Series de potencias (II)
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- Juan Antonio Muñoz Acuña
- hace 9 años
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1 Series de potencias (II)
2 Álgebra de series de potencias
3 Ejemplo (suma de series) Calcular la serie de McLaurin de la función senh(x). senh(x) = ex e x = ( ) exp(x) exp( x) senh(x) = ( x 3 (+! +x! +x 3! + ) ( x 3! +x! x 3! + )) = x! + x 3 3! + x 5 5! + válido para todo x R Del mismo modo: cosh(x) = + x! + x 4 4! + x 6 6! + x R
4 Ejemplo (suma de series) Calcular la serie de McLaurin de la función senh(x). senh(x) = ex e x = ( ) exp(x) exp( x) senh(x) = ( x 3 (+! +x! +x 3! + ) ( x 3! +x! x 3! + )) = x! + x 3 3! + x 5 5! + válido para todo x R Del mismo modo: cosh(x) = + x! + x 4 4! + x 6 6! + x R
5 Ejemplo (suma de series) Calcular la serie de McLaurin de la función senh(x). senh(x) = ex e x = ( ) exp(x) exp( x) senh(x) = ( x 3 (+! +x! +x 3! + ) ( x 3! +x! x 3! + )) = x! + x 3 3! + x 5 5! + válido para todo x R Del mismo modo: cosh(x) = + x! + x 4 4! + x 6 6! + x R
6 Ejemplo (producto de series) +x Calcular la serie de McLaurin de la función f (x) =. +x + x f (x) = + x = ( + x) ( + x ) (+x) = ( / 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) / / + x+ x / + x 3 / + x 4 + = x 8 x + 6 x 3 8 x 4 + para todo x (, +) ( ) ( ) ( ) ( + x ) / / = + x / + (x ) + = 0 Multiplicando: f (x) = = x x 4 +, x (, +) + x + x = (+x) (+x ) = + x+( 8 ) x + ( 4 + ) x 3 + 6
7 Ejemplo (producto de series) +x Calcular la serie de McLaurin de la función f (x) =. +x + x f (x) = + x = ( + x) ( + x ) (+x) = ( / 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) / / + x+ x / + x 3 / + x 4 + = x 8 x + 6 x 3 8 x 4 + para todo x (, +) ( ) ( ) ( ) ( + x ) / / = + x / + (x ) + = 0 Multiplicando: f (x) = = x x 4 +, x (, +) + x + x = (+x) (+x ) = + x+( 8 ) x + ( 4 + ) x 3 + 6
8 Ejemplo (producto de series) +x Calcular la serie de McLaurin de la función f (x) =. +x + x f (x) = + x = ( + x) ( + x ) (+x) = ( / 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) / / + x+ x / + x 3 / + x 4 + = x 8 x + 6 x 3 8 x 4 + para todo x (, +) ( ) ( ) ( ) ( + x ) / / = + x / + (x ) + = 0 Multiplicando: f (x) = = x x 4 +, x (, +) + x + x = (+x) (+x ) = + x+( 8 ) x + ( 4 + ) x 3 + 6
9 Ejemplo (producto de series) +x Calcular la serie de McLaurin de la función f (x) =. +x + x f (x) = + x = ( + x) ( + x ) (+x) = ( / 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) / / + x+ x / + x 3 / + x 4 + = x 8 x + 6 x 3 8 x 4 + para todo x (, +) ( ) ( ) ( ) ( + x ) / / = + x / + (x ) + = 0 Multiplicando: f (x) = = x x 4 +, x (, +) + x + x = (+x) (+x ) = + x+( 8 ) x + ( 4 + ) x 3 + 6
