FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS PARA LA ECONOMÍA

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1 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS PARA LA ECONOMÍA Manuel Úbeda Flores

2 Fundamentos matemáticos para la Economía Manuel Úbeda Flores ISBN: Depósito legal: A Edita: Editorial Club Universitario. Telf.: C/ Decano, San Vicente (Alicante) ecu@ecu.fm Printed in Spain Imprime: Imprenta Gamma. Telf.: C/ Cottolengo, San Vicente (Alicante) gamma@gamma.fm Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o transmitirse por ningún procedimiento electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación magnética o cualquier almacenamiento de información o sistema de reproducción, sin permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.

3 Índice general 1. Funciones reales de variable real. Límites y continuidad Introducción Primeras definiciones Función real de variable real Monotonía Acotación Extremos de una función Funciones elementales Operaciones con funciones Límites y continuidad Límites Continuidad Teoremas sobre funciones continuas Funciones económicas Ejercicios propuestos Derivación de funciones reales de variable real Introducción Definición e interpretación geométrica Primeras derivadas Reglas de derivación Derivadas de algunas funciones elementales Tasas de variación: marginalidad Derivadas de orden superior Teoremas fundamentales sobre derivación Crecimiento, extremos y concavidad Optimización La elasticidad de la demanda Ejercicios propuestos

4 3. Integración de funciones reales de variable real Introducción Primitivas de una función. Integral indefinida Métodos de integración Integración inmediata: tabla de primitivas Integración por cambio de variable Integración por partes Integral definida Definiciones y propiedades Cálculo de integrales definidas Integrales impropias Aplicaciones de las integrales (I): cálculo de áreas Área determinada por la gráfica de una función y el eje OX Área limitada por la gráfica de dos funciones Aplicaciones de las integrales (II): superávit de los consumidores y de los productores Ejercicios propuestos Series geométricas Introducción Definiciones y propiedades Series geométricas. Cálculo de su suma Ejemplos con aplicaciones Ejercicios propuestos Matrices y determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales Introducción Matrices Definiciones Tipos de matrices Operaciones con matrices Inversa de una matriz cuadrada Traspuesta de una matriz Potencia entera de una matriz cuadrada Transformaciones elementales Determinantes de matrices cuadradas Definición y cálculo de determinantes Propiedades de los determinantes

5 5.5. Sistemas de ecuaciones lineales Definiciones y discusión de sistemas Métodos de resolución de sistemas Modelo input-output de Leontief Ejercicios propuestos Diagonalización de matrices cuadradas Introducción Definiciones y primeros resultados Aplicaciones de la diagonalización Cálculo de potencias de matrices Sistemas dinámicos a lo largo del tiempo Ejercicios propuestos Funciones reales de varias variables reales Introducción Primeras definiciones. Curvas de nivel Límites y continuidad en funciones de varias variables Derivadas parciales Definiciones Aplicaciones Extremos de funciones Extremos sin condicionamiento Extremos condicionados Funciones homogéneas Definición y propiedades Función de producción Cobb-Douglas Ejercicios propuestos Bibliografía básica 129 5

6 Prefacio Este libro de texto está enfocado, fundamentalmente, como material docente de la asignatura de Matemáticas para los alumnos de los primeros cursos de los grados en: Administración y Dirección de Empresas; Economía; Finanzas y Contabilidad; y Marketing e Investigación de Mercados. El libro supone una buena herramienta de estudio encaminada al aprendizaje de las Matemáticas y algunas de sus aplicaciones en la Economía, proporcionando problemas resueltos relacionados con la materia. La obra está enfocada a la práctica, si bien aborda la teoría necesaria para resolver los ejercicios; de hecho, no se proporcionan demostraciones teóricas de los principales resultados. Se recogen desde problemas básicos que sirven de introducción y comprensión de las lecciones teóricas, hasta ejercicios de mayor complejidad y profundidad aplicados, en muchas ocasiones, a situaciones reales. De esta manera, se recurre frecuentemente a enunciados de tipo económico y empresarial que muestran al lector la relación entre ambas ciencias. Se desarrollan temas clásicos del Análisis Matemático funciones reales de variable real, derivación e integración de funciones reales de variable real, series geométricas y funciones reales de varias variables reales y del Álgebra Lineal matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales y diagonalización. Al final de cada capítulo se proponen una serie de ejercicios relacionados con el tema. El autor Almería, septiembre de

7 Capítulo 1 Funciones reales de variable real. Límites y continuidad 1.1. Introducción Son muchos los ejemplos en los que el uso de funciones describe situaciones cotidianas: la función de posición de un móvil, su velocidad y aceleración, etc. También puede ser interesante conocer el valor en torno al que tiende a estabilizarse en el límite una función de beneficios o de costes, una determinada población de animales, etc. El siguiente problema muestra la utilidad del estudio detallado de las funciones de una variable. Problema 1 Un agricultor desea adquirir cierto tipo de abono para sus plantaciones. La industria que lo vende tiene la siguiente política de precios: para los primeros 100 kg, el precio es de 0,30 euros el kg; a partir de 100 kg el precio baja a 0,26 euros; a partir de 1000 kg el precio desciende a 0,20 euros. a) Determinar la función de coste C(x) que a un número x de kg le asocia la cantidad que el agricultor debe pagar por ella C(x) (en una sola compra). b) Cuánto le costaría al agricultor comprar 990 kg? c) Si el agricultor quiere comprar tantos kg como pueda, y dispone de 800 euros, cuántos kg de abono comprará? 9

