Complementos de Matemáticas, ITT Telemática

Transcripción

1 Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Complementos de Matemáticas, ITT Telemática Tema 2. Departamento de Matemáticas, Universidad de Alcalá

2 Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Introducción Propiedades de los polinomios Índice 1 Aproximación de funciones Introducción Propiedades de los polinomios 2 Polinomio de Taylor Polinomio de Lagrange Polinomio de Newton Convergencia de los polinomios de interpolación Interpolación de Hermite 3 Interpolación Segmentaria Interpolación lineal segmentaria Interpolación cúbica de Hermite a trozos

3 Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Introducción Propiedades de los polinomios Aproximación de funciones Aproximar una función f consiste en reemplazarla por otra f parecida y que tenga una forma más simple. Este proceso requiere especificar en qué consiste el parecido y cuál es la clase de funciones más simples entre las que se busca f. En este tema utilizaremos el tipo de aproximación denominado interpolación y la clase de funciones simples que utilizaremos serán los polinomios.

4 Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Introducción Propiedades de los polinomios Aplicaciones En el Tema 1 hemos hablado de métodos interpolatorios: el método de Newton o el de la secante se basan en la interpolación lineal. En el Tema 3 utilizaremos la interpolación polinómica para obtener fórmulas de integración numérica. Funciones conocidas solo para algunos valores. CENSO DE LA POBLACIÓN ESPAÑOLA AÑO N o HABITANTES AÑO N o HABITANTES Cómo estimar la población en instantes distintos de los de la tabla?

5 Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Introducción Propiedades de los polinomios CENSO DE LA POBLACIÓN ESPAÑOLA Datos conocidos desde 1900 Millones de Habitantes Año (+1900) Interpolación lineal entre cada dos datos Millones de Habitantes Año (+1900)

6 Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Introducción Propiedades de los polinomios Índice 1 Aproximación de funciones Introducción Propiedades de los polinomios 2 Polinomio de Taylor Polinomio de Lagrange Polinomio de Newton Convergencia de los polinomios de interpolación Interpolación de Hermite 3 Interpolación Segmentaria Interpolación lineal segmentaria Interpolación cúbica de Hermite a trozos

7 Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Introducción Propiedades de los polinomios Resultados fundamentales Polinomio de grado n: p n(x) = a nx n + a n 1x n a 1x + a 0 (a n 0) Teorema Si p n es un polinomio de grado n 1, entonces p n(x) = 0 tiene al menos una raíz (posiblemente compleja). Teorema Sea p n es un polinomio de grado n 1, entonces existen constantes x 1, x 2,..., x k, posiblemente complejas, y enteros positivos m 1, m 2,..., m k, tales que m 1 + m m k = n verificando: p n(x) = a n(x x 1) m 1 (x x 2) m2 (x x k) m k. Teorema Sean p n y q n dos polinomios de grado menor o igual que n. Si existen x 1, x 2,..., x k, con k > n, números distintos tales que p n(x i) = q n(x i), i = 1,..., k, entonces p n(x) = q n(x) para todo x.

8 Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Introducción Propiedades de los polinomios Evaluación de polinomios p n(x) = a nx n + a n 1x n a 1x + a 0 Se necesitan menos operaciones para evaluarlo en un punto x 0 si se escribe: p n(x) = a 0 + x(a 1 + x( (a n 2 + x(a n 1 + xa n)) )) Algoritmo de Horner para evaluar p n(x 0) b n 1 = a n Entonces: p n(x 0 ) = b 1 Además si llamamos b k = a k+1 + x 0 b k+1 (k = n 1, n 2,..., 0, 1) q n 1 (x) = b n 1 x n 1 + b n 2 x n b 1 x + b 0 se tiene que y, por tanto, p n(x) = (x x 0 )q n 1 (x) + b 1 p n(x 0 ) = q n 1 (x 0 )

9 Índice 1 Aproximación de funciones Introducción Propiedades de los polinomios 2 Polinomio de Taylor Polinomio de Lagrange Polinomio de Newton Convergencia de los polinomios de interpolación Interpolación de Hermite 3 Interpolación Segmentaria Interpolación lineal segmentaria Interpolación cúbica de Hermite a trozos

