Funciones Reales. MathCon c

Transcripción

1 Funciones Reales z x y MathCon c

2 Contenido. Introducción.. Definición de función Ejemplos de funciones Funciones básicas Clasificación de funciones básicas Ejemplos sobre monotonía de funciones Ejemplos sobre inyectividad y sobreyectividad de funciones Ejemplos sobre composición de funciones Ejemplos sobre inversa de funciones Uso de funciones en modelos concretos Límites de funciones.. Límites con ǫ δ Límites con simple evaluación Límites con una diferencia de cuadrados o factorización Límites obtenidos multiplicando por el conjugado Ejercicios

3 Introducción.. Definición de función Definición Sean A, B dos conjuntos diferentes del vacío, entonces se define al producto cartesiano como el conjunto A B = {(a,b) a A, b B} A = {,,},B = {,,,}, A B = {(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}

4 .. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Definición Sea R un subconjunto de un producto cartesiano A B, R se llama relación. Definición Si R A B es una relación tal que (a,b),(a,c) R solo sí b = c, entonces R se llama función. Al conjunto A se le conoce como dominio y a B contradominio o codominio.... Ejemplos de funciones Ejemplo de función

5 .. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Ejemplo de función Ejemplo de no función

6 .. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Más ejemplos de funciones:. A = { conjunto de personas }, B = { conjunto de números reales }, R asocia a cada persona su estatura en un tiempo fijo.. A = { conjunto de estudiantes }, B = { conjunto de números reales }, R asocia a cada estudiante su promedio del bachillerato.. A = { conjunto de estudiantes }, B = { conjunto de números reales }, R asocia a cada estudiante el número de libros que ha leído.. A = { conjunto de libros }, B = { conjunto de números reales }, R asocia a cada libro el número de páginas que tiene.. A = { conjunto de coches }, B = { conjunto de números reales }, R asocia a cada coche el número de kilómetros recorridos.. A = { días del año }, B = { conjunto de números reales }, R asocia a cada día el IPC de la BMV. 7. A = { conjunto de algoritmos }, B = { conjunto de números reales }, R asocia a cada algoritmo su tiempo de ejecución en una PC con procesador PIII. 8. A = { conjunto de edificios }, B = { conjunto de números reales }, R asocia a cada edificio el número de ventanas. 9. A = { conjunto de alimentos }, B = { conjunto de números reales }, R asocia a cada alimento la cantidad de proteínas. 0. A = { conjunto de reales positivos }, B = { conjunto de autos }, R asocia al tiempo t la velocidad que lleva.. A = { conjunto de reales positivos }, B = { conjunto de particulas }, R asocia al tiempo t la posición de la partícula.. A = { conjunto de reales positivos }, B = { conjunto de aviones }, R asocia al tiempo t la velocidad de un avión.. A = { conjunto de paises }, B = { conjunto de reales }, R asocia a cada país su PIB.

7 .. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Propiedades básicas de funciones:. Si A es el dominio de una función, B su contradominio, se suele denotar a una función como f : A B.. Una función es sobre si b B existe a A tal que (a,b) R.. Una función es inyectiva si (a, b),(c, b) R entonces a = c.. Si una función es sobre e inyectiva se llama biyectiva.. Si (a,b) R (es un elemento de una función), también se suele escribir como a b.. Dado un elemento a en el dominio A, y (a,b) f, entonces b se llama imagen de a y se denota como f(a) = b. 7. Dado un elemento b B, el conjunto de elementos a A, tales que f(a) = b se llama imagen inversa de b. Más ejemplos de funciones:. f : R R, x x. Es la función que a cada número le asocia su cuadrado.. f : R R, x x +. Es la función que a cada número le asocia el mismo número más dos.. f : R R, x x. Es la función que a cada número le asocia su raíz cuadrada.. f : R R, x x. Es la función que a cada número le asocia su inverso aditivo.. f : R {0} R, x x. Es la función que a cada número le asocia su inverso multiplicativo.. f : R {0} R, x x. Es la función que a cada número le asocia su cubo. 7. f : R R, x x. Es la función que a cada número le asocia su valor absoluto.