10 Ejemplo (producto de series) +x Calcular la serie de McLaurin de la función f (x) =. +x + x f (x) = + x = ( + x) ( + x ) (+x) = ( / 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) / / + x+ x / + x 3 / + x 4 + = x 8 x + 6 x 3 8 x 4 + para todo x (, +) ( ) ( ) ( ) ( + x ) / / = + x / + (x ) + = 0 Multiplicando: f (x) = = x x 4 +, x (, +) + x + x = (+x) (+x ) = + x+( 8 ) x + ( 4 + ) x 3 + 6
11 Ejemplo (sustitución de una SP en otra) Como exp(x) = + x! + x! + x 3 + x R, entonces 3! exp(sen(x)) = + sen(x)! + sen (x)! + sen3 (x) 3! + Como sen(x) = x x 3 3! + x 5 + x R, sustituyendo: 5! exp(sen(x)) = + (x x 3! 3! + x ) 5 5! + + (x x 3! 3! + x ) 5 5! ! (x x 3 3! + x ) 5 3 5! + + (x x 3 4! 3! + x ) 5 4 5! + + = exp(sen(x)) = + x + x 8 x 4 +
12 Ejemplo (sustitución de una SP en otra) Como exp(x) = + x! + x! + x 3 + x R, entonces 3! exp(sen(x)) = + sen(x)! + sen (x)! + sen3 (x) 3! + Como sen(x) = x x 3 3! + x 5 + x R, sustituyendo: 5! exp(sen(x)) = + (x x 3! 3! + x ) 5 5! + + (x x 3! 3! + x ) 5 5! ! (x x 3 3! + x ) 5 3 5! + + (x x 3 4! 3! + x ) 5 4 5! + + = exp(sen(x)) = + x + x 8 x 4 +
13 Ejemplo (sustitución de una SP en otra) Como exp(x) = + x! + x! + x 3 + x R, entonces 3! exp(sen(x)) = + sen(x)! + sen (x)! + sen3 (x) 3! + Como sen(x) = x x 3 3! + x 5 + x R, sustituyendo: 5! exp(sen(x)) = + (x x 3! 3! + x ) 5 5! + + (x x 3! 3! + x ) 5 5! ! (x x 3 3! + x ) 5 3 5! + + (x x 3 4! 3! + x ) 5 4 5! + + = exp(sen(x)) = + x + x 8 x 4 +
14 Ejemplo (división de SP) Calcular la serie de McLaurin de la función f (x) = sec(x) = cos(x). Como sabemos que cos(x) = x! + x 4 + x R, llamamos 4! sec(x) = d 0 + d x + d x + d 3 x 3 + d 4 x 4 + y tenemos que calcular los d i tales que sec(x) = sec(x) cos(x) = cos(x) ( d 0 + d x + d x + d 3 x 3 + d 4 x 4 + ) ( x! + x 4 ) 4! + Término en x 0 : d 0 = d 0 = Término en x : d d = 0 d = 0 Término en x : d 0 ( ) + d 0 + d = 0 d = Término en x 3 : d d ( ) + d 0 + d 3 = 0 d 3 = 0 Término en x 4 : d 0 ( ) + d 4! 0 + d ( ) + d d 4 = 0 d 4 = 5 4 sec(x) = + x x 4 + =
15 Ejemplo (división de SP) Calcular la serie de McLaurin de la función f (x) = sec(x) = cos(x). Como sabemos que cos(x) = x! + x 4 + x R, llamamos 4! sec(x) = d 0 + d x + d x + d 3 x 3 + d 4 x 4 + y tenemos que calcular los d i tales que sec(x) = sec(x) cos(x) = cos(x) ( d 0 + d x + d x + d 3 x 3 + d 4 x 4 + ) ( x! + x 4 ) 4! + Término en x 0 : d 0 = d 0 = Término en x : d d = 0 d = 0 Término en x : d 0 ( ) + d 0 + d = 0 d = Término en x 3 : d d ( ) + d 0 + d 3 = 0 d 3 = 0 Término en x 4 : d 0 ( ) + d 4! 0 + d ( ) + d d 4 = 0 d 4 = 5 4 sec(x) = + x x 4 + =