10 Problema de interpolación de Taylor Problema de interpolación de Taylor Dados un entero n no negativo, un punto x 0 R y los valores f (x 0), f (x 0),..., f (n) (x 0) de una función y sus n primeras derivadas en x 0, encontrar un polinomio P(x) de grado n tal que Teorema P(x 0) = f (x 0), P (x 0) = f (x 0),..., P (n) (x 0) = f (n) (x 0). El problema de interpolación de Taylor tiene solución única, que se denomina polinomio de Taylor de grado n de la función f en el punto x 0: Teorema P(x) = f (x 0) + f (x 0)(x x 0) + f (x x0)2 (x 0) f (n) (x x0)n (x 0) 2! n! Para n > 1 sea f (x) una función n veces derivable en x 0. El polinomio de Taylor P(x) verifica que: f (x) P(x) l«ım = 0 x x 0 (x x 0) n con la notación o pequeña de Landau f (x) P(x) = o((x x 0) n ) para x x 0. Además, P(x) es el único polinomio de grado n con esta propiedad.

11 Problema de interpolación de Taylor Error del polinomio interpolador de Taylor Teorema Sean x y x 0 dos números reales distintos y f (x) una función con n derivadas continuas en un intervalo conteniendo a x y x 0, en el que también existe f (n+1). Entonces existe un punto ξ entre x y x 0 tal que: f (x) P(x) = f (n+1) (x x0)(n+1) (ξ) (n + 1)! Corolario Además de las hipótesis del teorema supongamos que para cada t entre x y x 0 se verifica que f (n+1) (t) K n+1 constante, entonces: f (x) P(x) x x0 (n+1) K n+1. (n + 1)!

12 Índice 1 Aproximación de funciones Introducción Propiedades de los polinomios 2 Polinomio de Taylor Polinomio de Lagrange Polinomio de Newton Convergencia de los polinomios de interpolación Interpolación de Hermite 3 Interpolación Segmentaria Interpolación lineal segmentaria Interpolación cúbica de Hermite a trozos

13 Problema de interpolación de Lagrange Problema de interpolación de Lagrange Dados un entero n no negativo, n + 1 puntos x 0,..., x n R distintos dos a dos y los correspondientes valores f (x 0),..., f (x n) de una función, encontrar un polinomio P(x) de grado n tal que P(x 0) = f (x 0), P(x 1) = f (x 1),..., P(x n) = f (x n). Teorema El problema de interpolación de Lagrange tiene solución única, que se denomina polinomio interpolador de Lagrange de grado n de la función f en los puntos x 0,..., x n.

14 Polinomio interpolador de Lagrange x f (x) Millones de habitantes Año (+2000)

15 Polinomio interpolador de Lagrange x f (x) Millones de habitantes Año (+2000) P(x) = 0, x 4 + 0, x 3 3, x , x + 32,

16 Polinomio interpolador de Lagrange n + 1 puntos x 0,..., x n R, distintos dos a dos, y los valores f (x 0),..., f (x n) P(x) = a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 + a n x n Coeficientes Indeterminados a 0 + a 1 x a n 1 x n a n x0 n = f (x 0) a 0 + a 1 x a n 1 x n a n x1 n = f (x 1).. a 0 + a 1 x n + + a n 1 xn n 1 + a n xn n = f (x n) Forma de Lagrange Polinomios base de Lagrange, L j(x), j = 0,..., n L j(x) = (x x0)... (x xj 1) (x xj+1)... (x xn) n (x j x 0)... (x j x j 1) (x j x j+1)... (x j x = n) i=0 i j x x i x j x i Expresión explícita del polinomio interpolador P(x) = f (x 0)L 0(x) + f (x 1)L 1(x) + + f (x n)l n(x) = n n f (x j) j=0 i=0 i j x x i x j x i

17 Ejemplo x sen(x) sen (0,5) = 0, p 2(x) = 0 Interpolando en 0 y 1 se obtiene p 1(x) = 0 x , x Interpolando en 0, 1 y 2 se obtiene (x 1) (x 2) (x 0) (x 2) (x 0) (x 1) + 0, , (0 1) (0 2) (1 0) (1 2) (2 0) (2 1) x = 0,5 p 1(x) p 2(x)

18 Ejemplo sen(x) p 2 (x) p 1 (x) punto

19 Fórmula del error Teorema Sea f C n [a, b] y tal que f (n+1) existe en (a, b). Sean x 0,x 1,..., x n puntos distintos de [a, b] y sea P el polinomio interpolador de Lagrange de la función f en dichos puntos. Entonces, para cada x [a, b] existe un ξ x con m«ın (x 0,..., x n, x) < ξ x < m«ax (x 0,..., x n, x) tal que f (x) P(x) = (x x0)... (x xn) (n + 1)! f (n+1) (ξ x). Corolario En las hipótesis del teorema, si f (n+1) (x) K n+1 para todo x [a, b] entonces f (x) P(x) x x0... x xn Kn+1. (n + 1)!

