Cálculo: Polinomio de Taylor

Transcripción

1 Cálculo: Polinomio de Taylor Antonio Garvín Curso 04/05 El polinomio de Taylor Nos detendremos especialmente en el teorema de Taylor, justificando la introducción del polinomio de Taylor como la mejor aproximación lineal, cuadrática, y en general polinómica de una función en un punto. Haremos ver qué consecuencias teóricas y prácticas tiene el teorema de Taylor. Como ejemplo de las consecuencias teóricas deduciremos el criterio sobre máximos y mínimos, y desde un punto de vista más práctico aproximaremos el valor de algunas funciones acotando el error cometido. Enunciaremos las propiedades más importantes sobre los polinomios de Taylor y propondremos y calcularemos los polinomios de Taylor de las funciones usuales. Si f es derivable en a se tiene f(x) (f(a) + f (a)(x a)) lim = 0 x a x a en particular lim x a f(x) (f(a) + f (a)(x a)) = 0 Así pues si x a entonces f(x) f(a) + f (a)(x a). Ejemplo: f(x) = e x, f (x) = e x. Tomemos el punto a = 0. Si tomamos por ejemplo x = 0.0 f(0) = f (0) = e 0 = x 0 f(x) f(0) + f (0)(x 0) e x + (x 0) = + x e =.0

2 Fijémonos que en realidad estamos aproximando una función f por un polinomio de grado, p(x) = b 0 + b (x a)(= a 0 + a x si lo queremos expresar en la forma habitual que es centrado en 0 en lugar de a, donde a 0 = f(a) f (a)a y a = f (a)x). Este polinomio p viene caracterizado por la siguiente propiedad: p tiene grado, p coincide con el valor de f en a, y la derivada de p, p, coincide con el valor de la derivada de f,f, en a. p(x) = f(a) + f (a)(x a) p (x) = f (a) p(a) = f(a) p (a) = f (a) Evidentemente si f es derivable dos veces y f (a) 0 la segunda derivada de p no puede coincidir con la de f en a ya que al ser p de grado, todas sus derivadas son nulas a partir de p (x) = 0 = p (x) = = p (i) (x) i Podríamos sin embargo pensar en aproximar f por un polinomio de grado, en lugar de hacerlo con uno de grado. Es esperable que la aproximación sea mejor si le pedimos que se parezca más a f exigiendo además que p (a) = f (a). Cómo debe ser este polinomio? Será de la forma p(x) = a 0 +a x+a x para ciertos coeficientes a i R y deberá cumplir que p(a) = f(a), p (a) = f (a) y p (a) = f (a). Por facilidad para el cálculo de los coeficientes lo expresamos centrado en el punto a, esto es, en la forma p(x) = b 0 + b (x a) + b (x a) y buscamos determinar los coeficientes b i. Como se tiene que p(x) = b 0 + b (x a) + b (x a) p(a) = b 0 p (x) = b + b (x a) p (a) = b p (x) = b p (a) = b para que se cumplan las condiciones sobre las primeras derivadas, los coeficientes deben ser p(a) = f(a) b 0 = f(a) p (a) = f (a) b = f (a) p (a) = f (a) b = f (a) Por tanto el polinomio es p(x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a)

3 Observemos que los polinomios de grado 0, y que coinciden en a con f, con f y la derivada de f, y con f la derivada de f y la segunda derivada de f, son respectivamente. Ejemplo: p 0 (x) = f(a), p (x) = f(a) + f (a)(x a) p (x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) f(x) = log x, f (x) = x, f (x) = x. Tomemos el punto a =. si x está cerca de, log x 0 log x 0 + (log) ()(x ) = 0 + (x ) = x log x 0 + (x ) + (log) ()(x ) = (x ) (x ) = = (x ) (x x + ) = x x + x = x + x 3 Podemos pensar en aproximar por polinomios de grado mayor, 3, 4, o en general de un grado cualquiera y es esperable que cuanto más se parezca a la función, mejoren sean las aproximaciones. Así pues la pregunta que nos hacemos es: Cómo debe ser un polinomio de grado n para que coincidan en a sus derivadas, con todas las derivadas de f hasta orden n? Debe ser p(a) = f(a) p (a) = f (a) p (a) = f (a). p (n) (a) = f (n) (a) Si expresamos centrado en a, el polinomio y sus derivadas son p(x) = b 0 + b (x a) + b (x a) + b 3 (x a) b n (x a) n p (x) = b + b (x a) + 3b 3 (x a) + + nb n (x a) n 3