16 Ejemplo (división de SP) Calcular la serie de McLaurin de la función f (x) = sec(x) = cos(x). Como sabemos que cos(x) = x! + x 4 + x R, llamamos 4! sec(x) = d 0 + d x + d x + d 3 x 3 + d 4 x 4 + y tenemos que calcular los d i tales que sec(x) = sec(x) cos(x) = cos(x) ( d 0 + d x + d x + d 3 x 3 + d 4 x 4 + ) ( x! + x 4 ) 4! + Término en x 0 : d 0 = d 0 = Término en x : d d = 0 d = 0 Término en x : d 0 ( ) + d 0 + d = 0 d = Término en x 3 : d d ( ) + d 0 + d 3 = 0 d 3 = 0 Término en x 4 : d 0 ( ) + d 4! 0 + d ( ) + d d 4 = 0 d 4 = 5 4 sec(x) = + x x 4 + =
17 Ejemplo (división de SP) Calcular la serie de McLaurin de la función f (x) = sec(x) = cos(x). Como sabemos que cos(x) = x! + x 4 + x R, llamamos 4! sec(x) = d 0 + d x + d x + d 3 x 3 + d 4 x 4 + y tenemos que calcular los d i tales que sec(x) = sec(x) cos(x) = cos(x) ( d 0 + d x + d x + d 3 x 3 + d 4 x 4 + ) ( x! + x 4 ) 4! + Término en x 0 : d 0 = d 0 = Término en x : d d = 0 d = 0 Término en x : d 0 ( ) + d 0 + d = 0 d = Término en x 3 : d d ( ) + d 0 + d 3 = 0 d 3 = 0 Término en x 4 : d 0 ( ) + d 4! 0 + d ( ) + d d 4 = 0 d 4 = 5 4 sec(x) = + x x 4 + =
18 Ejemplo (división de SP) Calcular la serie de McLaurin de la función f (x) = sec(x) = cos(x). Como sabemos que cos(x) = x! + x 4 + x R, llamamos 4! sec(x) = d 0 + d x + d x + d 3 x 3 + d 4 x 4 + y tenemos que calcular los d i tales que sec(x) = sec(x) cos(x) = cos(x) ( d 0 + d x + d x + d 3 x 3 + d 4 x 4 + ) ( x! + x 4 ) 4! + Término en x 0 : d 0 = d 0 = Término en x : d d = 0 d = 0 Término en x : d 0 ( ) + d 0 + d = 0 d = Término en x 3 : d d ( ) + d 0 + d 3 = 0 d 3 = 0 Término en x 4 : d 0 ( ) + d 4! 0 + d ( ) + d d 4 = 0 d 4 = 5 4 sec(x) = + x x 4 + =
19 Álgebra de series de potencias
20 El Sea f : [0, R] R una función continua tal que f (x) = n 0 a nx n para todo x [0, R). Si la serie a n R n es convergente entonces a n R n = f (R). Lo mismo ocurre con el intervalo [ R, 0]. Ejemplo: log( + x) y cálculo de la suma de la serie armónica alternada Ejemplo: arctg(x) y cálculo de una serie que sume π/4 (serie de Gregory) Ejemplo: cálculo de la suma de la serie subarmónica
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21 El Sea f : [0, R] R una función continua tal que f (x) = n 0 a nx n para todo x [0, R). Si la serie a n R n es convergente entonces a n R n = f (R). Lo mismo ocurre con el intervalo [ R, 0]. Ejemplo: log( + x) y cálculo de la suma de la serie armónica alternada Ejemplo: arctg(x) y cálculo de una serie que sume π/4 (serie de Gregory) Ejemplo: cálculo de la suma de la serie subarmónica
22 El Sea f : [0, R] R una función continua tal que f (x) = n 0 a nx n para todo x [0, R). Si la serie a n R n es convergente entonces a n R n = f (R). Lo mismo ocurre con el intervalo [ R, 0]. Ejemplo: log( + x) y cálculo de la suma de la serie armónica alternada Ejemplo: arctg(x) y cálculo de una serie que sume π/4 (serie de Gregory) Ejemplo: cálculo de la suma de la serie subarmónica
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