8 1.2. Primeras definiciones Función real de variable real Definición 1 Una función real de variable real f : A R es una aplicación que asigna a cada punto x A R el valor f(x) R. A la variable x se le denomina variable independiente, mientras que a la y se le llama variable dependiente. Definición 2 Se define el dominio de una función real de variable real f como el conjunto Dom(f) = {x A: existe f(x)}. Ejemplo 1 Determine el dominio de la función f(x) = x 1 x 2 + x 2. El dominio de la función f es el conjunto formado por todos los números reales que no anulan el denominador. Como las dos raíces (reales) de la ecuación x 2 + x 2 = 0 son x = 1 y x = 2, tenemos que Dom(f) = R { 2, 1}. Definición 3 Se define la imagen de una función real de variable real f como el conjunto Im(f) = {y R: existe x A, con f(x) = y}. Ejemplo 2 Dada la función g(x) = x 2, al ser el cuadrado de cualquier número un valor positivo (incluido el cero), se tiene que Im(g) = [0, + ). Definición 4 La gráfica de una función real de variable real f es el conjunto (Véase figura 1.1). Graf(f) = {(x, y) R 2 : y = f(x)} Monotonía Definición 5 Una función f : A R es monótona creciente (decreciente) en el intervalo (a, b) A si para todo x 1 y x 2 de (a, b) tales que x 1 < x 2, entonces f(x 1 ) f(x 2 ) (f(x 1 ) f(x 2 )). La función es estrictamente creciente (decreciente) cuando se produce la desigualdad estricta, esto es, f(x 1 ) < f(x 2 ) (f(x 1 ) > f(x 2 )). En la figura 1.2 vemos un ejemplo sobre los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función. 10

9 Y Eje de ordenadas f(x) b=f(a) (a,b) a X Figura 1.1: Gráfica de una función Eje de abscisas a b c decreciente creciente Figura 1.2: Ejemplo de crecimiento y decrecimiento de una función Acotación Definición 6 Una función f : A R está acotada superiormente (inferiormente) si existe M R (m R) tal que f(x) M (f(x) m) para todo x A. La función f está acotada si lo está superior e inferiormente. En la figura 1.3 se ven algunos ejemplos de gráficas de funciones acotadas en sus distintos tipos Extremos de una función Definición 7 Una función f tiene un mínimo local o relativo en el punto x 0 si existe un δ > 0 tal que f(x 0 ) f(x) para todo x (x 0 δ, x 0 + δ); es 11

10 Función acotada inferiormente Función acotada superiormente Función acotada Figura 1.3: Ejemplos de funciones acotadas decir, en x 0 la función pasa de decreciente a creciente. Definición 8 Una función f tiene un máximo local o relativo en el punto x 0 si existe un δ > 0 tal que f(x 0 ) f(x) para todo x (x 0 δ, x 0 + δ); es decir, en x 0 la función pasa de creciente a decreciente. Definición 9 Una función f(x) tiene en el punto x 0 un mínimo absoluto o global si se verifica que f(x 0 ) f(x) para todos los valores x del dominio de la función. Definición 10 Una función f(x) tiene en el punto x 0 un máximo absoluto o global si se verifica que f(x 0 ) f(x) para todos los valores x del dominio de la función. En la figura 1.4 se aportan algunas gráficas con distintos máximos o mínimos. x x 1 2 ni ni mínimo máximo máximo relativo mínimo relativo mínimo global Figura 1.4: Ejemplos de existencia de máximos y mínimos 12

11 1.3. Funciones elementales Función polinómica: donde a i R, n IN. Función racional: f(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, f(x) = p(x) q(x), donde p(x) y q(x) son funciones polinómicas. Funciones trigonométricas: f(x) = sen(x), g(x) = cos(x), h(x) = tg(x) j(x) = cosec(x), k(x) = sec(x), l(x) = cotg(x) m(x) = arcsen(x), n(x) = arc cos(x), ñ(x) = arctg(x), etc. Función exponencial: f(x) = a x, donde a > 0. En particular, si a = e 2,71 entonces f(x) = e x. Función logarítmica: f(x) = log a (x), siendo el dominio A R + {0}, y a > 0 con a 1. En particular, si a = e entonces f(x) = ln(x) (función logaritmo neperiano). Función irracional: f(x) = n x p = x p/n, siendo n y p dos números naturales. Función valor absoluto: x = { x si x 0 x si x < 0. Funciones definidas a trozos: Son funciones definidas con distintas expresiones según el intervalo considerado. Por ejemplo, la función valor absoluto. 13

12 1.4. Operaciones con funciones Definición 11 Dadas dos funciones f y g con dominio común D, y c R, se define: Suma de f y g: (f + g)(x) = f(x) + g(x). Producto de f por un escalar: (c f)(x) = c f(x). Producto de f y g: (f g)(x) = f(x) g(x). ( ) f Cociente de f y g: (x) = f(x), siempre que g(x) 0. g g(x) Definición 12 Dadas dos funciones f : A R y g : B R tales que Im(f) Dom(g), se define la composición de f y g, y se denota (g f), como la función definida por (g f)(x) = g(f(x)). En general, la composición de funciones no es conmutativa. Ejemplo 3 Dadas las funciones f(x) = x + 1 y g(x) = x 2, se tiene: (g f)(x) = g(f(x)) = g(x + 1) = (x + 1) 2 (f g)(x) = f(g(x)) = f(x 2 ) = x Límites y continuidad Límites Definición 13 Dada una función f definida en un intervalo [a, b] y un punto x 0 (a, b), se dice que la función f tiene límite L R en el punto x 0, y se denota lím x x 0 f(x) = L, si para todo ε > 0, existe δ(ε) > 0 tal que si 0 < x x 0 < δ, entonces f(x) L < ε. 14