8 Funciones básicas Observación: se suele llamar dominio natural de una función, al conjunto de números reales donde la regla de correspondencia esta definida en los reales. Se suele llamar contradominio natural, a la imagen del dominio natural, también llamado rango o recorrido..0.. Clasificación de funciones básicas Funciones polinomiales Una función polinomial tiene la forma y = x n + a n x n + a n x n + + a x + a x + a 0 Funciones lineales Una función lineal tiene la forma y = ax + b Funciones cuadráticas Una función cuadrática tiene la forma y = ax + bx + c Funciones racionales Una función racional tiene la forma y = P(x) donde P(x),Q(x) son polinomios. Q(x) Funciones con raíces cuadradas, cúbicas etc Una función con raíces cuadradas tiene la forma y = g(x), o con raíces cúbicas y = g(x).

9 Funciones escalera Funciones trigonométricas Funciones exponenciales y logarítmicas Son de la forma y = e x, y = ln(x) Ejercicio Estudiar la función: y = x + La función y = x +. El dominio natural de la función es el conjunto de los números reales R, ya que x+ siempre da un número real y.. El rango, o imagen del dominio natural son todos los reales, ya que para todo real y R existe un x tal que f(x) = y = x +. y x y x Intersección con los ejes. Si x = 0, entonces y =, entonces la gráfica de la recta se intersecta (interseca, según RAE, Real Academia Española) con el eje y en (0, ).. Si 0 = x +, entonces x =, y la gráfica intersecta al eje x en (, 0). El punto donde la gráfica de la función intersecta al eje x se le llama raíz de la función.

10 7 y x Imagen e imagen inversa:. La imagen del intervalo [, ] es el intervalo [, 7].. La imagen inversa del intervalo [, 7] es el intervalo [, ]. 7 Inyectividad La función y = x+, es inyectiva (en R) si puntos x x tienen imagenes diferentes, ó si imagenes iguales provienen de puntos x s iguales. En nuestro caso, si y = y, entonces x + = x +, o sea x = x, y así x = x. Por lo tanto la función es inyectiva. Sobreyectividad La función es sobre si y 0 R existe x 0 tal que f(x 0 ) = y 0, en nuestro caso, dado y 0 entonces x 0 = (y 0 )/. x y Función inversa. Como la función es biyectiva en todo R, entonces existe la función inversa en todo R.. La función inversa se obtiene despejando a x de la ecuación y = x +, donde x = y. Ejercicio Estudiar la función: y = x +

11 La función y = x +. El dominio natural de la función son los números reales R, ya que x + siempre da un número real y.. El rango, o imagen del dominio natural en este caso es el intervalo [, ) y x y x Intersección con los ejes. Si x = 0, entonces y =, entonces la gráfica de la recta se intersecta (interseca, según RAE) con el eje y en (0, ).. Si 0 = x +, pero no existe un número real que cumpla esta condición por lo tanto, como se observa en la figura, la gráfica no intersecta al eje x. La función no tiene raíces reales. Imagen e imagen inversa:. La imagen del intervalo [, ] es el intervalo [, ].. En este caso la imagen inversa del intervalo [, ] es [, ] [, ]. 7 y x 7 Inyectividad La función y = x +, no es inyectiva, ya que existen al menos dos puntos x x que tienen imagenes iguales, por ejemplo x =, x = ambos tienen como imagen al. Sobreyectividad La función no es sobre ya que para y = 0 no existe un x 0 tal que f(x 0 ) = 0. Es decir la ecuación 0 = x + no tiene soluciones reales. Función inversa Como la función no es biyectiva en todo R, entonces no existe la función inversa en todo R.

12 7 x y 7 Función inversa. Si consideramos a la función sólo con dominio [0, ), entonces la función si es inyectiva, y por lo tanto tiene inversa.. La función inversa de y = x +, es x = y.

13 Ejercicio Estudiar la función: y = e x La función e x. El dominio de la función e x es el conjunto de todos los números reales.. La imagen del dominio natural, o el rango de la función e x es el intervalo (0, ). y e x y e x Intersección con ejes, imagen e imagen inversa. La función y = e x no se intersecta con el eje x, pero si se intersecta con el eje y en (0, e).. La imagen del intervalo [, ] es el intervalo [e, e ] = [,78, 7,890].. La imagen inversa del intervalo [e, e ], es el intervalo [, ]. La función inversa de e x. La función y = e x es biyectiva como e x : R R +... La función inversa de y = e x, se llama función logaritmo, x = ln(y), con gráfica a la derecha.