20 Ejemplo x sen(x) sen (π/4) = 0, Interpolando en 0 y 1 se obtiene p 1 (x) = 0, x. Interpolando en 0 y 2 se obtiene q 1 (x) = 0, x. Interpolando en 0, 1 y 2 se obtiene p 2 (x) = 1,22849 x 0, x 2. Valor en x = π/4 Error Estimación del error p 1 (x) 0, , , q 1 (x) 0, , , p 2 (x) 0, , ,034119

21 Error en la interpolación lineal Interpolación Lineal Sea f C 2 ([a, b]) y llamemos h = b a. Si conocemos una cota M 2 de f (x) en [a, b] entonces el error cometido al usar interpolación lineal con x 0 = a y x 1 = b se puede acotar: f (x) p 1 (x) (x x 0)(x x 1 ) M 2. 2 y calculando el máximo el máximo de (x x 0 )(x x 1 ) en [a, b] se reduce a f (x) p 1 (x) h2 8 M 2 para todo x [a, b]

22 Índice 1 Aproximación de funciones Introducción Propiedades de los polinomios 2 Polinomio de Taylor Polinomio de Lagrange Polinomio de Newton Convergencia de los polinomios de interpolación Interpolación de Hermite 3 Interpolación Segmentaria Interpolación lineal segmentaria Interpolación cúbica de Hermite a trozos

23 Forma de Newton. Construcción por recurrencia Entero n 1, n + 1 puntos x 0,..., x n R distintos y una función f definida en ellos. P(x) = p n 1(x) + q n(x) = p n 1(x) + c n (x x 0)... (x x n 1) = p n 2(x) + q n 1(x) + c n (x x 0)... (x x n 1) = p n 2(x) + c n 1 (x x 0)... (x x n 2) +c n (x x 0)... (x x n 1) = P(x) = c 0 +c 1 (x x 0) +c 2 (x x 0)(x x 1) +c n (x x 0)... (x x n 1)

24 Diferencias divididas de una función. Entero n 1, n + 1 puntos x 0,..., x n R distintos y una función f definida en ellos. Definición Se denomina diferencia dividida de la función f en los puntos x 0,..., x n al coeficiente de x n en el desarrollo en potencias de x del correspondiente polinomio interpolador de Lagrange. Esta diferencia dividida se representa mediante f [x 0,..., x n]. El entero n se llama orden de la diferencia dividida. El valor de una diferencia dividida es independiente del orden en que se escriban sus argumentos. Para cualquier permutación σ: f [x 0, x 1,..., x n] = f [x σ(0), x σ(1),..., x σ(n) ]. Los coeficientes c i que aparecen en la forma de Newton del polinomio interpolador son diferencias divididas de la función: P(x) = f [x 0] +f [x 0, x 1] (x x 0) +f [x 0, x 1, x 2] (x x 0)(x x 1) +f [x 0, x 1,..., x n] (x x 0)... (x x n 1)

25 Cálculo de las diferencias divididas Teorema Si x 0,..., x n R son n + 1 puntos distintos en los que la función f está definida entonces f [x1,..., xn] f [x0,..., xn 1] f [x 0, x 1,..., x n] = x n x 0

26 Cálculo de las diferencias divididas Teorema Si x 0,..., x n R son n + 1 puntos distintos en los que la función f está definida entonces f [x1,..., xn] f [x0,..., xn 1] f [x 0, x 1,..., x n] = x n x 0 x 0 f [x 0 ] = f (x 0 ) p 0(x) = f [x 0]

27 Cálculo de las diferencias divididas Teorema Si x 0,..., x n R son n + 1 puntos distintos en los que la función f está definida entonces f [x1,..., xn] f [x0,..., xn 1] f [x 0, x 1,..., x n] = x n x 0 x 0 f [x 0 ] = f (x 0 ) x 1 f [x 1 ] = f (x 1 ) f [x 0, x 1 ] = f [x 1] f [x 0 ] x 1 x 0 p 1(x) = f [x 0] + f [x 0, x 1](x x 0)

