogo para el análisis y la representación gráca de funciones Aproximación lineal y diferencial Aproximación lineal de una función Diferencial de una función Fórmula de Taylor Polinomio de Taylor Teorema de Taylor Fórmula de McLaurin Palabras clave Autoevaluación Problemas La integral Introducción Integral indefinida La primitiva Reglas de integración inmediatas Reglas algebraicas de integración Reglas de integración para funciones compuestas Métodos de Integración

14 xvi ÍNDICE GENERAL Integración por sustitución Método para realizar la integración por sustitución Integración por partes Método para realizar la integración por partes Integración de funciones racionales Integral definida El área como suma La integral denida Teorema Fundamental del Cálculo Propiedades de la integral denida Áreas limitadas por dos curvas Promedio integral. Teorema del valor medio para la integral Derivación bajo el signo integral Integrales Impropias Integrales impropias de primera especie Integrales impropias de segunda especie Integrales Eulerianas Funcion Beta Función Gamma Palabras clave Autoevaluación Problemas

15 Índice de guras 1.1. Valor absoluto Polinomios de grado 0 y grado Polinomios de grado 2, 3 y Puntos en el plano y gráca de la función Criterio de la recta vertical Funciones a trozos Funciones f(x) = x 2 y g(y) = ± x Función y su inversa Función monótona Funciones acotadas Simetría de funciones Función periódica Triángulo rectángulo Triángulo rectángulo y círculo de radio Funciones seno y coseno Funciones ondulatorias Funciones tangente y cotangente Funciones secante y cosecante Funciones trigonométricas inversas Coordenadas cartesianas y polares Función exponencial Función logaritmo Funciones hiperbólicas Funciones hiperbólicas inversas xvii

16 xviii ÍNDICE DE FIGURAS 5.1. Límite por aproximación Límite de una función en un punto Límites laterales distintos Límite no nito Límite oscilando Función continua Función continua Función no continua Función continua por la derecha Discontinuidad evitable Discontinuidad inevitable Discontinuidad esencial Asíntota vertical Asíntota vertical doble Asíntota horizontal Asíntota horizontal doble Asíntotas vertical y horizontal Asíntota oblicua Asíntotas vertical y oblicua Teorema de Bolzano Teorema de los valores intermedios Teorema de los valores extremos Pendiente de una recta Ecuación de la recta Recta tangente Interpretación geométrica de la derivada Continuidad y derivabilidad Gráca de la inversa y su derivada

17 ÍNDICE DE FIGURAS xix 7.1. Función creciente, decreciente Tangentes a la función Crecimiento de la función Máximos y mínimos locales Extremos locales y absolutos Puntos críticos Extremo en valor absoluto Teorema de Rolle Teorema del Valor Medio Concavidad y convexidad Función cóncava y convexa Punto de inexión Función con 2 puntos de inexión Criterio de las r 1 derivadas nulas Representación gráca de una función Familia de primitivas Área limitada por la curva Aproximación al área por rectángulos Área limitada por 2 curvas Área limitada por 2 curvas que no se cortan Área limitada por 2 curvas que se cortan Área limitada por 2 curvas que se cortan en 3 puntos Teorema del valor medio para la integral Integral impropia de primera especie