14 Ejercicio Estudiar la función: y = x y x La función x. El dominio natural de la función es R {0}. x. El rango de la función es también R {0}. x Imagen y imagen inversa. La imagen del intervalo [, ] es el intervalo [/, ].. La imagen inversa del intervalo [/, ] es el intervalo [, ]. y x Función inversa La función es biyectiva en R {0}, donde la función inversa es x = y.

15 Ejercicio Estudiar la función: y = x y x Dominio. El dominio de f(x) = y = x, es el conjunto de números reales x s, tales que x 0, es decir donde existe una raíz cuadrada real.. Resolviendo la desigualdad, x 0 x, es decir x, entonces el dominio es x ó escrito como intervalo [, ]. y x Rango. La imagen del dominio(rango) es el conjunto de y s tales x con f(x) = y, en este caso f(x) = f( x), y si x, entonces 0 y. 8 7 Imagenes inversas. f () = {x D f(x) f(x) = }, = x, por lo tanto x = ±, f () = {, }.. f () = {x D f(x) f(x) = }, = x, por lo tanto x = 0, f () = {0}.. f () = {x D f(x) f(x) = 7}, 7 = x, f (7) =. Ejercicio Estudiar la función: y = 7 x 0

16 Dominio de la función. El dominio (natural) de la función es el conjunto de números reales, tales que x 0 0, es decir R {}.. La imagen del dominio es el conjunto de y s tales que 7 y = recorriendo x R {}. Dado y, x 0 entonces x = 7 +, se puede calcular excepto para y y = 0, por lo tanto el rango es R {0}. 8 7 y x f f 0 0 f 7 Imagenes inversas. f 7 (7), 7 =, por lo tanto x = x 0 =,.. f 7 7 (), =, por lo tanto x = x 0 = 8,.. f 7 ( ), =, por lo tanto x = x 0 =,.

17 Ejercicio 7 Estudiar la función: y = { (x ) + si x > 0 (x + ) si x 0 Dominio de la función. El dominio (natural) de la función es el conjunto { de números reales, tales que: (x ) + si x > 0 y = (x + ) si x 0 es real, pero es el caso donde el dominio es todo R. y x y x Imagenes inversas f (/) La imagen inversa de /, es el conjunto {x D f(x) f(x) = /} Si x > 0 a) / = (x ) +, entonces, x = ± +. b) x = +,707. c) x = + 0,99. Si x 0 a) / = (x + ), entonces, x = ±. b) solo la parte negativa x =,. Si x R, entonces f (/) = { +, +, }

18 Combinación de funciones:. Sea f una función con dominio natural D f y g otra función con dominio natural D g, entonces definimos la función (suma o resta) f ± g como con dominio D f D g. (f ± g)(x) = f(x) ± g(x). Sea f una función con dominio natural D f y g otra función con dominio natural D g, entonces definimos la función (producto) f g como (f g)(x) = f(x) g(x) con dominio D f D g.. Sea f una función con dominio natural D f y g otra función con dominio natural D g, entonces definimos la función (cociente) f/g como (f/g)(x) = f(x)/g(x) con dominio D f (D g {0}).. Sea f una función con dominio natural D f y g otra función con dominio natural D g, entonces definimos la función (composición) f g como con dominio D f g = {x x D g y g(x) D f }. (f g)(x) = f(g(x)) Definición Definiciones básicas de funciones:. Una función es estrictamente creciente si x < x entonces f(x ) < f(x ).. Una función es estrictamente decreciente si x < x entonces f(x ) > f(x ).. Una función es par si f(x) = f( x).. Una función es impar si f(x) = f( x)..0.. Ejemplos sobre monotonía de funciones Monotonía de la función x +. La función es estrictamente creciente en todo R Si x < x entonces x + < x + para todo x, x R. y x