4 p (x) = b + 3 b 3 (x a) + + n (n )b n (x a) n p (x) = 3 b n (n ) (n )b n (x a) n 3. p (n) (x) = n (n ) (n ) b n Evaluando en a Igualando p(a) = b 0 p (a) = b p (a) = b p (a) = 3 b 3. p (n) (a) = n (n ) (n ) b n = b n b 0 = f(a) b = f (a) b = f (a) b 3 = f (a) 3! El polinomio es. b n = f (n) (a) p(x) = f(a)+f (a)(x a)+ f (a) que podemos expresar como n i=0 (x a) + f (a) 3! f (i) (a) (x a) i i! siendo f (0) = f, f () = f, f () = f, f (3) = f, etc. (x a) f (n) (a) (x a) n 4

5 .3 Definición: Al polinomio así construido que coincide con f y todas sus derivadas hasta el orden n en el punto x = a, se denomina polinomio de Taylor de orden n de la función f en el punto a. Lo escribimos como T n,f,a (x) T n,f,a (x) = n i=0 f (i) (a) i! (x a) i = f(a)+f (a)(x a)+ f (a) (x a) + + f (n) (a) (x a) n La notación se puede simplificar si se entiende por el contexto quien es el punto, la función y el orden y podremos escribir T n,f,a = T n,f = T n = T. Aproximar f(x) en el punto x = a f(x) T n,f,a (x). Qué error se comete al aproximar f? R n,f,a (x) = f(x) T n,f,a (x) Si una función es derivable se tiene que o lo que es lo mismo lim x a T (x) { }} { f(x) f(a) f (a)(x a) x a = 0 R (x) { }} { f(x) T (x) x a 0, x a R (x) lim x a x a = 0 Intuitivamente esto puede ser interpretado como que para valores de x muy cercanos a a, el error R (x) es menor que la diferencia entre x y a, ya que para que el límite sea 0 apartir de un lugar el numerador debe ser menor que el denominador. El siguiente resultado, que generaliza el hecho anterior, nos dice que cuanto mayor sea el orden la aproximación será mejor. 5

6 .4 Teorema: Si f es n veces derivable cerca de a (en un entorno de a) entonces, R n,f,a (x) lim x a (x a) n = 0 Suponiendo solo un poco más podemos podemos incluso dar una estimación del resto.5 Teorema: Si f es (n + ) veces derivable cerca de a, entonces. (Lagrange). (Cauchy) R n (x) = f (n+) (c) (n + )! (x a)n+ c entre x y a R n (x) = f (n+) (c) (x c) n (x a) c entre x y a 3. (Integral) R n (x) = x a f (n+) (t) (x t) n dt.6 (I) Consecuencia: Si f (n+) K entre a y x, entonces.7 Ejemplo: R n (x) K (n + )! x a n+ Calculemos cos 36 o con error menor que o = π/5rad, consideramos cos x en el punto x = π/5 Tenemos 0 = a x = π/5 f(x) = cos x f (x) = sen x f (x) = cos x f (x) = sen x 6

7 f (4) (x) = cos x f (5) (x) = sen x f (6) (x) = cos x f (7) (x) = sen x f(0) = f (0) = 0 f (0) = f (0) = 0 f (4) (0) = f (5) (0) = 0 T n,cos x,0 (x) = f(0)+f (0)(x 0)+ f (0) T n,cos x,0 (x) = }{{} (n=0) + x } {{ } (n=) (x 0) + f (0) 3! + 4 x4 + + ( ) n xn }{{} (n)! (n=) T n,cos x,0 (x) = x + x4 4! x6 6! + x8 xn + ( )n 8! (n)! f(π/5) T n (π/5) (x 0) f (n) (0) (x 0) n (n)! f(π/5) = T n (π/5) + R n (π/5) R n (π/5) = (cos x)n+ (c) (π/5 0) n+ (n + )! (n + )! < 0 4? (n + )! (π/5)n+ (n + )! < 0 4 (n + )! > 0 4 Si n = 4, 9! > 8! = > 0 4. n = 4 (n + )! cos π/5 = T 8 (π/5) + ɛ con ɛ < 0 4 cos π/5 = (π/5) + (π/5)4 4! (π/5)6 6! + (π/5)8 8! + ɛ 7

