CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I FUNCIONES

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1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I FUNCIONES 1. Funciones Una función consta de dos conjuntos, llamados dominio y contradominio, y de una regla de correspondencia que permite asociarle a cada elemento del dominio un único elemento del contradominio. Se llama variable independiente a una letra cualquiera, por ejemplo x, que representa a cualquiera de los elementos del dominio. Si denotamos a la regla de correspondencia de la función con una letra, por ejemplo f, denotaremos al dominio como D f, al rango como R f y al elemento del contradominio que le asociamos a x como f(x) ( se lee f de x) y a esta variable f(x) ó y la llamaremos variable dependiente Llamamos rango de una función al subconjunto del contradominio de la función constituido por los elementos que han sido asociados a algún elemento del dominio bajo la regla de correspondencia dada. Si el contradominio es un subconjunto de los números reales diremos que la función es real. Si el dominio es un subconjunto de los números reales diremos que la función es de variable real. Para las funciones reales de variable real definidas mediante una fórmula sin más especificaciones, sobreentenderemos que el dominio es el subconjunto de los números reales para los cuales la fórmula tiene sentido. 2. Álgebra de funciones Para la funciones reales, el álgebra de los números reales induce un álgebra entre las funciones: (f + g)(x) =f(x)+g(x) (f g)(x) =f(x) g(x) (f g)(x) =f(x) g(x) ( ) f (x) = f(x) g g(x) El dominio de todas esta funciones es D f Dg Con excepción del cociente en el que a D f Dg hay que quitarle las raíces o ceros de g, i.e., los x D g tales que g(x) =0. 3. Composición de funciones Podemos definir una nueva función, la composición de g seguida de f, denotada por f g, que tiene como dominio un subconjunto D f g del dominio de g y como contradominio el de f y que a cualquier elemento x D f g le hace corresponder f[g(x)] canek.azc.uam.mx: 29/ 10/

2 2 FUNCIONES Así: (f g)(x) def = f[g(x)] En general tenemos: D f g = x D g g(x) Df } 4. Gráfica de una función real de variable real G f def = (x, y) R 2 x Df & y = f(x) } Una condición necesaria y suficiente para que una curva plana sea la gráfica de una función es que cualquier recta vertical corte a la curva en a lo más un punto. Esto es, la recta vertical x = a debe cortar a la curva en un punto si a D f. En caso contrario, si a D f entonces la recta vertical x = a no corta a la curva. Así una curva de esta forma: No puede ser la gráfica de función alguna, pues hay ciertas rectas verticales que la cortan en tres puntos. Recordemos que la proyección ortogonal de un punto sobre un eje es el punto donde la perpendicular al eje que pasa por el punto corta al eje.

3 FUNCIONES 3 A es la proyección ortogonal de A sobre el eje x. Dada la gráfica de una función f(x), la proyección ortogonal de todos sus puntos sobre el eje x es el dominio D f de la función y su proyección ortogonal sobre el eje y es su rango R f. Además dado un punto a D f, la ordenada del punto donde la recta x = a corta a la gráfica de la función f(x) esf(a). D f = A D E C ; R f = B C De manera que dada la gráfica de una función la conocemos completamente, pues podemos determinar su dominio y su rango y dado a D f podemos hallar f(a).

4 4 FUNCIONES 5. Función definida por partes A veces la regla de correspondencia de la función no es única, esto es, el dominio de la función está descompuesto en partes ajenas por pares y en cada una de ellas está definida una regla de correspondencia diferente. Ejemplo.- x si x 0 f(x) = x = x si x<0 D f = R, R f = R + 0}, los reales no negativos. Ejemplo.- La función de Heaviside ( ): H(t) = 0 si t<0 1 si t 0 Ejemplo.- E(x) =n donde n es el entero tal que x 1 <n x Esta función se llama el mayor entero menor o igual que o la función cumpleaños. D E = R, R E = Z E(π) =3;E(e) =2;E( 2) = 1, E( 2) = 2

5 FUNCIONES 5 Algunos autores en lugar de E(π), E(e), E( 2), E( 2) por ejemplo, escriben: E(x = π), E(x = e), E(x = 2) y E(x = 2) respectivamente. Veamos su gráfica: Ejemplo.- Si x [n, n + 1) con n Z f(x) =x n f(x) =x E(x) D f = R, R f =[0, 1)

6 6 FUNCIONES 6. Tipo de funciones Creciente si x 1 <x 2 ( D f ) f(x 1 ) <f(x 2 ) Decreciente si x 1 <x 2 ( D f ) f(x 1 ) >f(x 2 ) Funciones monótonas No decreciente si x 1 <x 2 ( D f ) f(x 1 ) f(x 2 ) No creciente si x 1 <x 2 ( D f ) f(x 1 ) f(x 2 ) Al ir de izquierda a derecha, la gráfica de una función: Creciente Va de abajo hacia arriba Decreciente Va de arriba hacia abajo No decreciente No va de arriba hacia abajo No creciente No va de abajo hacia arriba Análogamente una función es monótona por partes si se puede partir su dominio de manera que en cada una de las partes la función sea monótona. Si consideremos que el dominio de una función f(x) es simétrico con respecto al origen, es decir; entonces: f(x) es x D f x D f, Par Impar si f(x) =f( x) si f(x) = f( x) Recordemos que dos puntos son simétricos respecto a una recta si ésta es la mediatriz del segmento que ellos determinan. La gráfica de una función par impar es simétrica con respecto al eje y origen Ejemplo.-