19 Monotonía de la función x +. La función es estrictamente creciente en [0, + ) Si x < x entonces (x ) + < (x ) +, si x, x > 0.. La función es estrictamente decreciente en (, 0) Si x < x entonces (x ) + > (x ) +, si x, x < 0. Monotonía de la función x. La función es estrictamente decreciente en (0, + ) Si x < x entonces x < x, si x, x > 0.. La función es estrictamente decreciente en (, 0) Si x < x entonces x < x, si x, x < 0. y x y x Monotonía de la función x. La función es estrictamente creciente en su dominio [0, + ) ya que si x < x, entonces x < x, de lo contrario la función x no seria creciente en los positivos. Monotonía de la función x. La función es estrictamente creciente en [, 0) ya que si x < x, entonces x > x, por ser negativos, ahora x < x, y x < x, finalmente por monotonía de la raíz cuadrada x < x.. La función es estrictamente decreciente en [0, ] ya que si x < x, entonces x < x, por ser positivos, ahora x > x, y x > x, finalmente por monotonía de la raíz cuadrada x > x. y x y x

20 .0.. Ejemplos sobre inyectividad y sobreyectividad de funciones Inyectividad y sobreyectividad de x + Sea f(x) = x +, y f : R R entonces:. La función es inyectiva, ya que si x + = x +, entonces por propiedades de campo, al restar y dividir por, obtenemos x = x.. La función es sobre, ya que dado y R y y = x + entonces existe x = (y )/ tal que f(x) = y (es posible despejar un único x). Inyectividad y sobreyectividad de x Sea f (x) = x con f : R R, entonces:. La función f no es inyectiva, ya que si ( x) = (x).. La función f tampoco es sobre, ya que dado y =, no existe x R tal que x =. Sea f (x) = x con f : R R +, entonces:. La función f no es inyectiva, ya que si ( x) = (x).. La función f si es sobre, ya que dado y R +, siempre existe x R tal que x = y, donde x = y. Sea f (x) = x con f : R + R +, entonces:. La función f si es inyectiva, ya que si (x ) = (x ), entonces x = x.. La función f si es sobre, ya que dado y R +, siempre existe x R tal que x = y, donde x = y. Inyectividad y sobreyectividad de x Sea f(x) = x con f : R R, entonces:. La función f es inyectiva, ya que si =, entonces x = x x x.. La función f no es sobre, ya que dado y = 0, no existe x R tal que 0 = x.

21 .0.. Ejemplos sobre composición de funciones Composición de funciones Sea f : R R con f(x) = x +, y la función g : R R con g(x) = x +. Entonces las composiciones son: (f g)(x) = f(g(x)) = f( x + ) = ( x + ) + = x = x + (g f)(x) = g(f(x)) = f(x + ) = (x + ) + = x + = x.0.. Ejemplos sobre inversa de funciones Una función f : A B tiene inversa única si es biyectiva, y la inversa f : B A, cumple que f f = f f = x.. La inversa de ua recta es una recta, y = ax + b, entonces su inversa es y = (x b)/a.. La inversa, de y = x donde su dominio es R + y su contradominio R +, es y = x. y x y x. La inversa, de y = x + donde su dominio es R + y su contradominio [, + ), es y = x y x y x 7 8 9

22 . La inversa, de y = (x ) + donde su dominio es [, + ) y su contradominio [, + ), es y = x y x y x La inversa, de y = x donde su dominio es R y su contradominio R, es la misma y x y x La inversa, de y = x donde su dominio es R {} y su rango (imagen del domino natural) es R, es y = x +, con dominio R y rango R {} y x y x La inversa, de y = e x donde su dominio es R {} y su rango (imagen del domino natural) es R, es y = x +, con dominio R y rango R {}.