8 .8 (II) Consecuencia: Si f es (n + ) veces derivable cerca de a y si Entonces: f (a) = f (a) = = f (n ) (a) = 0, y f (n) (a) 0. Si n es par y f (n) (a) > 0 = a es un mínimo local.. Si n es par y f (n) (a) < 0 = a es un máximo local. 3. Si n es impar = a es un punto de inflexión..9 Propiedades: α, β R, f y g funciones. () T n (αf + βg) = αt n (f) + βt n (g) () T n (f g) = T n (f) T n (g) {términos de orden > n} (3) T n (f/g) = T n(f) T n (g) haciendo división larga hasta n (4) T n (f g) = T n (f) T n (g) {términos de orden > n} (5) [T n (f)] = T n (f ) (6) (6) x a T n (f)(t)dt = T n+ ( T n (f) = T n+ ( x a )f(t)dt f) + K, K R..0 Algunos ejemplos: Vamos a calcular los polinomios de Taylor de: e x e x, sen x, cos x,, log( x), log( x), log( + x), x, arctag (x), senh (x), cosh(x) (en x = 0) + x 8

9 Inmediato T n,e x,0(x) = + x + x! + x3 3! + + xn sen x f(x) = sen x f (x) = cos x f (x) = sen x f (x) = cos x 0 0 f iv f v f vi f vii f viii f ix T n+, sen,0(x) = x x3 3! + x5 5! x7 xn+ + + ( )n 7! (n + )! cos x Ya lo hemos hecho. Veamoslo de otra forma. [T n (f)] = T n (f ) T n (cos(x)) = (T n+ ( sen (x)) = (x x3 3! + x5 xn+ + ( )n 5! (n + )! ) = x = x + x4 4! x6 xn + + ( )n 6! (n)! T n () =, T n ( x) = x T n ( x ) = T n() por división larga hasta n T n ( x) x ( x) + x + x + + x n x (x x ) x (x x 3 ) x 3 x n (x n x n+ ) 9

10 x n+ T n, x,0(x) = + x + x + + x n /( + x) Se puede hacer por división larga. Hagamoslo de otra forma: R ( x) R (/( x)) R x x /( ( x)) = +x ( + x ) = ( x ) ( x) Al ser T n (/( + x)) = T n (/( x)) T n ( x) = T n (/( x)(t n ( x)) = = T n (/( x)( x) = + ( x) + ( x) + + ( x) n = log( x) (log( x)) = T n f = T n+ T n+ ( log( x)) = = + x + x x ( ) n x n x, por tanto ( log( x)) = x f + K, tomando f(x) = x T n (/( x)) = + x + x + + x n = = x + x + x3 3 + xn+ n + + K Como el término independiente del polinomio de Taylor de g en a es g(a), se tiene que K = 0, de donde log( x) T n ( log( x)) = x + x + x3 3 + xn n 0

11 T n (αf) = αt n (f), α R, f una función. Si tomamos α = y f = log( x), se tiene log( + x) T n (log( x)) = x x x3 3 xn n R ( x) R log( x) R x x log( ( x)) = log( + x) T n (log( + x)) = T n (log( x)) T n ( x) = T n (log( x))( x) T n (log( + x)) = ( x) ( x) ( x)3 3 = x x + x3 xn + + ( )n+ 3 n /( + x ) Se puede hacer como Composición, + + ( x)n n = R (x ) R /(+x) R x x +x o por División larga + x En cualquier caso se obtiene: T n, +x,0(x) = x + x 4 x 6 + x ( ) n x n arctag (x) se tiene: Integrando el resultado anterior, y salvo una constante C x3 T n+, arctag x,0 (x) + C = x 3 + x5 5 x7 7 + x9 xn+ + + ( )n 9 n + Por ser arctag (0) = 0 = C = 0. senh x y cosh x

12 senh x = ex e x cosh x = ex + e x T e x = + x + x! + x3 3! + x4 4! + + xn T e x = x + x! x3 3! + x4 xn + + ( )n 4! x3 T n+, senh x,0 (x) = x + 3! + x5 5! + + xn+ (n + )! T n,cosh x,0 (x) = + x + x4 4! + + xn (n)!