7 Si (a, b) G f y f es par impar FUNCIONES 7 otro punto de la gráfica de f es ( a, b) ( a, b) Una función f es lineal si: f(x) =mx + b con m & b R Su dominio son todos los reales. Su gráfica es una línea recta de pendiente m y ordenada en el origen b. Si m = 0 diremos que f(x) =b es constante, Su rango consta de un solo punto: b. Su gráfica es paralela al eje de las x a una altura b, es decir,que pasa por el punto (0,b). Si m > 0 < 0 } f(x) =mx + b es Su rango son todos los reales. Su única raíz es x = b m. Una función f es cuadrática si creciente decreciente f(x) =ax 2 + bx + c con a o, b & c R Su dominio son los reales. Tiene dos raíces, una o ninguna dependiendo de si b 2 4ac es >, =ó< 0 respectívamente. Su gráfica es una parábola y como: ax 2 + bx + c = a (x 2 + ba ) x + c = } } > 0 menor Si a el < 0 mayor Luego su vértice es el punto: Si a = a (x 2 ba b2 + x + 4a 2 ( = a x + b ) 2 + 2a ) + c b2 4a = 4ac b2 4a valor se obtiene para x = b 2a > 0 < 0 ( V b ) 4ac b2, 2a 4a } 4ac b2 [ 4a su rango es (, Ejemplo.- Hallar el vértice, el eje y la intersección con el eje x de } ), + ] 4ac b2 4a y = 1 2 x2 2x + 1 2

8 8 FUNCIONES y = 1 ( x 2 +4x ) = = 1 ( x 2 +4x +4 ) = = 1 2 (x +2) Las raíces se obtienen cuando y =0 Vértice: V ( 2, 5 ); eje: x = x2 2x =0 x 2 +4x 1 = 0 multiplicando a la ecuación dada por 2 x = 4 ± = 2 ± Gráfica de y = 1 2 x2 2x Ejemplo.- Sea la función: Se tiene: f(x) =x 2 D f = R R f = R + 0} = x R } x 0

9 FUNCIONES 9 Es par y no es monótona. Pero restringida a: (, 0] = x R x 0}, los reales no positivos, es decreciente y en [0, + ) =x R x 0}, los reales no negativos, es creciente La función: f(x) =ax 3 + bx 2 + cd + d con a 0,b,c y d R es una función cúbica Ejemplo.- f(x) =x 3 D f = R f = R. Es impar y creciente. Una función f(x) de la forma: f(x) =a 0 x n + a 1 x n 1 + a 2 0x n a n 2 x 2 + a n 1 x + a n con a 0 0,a 1,a 2,,a n 2,a n 1,a n } R los llamados coeficientes, es una función polinomial. Ejemplo.- f 4 (x) =x 4,f 6 (x) =x 6,,f 2n x 2n con n N son funciones polinomiales. Su dominio son los números reales y su rango los reales no negativos; son pares y no son monótonas; pero restringidas a los reales no negativos son crecientes y a los no positivos son decrecientes. Sus gráficas son semejantes a las de f(x) =x 2. Ejemplo.- f 5 (x) =x 5,f 7 (x) =x 7,,f 2n+1 x 2n+1 con n N son funciones polinomiales.

10 10 FUNCIONES Su dominio son los números reales, y su rango los reales ; son impares y crecientes. Sus gráficas son semejantes a las de f(x) =x 3. Una función de la forma: Φ(x) = f(x) donde f(x) yg(x) son funciones polinomiales g(x) se llama función racional Su dominio son todos los números reales con excepción de las raíces del denominador g(x), que a lo más son tantas como su grado. Una función tal que en su regla de correspondencia sólo aparezca la variable independiente (x), números reales y los signos de sumar, restar multiplicar, dividir, elevar a una potencia y extraer raíz se llama función algebraica. Ejemplo.- f(x) = x D f = R f = R + 0}. Es creciente y su gráfica es la semiparábola superior y 2 = x. Ejemplo.- f(x) = 1 x 2 D f =[ 1, 1],R f =[0, 1]. No es monótona y su gráfica es la semicircunferencia superior y 2 =1 x 2. Ejemplo.- f(x) =x 1 = 1 x D f = R f = R 0}. Es impar, no monótona, pero restringida a los reales no negativos o a los no positivos es decreciente.

11 FUNCIONES 11 Su gráfica es la hipérbola equilátera xy =1 7. Transformaciones de funciones Si c>0 La gráfica de: +c g(x) =f(x) c es la gráfica de f(x) desplazada hacia arriba abajo una distancia c Si c>0 La gráfica de: (x + c) g(x) =f (x c) es la gráfica de f(x) desplazada hacia la izquierda derecha c unidades La gráfica de: f(x) g(x) = f( x) es la gráfica de f(x) reflejada respecto al eje x y Si c>1 La gráfica de: cf(x) g(x) = 1 c f(x) es la gráfica de f(x) Si c>1 La gráfica de: f(cx) g(x) = f( 1 c x) es la gráfica de f(x) alargada comprimida comprimida alargada c veces en la dirección vertical horizontalmente c veces Si g(x) = f(x), D g = D f y la gráfica de g(x) es la gráfica de f(x) cuando f(x) 0 y la simétrica con respecto al eje de las x cuando f(x) < 0.