23 9 8 7 y x y x Uso de funciones en modelos concretos. El producto de dos números positivos en 0, expresar la suma de los números en función de uno de ellos. Sol: sea x y = 0, entonces x + y = x + 0 x.. La suma de dos números no negativos es, exprese la suma del cuadrado de uno, con el doble de cuadrado del otro, en función de uno de los números. Sol: sea x + y =, entonces x + y = x + ( x).. El perímetro de un rectángulo es de 00 metros. Expresar el área del rectángulo en función de la longitud de uno de sus lados. 00 x Sol: sea x + y = 00, entonces A(x) = x y = x.. La superficie de un rectángulo es de 00 cm. Exprese el perímetro del rectángulo en función de la longitud de uno de sus lados. Sol: sea x y = 00, entonces P(x) = x + y = x + ( 00 x ).. Dada la recta x + y =, expresar el área del rectángulo inscrito en el primer cuadrante y la recta (con sus lados parte de los ejes, y una esquina un punto de la recta). Sol: sea x + y =, entonces A(x) = x y = x x.. Dada la recta que pasa por el punto (, ), (x, 0), (0, y) con x, y > 0. Expresar la longitud del segmento en función de x. Sol: sea (x )/ (y )/ = xy/, de donde x + y = xy, y así y = x x, entonces l(x) = x + y = x + ( x x ). 7. Exprese el perímetro de un cuadrado en función de su área. Sol: sea A = x, o sea x = A, entonces P(x) = x = A. 8. Un alambre de longitud L se corta en dos partes, un trozo del alambre se dobla para formar un cuadrado el otro se usa para formar un círculo. Exprese la suma de las áreas en función de la longitud de un trozo. 9. Un cometa tradicional tiene longitud de sus lados superiores de 0cm y 0cm de longitude de sus lados inferiores. La transversal horizontal mide x. Exprese el área del cometa en función de x. 0. Se desea construir una caja rectangular abierta de 0 cm de volumen de tal modo que el largo de su base sea el triple de su ancho. Exprese la superficie de la caja en función de su ancho.. Un tanque cónico con su punta hacia abajo tiene pies de radio y pies de altura. Al tanque se le bombea agua. Exprese el volumen de agua en función de su profundidad (El volumen de un cono es πr h).

24 . Un modelo del crecimiento del catarro, supone que dentro de una población de p personas, la rapidez con que crece la enfermedad es proporcional al número i de infectados, y también a la cantidad (p i) de personas no infectadas aún. Por lo tanto un modelo matemático es R(i) = ki(p i) donde R(i) es la rapidez de la infección del virus y k > 0 es una constante. a) Demuestre que si la población es constante, entonces la enfermedad se extiende con más rapidez cuando exactamente la mitad de la población es portadora del virus. b) Suponga que en un pueblo de personas hay enfermos el domingo, y el lunes se presentan 7 casos nuevos. Estime el valor de k. c) Usando b) determinar los nuevos casos para el martes, miércoles, jueves, viernes y sábado.. Dada la línea y = x, trazemos una línea l perpendicular al eje x y sea P el punto de intersección de l y la recta x, y Q con el eje x. Calcular el área del triángulo en función de x formado por los puntos (0, 0), P, Q.. Un automóvil A pasa por el punto O y se dirige hacia el sur a una velocidad constante de 0Kph, un automóvil B pasa por el mismo punto O hora después con rumbo al oeste con una velocidad constante de 0kph. Exprese la distancia entre los vehículos, en función del tiempo t, contando t a partir del momento que B pasa por O.. En un momento t = 0, dos aviones tienen una separación vertical de km y se rebasan con direcciones opuestas. Si los aviones vuelan horizontalmente con velocidades de 700kph y 800kph exprese la distancia horizontal entre ellos en función de t.. Una alberca tiene metro de profundidad en su extremo corto y metros en su extremo hondo, tiene 0 metros de largo y de ancho. Se bombea agua a la alberca, exprese el volumen del agua en la alberca en función de la altura h del agua sobre el fondo.

25 Límites de funciones Los límites de funciones son una de las partes más complicadas del análisis de funciones. En este reporte presentamos de manera simple algunos de los ejemplos más sencillos para el cálculo de límites. El límite de una función se denota como lím x c f(x) = b. La idea general de límite es saber adónde se aproxima la función f(x) cuando x se aproxima a c. Si la función se aproxima a un número real b único, entonces decimos que el límite existe, en otro caso decimos que no existe. En el siguiente ejemplo observamos algunos de los casos más sencillos sobre límites. Sea la función f(x) definida de la siguiente manera: f(x) = x, si x x, si < x < x, si < x <, si x = Es decir, la función no esta definida en x =, la gráfica de esta función se muestra a continuación.