28 Cálculo de las diferencias divididas Teorema Si x 0,..., x n R son n + 1 puntos distintos en los que la función f está definida entonces f [x1,..., xn] f [x0,..., xn 1] f [x 0, x 1,..., x n] = x n x 0 x 0 f [x 0 ] = f (x 0 ) x 1 f [x 1 ] = f (x 1 ) f [x 0, x 1 ] = f [x 1] f [x 0 ] x 1 x 0 x 2 f [x 2 ] = f (x 2 ) f [x 1, x 2 ] = f [x 2] f [x 1 ] f [x 0, x 1, x 2 ] = f [x 1, x 2 ] f [x 0, x 1 ] x 2 x 1 x 2 x 0 p 2(x) = f [x 0] + f [x 0, x 1](x x 0) + f [x 0, x 1, x 2](x x 0)(x x 1)

29 Cálculo de las diferencias divididas Teorema Si x 0,..., x n R son n + 1 puntos distintos en los que la función f está definida entonces f [x1,..., xn] f [x0,..., xn 1] f [x 0, x 1,..., x n] = x n x 0 x 0 f [x 0 ] = f (x 0 ) x 1 f [x 1 ] = f (x 1 ) f [x 0, x 1 ] x 2 f [x 2 ] = f (x 2 ) f [x 1, x 2 ] f [x 0, x 1, x 2 ] x 3 f [x 3 ] = f (x 3 ) f [x 2, x 3 ] f [x 1, x 2, x 3 ] f [x 0, x 1, x 2, x 3 ] = f [x 1, x 2, x 3 ] f [x 0, x 1, x 2 ] x 3 x 0 p 3(x) = f [x 0] + f [x 0, x 1](x x 0) + f [x 0, x 1, x 2](x x 0)(x x 1) + f [x 0, x 1, x 2, x 3](x x 0)(x x 1)(x x 2)

30 Ejemplo, Censo español siglo XXI. Datos Año Hab. (10 6 ) 40, , , , , Tabla de diferencias 1 40, , , , , , , , , , , , , , , Polinomio de grado 4, forma de Newton p 3 (x) = 40, , (x 1) 0, (x 1)(x 6) + 0, (x 1)(x 6)(x 7) 0, (x 1)(x 6)(x 7)(x 8).

31 Índice 1 Aproximación de funciones Introducción Propiedades de los polinomios 2 Polinomio de Taylor Polinomio de Lagrange Polinomio de Newton Convergencia de los polinomios de interpolación Interpolación de Hermite 3 Interpolación Segmentaria Interpolación lineal segmentaria Interpolación cúbica de Hermite a trozos

32 Convergencia de los polinomios de interpolación f función definida en el intervalo [a, b]. Consideramos una sucesión de puntos de interpolación en [a, b] cada vez más densa: Elegimos x (0) 0 [a, b], interpolamos y obtenemos p 0(x) = f (x (0) 0 ). Elegimos x (1) 0, x (1) 1 [a, b] distintos, interpolamos y obtenemos p 1(x). Elegimos x (2) 0, x (2) 1, x (2) 2 [a, b] distintos, interpolamos y obtenemos p 2(x). Elegimos x (n) 0, x (n) 1,..., x n (n) [a, b] distintos, interpolamos y obtenemos p n(x). Se cumple que l«ım pn(x) = f (x) para x [a, b]? n Aumentar el grado de los polinomios de interpolación no siempre es aconsejable.

33 Ejemplo de Runge f (x) = 1 en el intervalo [ 5, 5] 1 + x2 Para cada n = 1, 2,... se interpola en n + 1 abcisas equiespaciadas en [ 5, 5]: x (n) i = i/n, i = 0, 1,..., n y se obtiene el polinomio interpolador p n(x). Se tiene que l«ım pn(x) f (x) = para x > 3,63. n Función de Runge p 5 (x) p 10 (x)

34 Convergencia de los polinomios interpolantes Teorema (Faber) Para cualquier sucesión de nodos en las condiciones definidas anteriormente, existe una función continua f tal que ( ) l«ım m«ax p n n(x) f (x) =. x [a,b] Teorema (Marcinkiewicz) Para cada f C([a, b]), existe una disposición de nodos de interpolación en [a, b], como la definida anteriormente, para la que los polinomios de interpolación p n(x) verifican que ( ) l«ım m«ax p n n(x) f (x) = 0. x [a,b]