26 .. LÍMITES CON ǫ δ 7 8 Punto En el punto x = de la gráfica de la función, observamos que si nos aproximamos al por abajo (por la izquierda), la función se acerca a. Pero si nos aproximamos a por arriba (por la derecha) la función se aproxima a 0,. Por lo tanto lím f(x) no existe. x Punto En el punto x = 0 de la gráfica de la función, observamos que si nos aproximamos al 0 por abajo (por la izquierda), la función se acerca a 0,. Si nos aproximamos a 0 por arriba (por la derecha) la función se aproxima también a 0,. Por lo tanto lím f(x) = 0,. x Punto En el punto, x = aunque la función no esta definida, si nos acercamos a por abajo (por la izquierda), la función se acerca a -, si nos acercamos a x = por arriba (por la derecha), la función también se acerca a y =. Entonces el límite existe y lím x f(x) =. Punto En el punto, x = si nos acercamos a por abajo (por la izquierda), la función se va a, si nos acercamos a x = por arriba (por la derecha), la función va a. Entonces el límite no existe. Punto En el punto, x = aunque la función esta definida y vale. Si nos acercamos a por abajo (por la izquierda), la función se va a, si nos acercamos a x = por arriba (por la derecha), la función se acerca a. Entonces f(x) =. lím x.. Límites con ǫ δ Ejercicio 8 Demostrar por ǫ δ que lím x =. x

27 .. LÍMITES CON ǫ δ Ε L Ε L L Ε c c c Figura.: f(x) = x,c =,L =. Parte Truco para encontrar δ: Paso Queremos que f(x) L < ǫ, cuando x c = x < δ. En este caso f(x) L = x < δ, entonces si δ = ǫ, obtenemos que f(x) L < ǫ. Paso Esto puede apreciarse mejor en la figura. Parte Demostración: Paso Dado ǫ > 0, debemos encontrar δ, tal que si 0 < x c < δ, entonces f(x) L < ǫ. Paso De la parte, dado ǫ > 0 y δ = ǫ, como x c = x < δ es cierto, entonces si δ = ǫ, también es cierto que x = f(x) L < ǫ. Ejercicio 9 Demostrar por ǫ δ que lím x =. x

28 .. LÍMITES CON ǫ δ Parte Truco para encontrar δ: Paso Queremos que f(x) L < ǫ. Sustituyendo y desarrollando f(x) L = x = x < ǫ, por otra parte tenemos que x < δ, por lo tanto lo primero será cierto si δ = ǫ. Paso Esto puede apreciarse en la figura. Parte Demostración: Paso Dado ǫ > 0, debemos encontrar δ, tal que si 0 < x c < δ, entonces f(x) L < ǫ. Paso De la parte, dado ǫ > 0 y δ = ǫ, tenemos x c = x < δ = ǫ, entonces x = x < ǫ, es decir f(x) L = x < ǫ.

29 .. LÍMITES CON ǫ δ L Ε Ε L L Ε c c c Figura.: f(x) = x,c =,L =.

30 .. LÍMITES CON ǫ δ Ε L Ε L Ε L c c c Figura.: f(x) = x/,c =,L =. Ejercicio 0 Demostrar por ǫ δ que x lím x =. Parte Truco para encontrar δ: Paso Queremos que f(x) L < ǫ, entonces: f(x) L = x = x < ǫ, por otra parte tenemos que x < δ, por lo tanto lo primero será cierto si tomamos δ = ǫ Paso Esto puede apreciarse mejor en la figura. Parte Demostración: Paso Dado ǫ > 0, debemos encontrar δ, tal que si 0 < x c < δ, entonces f(x) L < ǫ. Paso De la parte, dado ǫ > 0 y δ = ǫ, como x c = x < δ = ǫ, entonces x < ǫ, es decir f(x) L = x < ǫ. Ejercicio Demostrar por ǫ δ que lím ax + b = ac + b. x c

31 .. LÍMITES CON ǫ δ Parte Truco para encontrar δ: Paso Queremos que f(x) L < ǫ, entonces. De los problemas anteriores podemos inferir que si tomamos a δ = ǫ, podemos mostrar lo requerido. a Parte Demostración: Paso Dado ǫ > 0, debemos encontrar δ, tal que si 0 < x c < δ, entonces f(x) L < ǫ. Paso De la parte, dado ǫ > 0 y δ = ǫ a, como x c < δ = ǫ, entonces ax ac < ǫ, es decir a ax ac + b b = ax + b (ac + b) = f(x) L < ǫ.

32 .. LÍMITES CON SIMPLE EVALUACIÓN Ejercicio Demostrar por ǫ δ que lím xsen(/x) = 0. x 0 Parte Truco para encontrar δ: Paso Queremos que f(x) L < ǫ, sabemos que sen(/x) se cumple siempre, por lo tanto xsen(/x) x. Paso Ver figura. Parte Demostración: Paso Dado ǫ > 0, debemos encontrar δ, tal que si 0 < x c < δ, entonces f(x) L < ǫ. Paso De la parte, dado ǫ > 0 y δ = ǫ, como x c = x < δ = ǫ, entonces de parte, xsen(/x) 0 x < δ = ǫ, es decir f(x) L < ǫ Figura : f(x) = xsen(/x).. Límites con simple evaluación En muchos casos, calcular un límite es muy simple, por ejemplo si la función es continua. Entonces el límite llega a ser una simple evaluación. Ejercicio Encontrar lím x x x + x +. Parte Para funciones (continuas), donde el punto c esta definida, el límite se encuentra con simple sustitución. Parte En nuestro caso, f() =, por lo tanto lím x x x + x + =.

33 .. LÍMITES CON UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS O FACTORIZACIÓN Ejercicio Encontrar lím x x +. Parte Para funciones (continuas), donde el punto c = esta definida, el límite se encuentra con simple sustitución. Parte En nuestro caso, f( ) =, por lo tanto lím x x + =... Límites con una diferencia de cuadrados o factorización Ejercicio Encontrar x lím x x. Parte La función no está definida en x =, pero podemos reducir la función de la siguiente manera: x x (x )(x + ) = x = (x + ) Parte De la primera parte, ahora podemos ver que el límite es. Ejercicio Encontrar x lím x x + Parte La función no está definida en x =, pero podemos reducir la función de la siguiente manera: x x + (x )(x + ) = x + = (x ) Parte De la primera parte, ahora podemos ver que el límite es. Ejercicio 7 Encontrar lím x a x a x a

34 .. LÍMITES CON UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS O FACTORIZACIÓN Parte La función no está definida en x = a, pero podemos reducir la función de la siguiente manera: x a x a (x a)(x + a) = x a = (x + a) Parte De la primera parte, ahora podemos ver que el límite es a. Ejercicio 8 Encontrar x + lím x x + Parte La función no está definida en x =, pero podemos reducir la función de la siguiente manera: x + x + = (x x + )(x + ) x + = x x + Parte De la primera parte, ahora podemos ver que el límite es. Ejercicio 9 Encontrar x x lím x x + Parte La función no está definida en x =, pero podemos reducir la función de la siguiente manera: x x x + (x )(x + ) = x + = (x ) Parte De la primera parte, ahora podemos ver que el límite es. Ejercicio 0 Encontrar x + x lím x x 9 Parte La función no está definida en x =, pero podemos reducir la función de la siguiente manera: x + x x 9 (x + )(x ) = (x )(x + ) = x x Parte De la primera parte, ahora podemos ver que el límite es.

35 .. LÍMITES OBTENIDOS MULTIPLICANDO POR EL CONJUGADO Ejercicio Encontrar x x + lím x x x 8 Parte La función no está definida en x =, pero podemos reducir la función de la siguiente manera: x x + x x 8 (x )(x ) = (x )(x + ) = x x + Parte De la primera parte, ahora podemos ver que el límite es... Límites obtenidos multiplicando por el conjugado Ejercicio Encontrar x + lím x 0 x Parte La función no está definida en x = 0, pero podemos reducir la función de la siguiente manera, multiplicando por el conjugado del numerador así: x + x = = = = x + x + + x x + + x + x( x + + ) x x( x + + ) x + + Parte De la primera parte, ahora podemos ver que el límite es.

36 .. EJERCICIOS Ejercicio Encontrar x + lím x x Parte La función no está definida en x =, pero podemos reducir la función de la siguiente manera, multiplicando por el conjugado del numerador así: x + x + x + + = x x x + + x + = (x )( x + + ) x = (x )( x + + ) = x + + Parte De la primera parte, ahora podemos ver que el límite es... Ejercicios Verificar que los límites siguientes son correctos.. lím x x x = 0 x 7x +. lím = x x. lím x x + x x x + =. lím x x x =. lím x x x + x = / ( + h). lím = h 0 h (x + ) 9 7. lím = x x (x + ) 8. lím = x 0 x (h + ) (h + ) + 9. lím = h 0 h 0. lím[ x x x + x 8 ] = /. lím [ x 0 x 0 0 x 00 ] = /0 ( + h). lím = / h 0 h x. lím x 9 x 9 = /

37 .. EJERCICIOS x. lím = x 7 x 0. lím t t t = 0