35 Índice 1 Aproximación de funciones Introducción Propiedades de los polinomios 2 Polinomio de Taylor Polinomio de Lagrange Polinomio de Newton Convergencia de los polinomios de interpolación Interpolación de Hermite 3 Interpolación Segmentaria Interpolación lineal segmentaria Interpolación cúbica de Hermite a trozos

36 Interpolación de Hermite Problema de interpolación de Hermite Dados una función f, k veces derivable en el intervalo [a, b], n + 1 puntos distintos x 0, x 1,..., x n [a, b] y n + 1 números naturales m 0, m 1,..., m n, con m i k para i = 0,..., n, encontrar un polinomio p N(x) de grado menor o igual que N = m 0 + m m n + n tal que f (x i) = p N(x i), f (x i) = p N(x i),..., f (m i) (x i) = p (m i) N (x i) para i = 0,..., n. En este caso se dice que p N(x) interpola a f (x) en m 0 +1 {}}{ x 0,..., x 0, m 1 +1 {}}{ x 1,..., x 1,..., m n+1 {}}{ x n,..., x n Teorema El problema de interpolación de Hermite tiene una solución y ésta es única

37 Interpolación de Hermite: casos particulares En el caso n = 0 el polinomio de Hermite es el Polinomio de Taylor de grado m 0. En el caso m 0 = m 1 = = m n = 0 el polinomio de Hermite es el Polinomio interpolador de Lagrange. El caso m 0 = m 1 = = m n = 1 se denomina polinomio de Hermite estricto.

38 Interpolación de Hermite: Fórmula del error Teorema Sean x 0, x 1,..., x n [a, b] n + 1 puntos distintos, m 0, m 1,..., m n n + 1 números naturales, y f C N ([a, b]) y tal que existe f (N+1) en (a, b) con N = m 0 + m m n + n. Si p N(x) es el polinomio interpolador de Hermite asociado entonces para cada x [a, b] existe un punto ξ x tal que m«ın(x 0,..., x n, x) < ξ x < m«ax(x 0,..., x n, x) verificando f (x) p N(x) = (x x0)m (x x n) mn+1 f (N+1) (ξ x). (N + 1)! Corolario En las hipótesis del teorema, si f (N+1) (x) K N+1 para todo x [a, b] entonces f (x) P N(x) x x0 m x x n mn+1 K N+1. (N + 1)!

39 Interpolación de Hermite: Diferencias Divididas con Nodos Repetidos m 0 +1 {}}{ x 0,..., x 0, m 1 +1 {}}{ x 1,..., x 1,..., m n+1 {}}{ x n,..., x n Supongamos que x i < x i+1 para i = 0,..., n 1 y renombremos la sucesión anterior como z i con i = 0,..., N donde N = n + m 0 + m m n Teorema En las condiciones anteriores el polinomio interpolador de Hermite se puede escribir como: donde: p N(x) = f [z 0] + f [z i,..., z j] = N f [z 0, z 1,..., z k](x z 0)(x z 1) (x z k 1) k=1 f (j i) (z i), zj = zi ( zl = zi, i l j) (j i)! f [z i+1,..., z j] f [z i,..., z j 1] z j z i, z j z i

40 Ejemplo f (x) = cos x, [0, 1], x 0 = 0, x 1 = 1, m 0 = 2 y m 1 = 1 z 0 = 0, z 1 = 0, z 2 = 0, z 3 = 1 y z 4 = 1 p 4 (x) = f [z 0 ] + f [z 0, z 1 ](x z 0 ) + f [z 0, z 1, z 2 ](x z 0 )(x z 1 ) + f [z 0, z 1, z 2, z 3 ](x z 0 )(x z 1 )(x z 2 ) + f [z 0, z 1, z 2, z 3, z 4 ](x z 0 )(x z 1 )(x z 2 )(x z 3 ) , ,4597 0, ,4597 0, ,5403 0, , ,5403 p 4(x) = 1 0,5 x 2 + 0,0403 x 3 + 0, x 3 (x 1)

41 Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Interpolación lineal segmentaria Interpolación cúbica de Hermite a Índice 1 Aproximación de funciones Introducción Propiedades de los polinomios 2 Polinomio de Taylor Polinomio de Lagrange Polinomio de Newton Convergencia de los polinomios de interpolación Interpolación de Hermite 3 Interpolación Segmentaria Interpolación lineal segmentaria Interpolación cúbica de Hermite a trozos

42 Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Interpolación lineal segmentaria Interpolación cúbica de Hermite a Interpolación lineal segmentaria Definición Dado [a, b] y una partición : a = x 0 < x 1 < < x n = b. Denotamos con L(x) a una función que verifica: L(x) C([a, b]) y, para cada [x i 1, x i], i = 1,..., n, L(x) restringida a [x i 1, x i] coincide con un polinomio de grado menor o igual que 1. L(x) interpola a los datos (x i, y i) (i = 0,..., n) si verifica L(x i) = y i (i = 0,..., n) Millones de Habitantes Año (+1900)

43 Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Interpolación lineal segmentaria Interpolación cúbica de Hermite a Interpolación lineal segmentaria Evaluación Localizar el intervalo tal que x [x i, x i+1]. (Algoritmo de localización) L(x) = y i + (x x i) yi+1 yi x i+1 x i, x i x x i+1, i = 0,... n 1. Error Si y i = f (x i) con f C 2 [a, b]: L(x) f (x) 1 8 h2 m«ax x [x 0,x n] f (x) = O(h 2 ) donde h es la distancia máxima entre dos nodos adyacentes Derivada L yi+1 yi (x) =, x i < x < x i+1, i = 0, 1,... n 1. x i+1 x i L (x) f (x) = O(h), x x i, x 0 < x < x n.

44 Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Interpolación lineal segmentaria Interpolación cúbica de Hermite a Función de Runge f (x) = 1 1+x 2 L(x) interpolante lineal segmentaria determinado en n + 1 nodos equidistantes f(x) L 10 (x) L 4 (x) Nodos L 4 Nodos L 10 x j = 5 + j 10, j = 0, 1,..., n n n f L e e e e e e e e

45 Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Interpolación lineal segmentaria Interpolación cúbica de Hermite a Interpolación de Lagrange vs segmentaria Coste de evaluación en un punto Lagrange: se incrementa con el número de datos. Segmentaria: no crece con el número de nodos. Convergencia uniforme Lagrange: no está garantizado. Segmentaria: si Derivabilidad Lagrange: Indefinidamente derivable. Segmentaria: Sólo continua.

46 Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Interpolación lineal segmentaria Interpolación cúbica de Hermite a Índice 1 Aproximación de funciones Introducción Propiedades de los polinomios 2 Polinomio de Taylor Polinomio de Lagrange Polinomio de Newton Convergencia de los polinomios de interpolación Interpolación de Hermite 3 Interpolación Segmentaria Interpolación lineal segmentaria Interpolación cúbica de Hermite a trozos

47 Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Interpolación lineal segmentaria Interpolación cúbica de Hermite a Interpolación cúbica de Hermite a trozos Definición Dado [a, b] y una partición : a = x 0 < x 1 < < x n = b. Denotamos con C(x) a una función que verifica: C(x) C 1 ([a, b]) y, para cada [x i 1, x i], i = 1,..., n, C(x) restringida a [x i 1, x i] coincide con un polinomio de grado menor o igual que 3. C(x) interpola a la función f (x) si verifica C(x i) = f (x i) y C (x i) = f (x i) (i = 0,..., n) La fórmula del error para interpolación de Hermite: C(x) f (x) h4 384 m«ax f (4) (x), x 0 < x < x n x [x 0,x n] C(x) f (x) = O(h 4 ), x 0 < x < x n. C (x) f (x) = O(h 3 ), x 0 < x < x n. C (x) f (x) = O(h 2 ), x 0 < x < x n x x i. C (x) f (x) = O(h), x 0 < x < x n x x i.

48 Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Interpolación lineal segmentaria Interpolación cúbica de Hermite a Ejemplo Interpolación cúbica de Hermite a trozos C(x) = { x f (x) = sen(x) f (x) = cos(x) x 0,1585x 2 0,1426x 2 (x 1) si x [0, 1] 0, ,5403(x 1) 0,4724(x 1) 2 0,0115(x 1) 2 (x 2) si x [1, 2] El error que se comete es menor que 1/384. Por ejemplo sen (π/4) = 0, y C(π/4) = 0,706491