Funciones cuadráticas
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- Lorenzo González Campos
- hace 6 años
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1 Funciones cuadráticas
2 Qué es una Función Cuadrática? Es una función cuya regla de correspondencia está dada por un polinomio cuadrático, tal como Es una función cuya regla puede escribirse en la forma general para a, b, c, coeficientes reales donde a 0.
3 Ejemplo La función g(x) = 2 x es cuadrática porque su regla de correspondencia puede escribirse en la forma general:
4 Características generales Gráfica: tiene la forma de o, llamada parábola. Dominio: todos los Reales,,. Vertice: punto donde la función cuadrática alcanza su valor mínimo o máximo. Intercepto en y: (0, c) Intercepto en x: valores donde f(x) = 0. (a lo más 2 interceptos en x)
5 Funciones cuadráticas de la forma f(x) = ax 2 Si b = 0 y c = 0, entonces f(x) = ax 2. o La gráfica es una parábola con con intercepto en y en (0, 0). o Su vértice está en el eje de y.
6 Funciones cuadráticas de la forma f(x) = ax 2 + c Si b = 0 y c 0, entonces f(x) = ax 2 + c. o La gráfica es una parábola con intercepto en y en (0, c). o Su vértice está en el eje de y.
7 Ejemplo Observemos las caraterísticas de f x = 1 2 x2 vértice (0,0) intercepto en y = intercepto en x = 0 creciente en el intervalo (, 0) decreciente en (0, )
8 f(0) = f(-2)= f(2)= vértice: intercepto en y: interceptos en x: Ejemplo Observemos las características de f(x) = - ½ x 2 + 4
9 Forma General La forma general de una función cuadrática, f(x) = ax 2 + bx + c, nos permite ver : o el intercepto en y: (0,c) o coeficiente principal: a a >0 gráfica abre hacia arriba (U), la función tiene un valor mínimo. si a<0 la gráfica está invertida (abre hacia abajo). La función tiene un valor máximo.
10 Ejemplo Dado f(x) = 2x 2 6x + 4 determinar o si la gráfica de f abre hacia arriba ( ) o hacia abajo ( ) o si f tiene un máximo o un mínimo o el intercepto en y o el (los) intercepto(s) en x continúa
11 Ejemplo Para f(x) = -(6-3x + 4x 2 ) determinar lo siguiente: forma general: o el intercepto en y f(0)= f(0) = o abre hacia arriba? abre hacia abajo? o f tiene un máximo o un mínimo? o determinar el (los) intercepto(s) en x requiere resolver
12 Teorema para hallar el vértice El vértice de la gráfica de una función cuadrática f(x) = ax 2 + bx + c, tiene coordenada de x igual a x = b 2a y coordenada de y igual a y= f( b 2a )
13 Ejemplo Determine el vértice de la gráfica de f(x) = 2x x - 12 Coordenada de x: Coordenada de y: x = b 2a y= f( b 2a
14 campo de valores: [4, ) Ejemplo Observe la gráfica de f(x) = 1 2 x2 + 4x 6. Encuentre el dominio y el campo de valores. Identifique los interceptos. Identifique el vértice. Identifique el valor máximo o mínimo. Encuentre los intervalos sobre los cuales f es creciente y decreciente. dom:,
15 Ejemplo (cont.) Dado f(x) = -3x 2 6x + 4 determinar si el vértice es un máximo o un mínimo de f o Ya determinamos que el vértice es 1,7. o como a < 0, la parábola abre hacia abajo y la función tiene un máximo. y = 7 es el valor máximo o simplemente, el máximo de f El máximo de f ocurre en x = -1.
16 Ejemplo Para f(x) = x 2 2x + 8, determinar los interceptos. Solución: intercepto en y: o f(0) = (0) 2 2(0) + 8 o El int-y es (0, 8). interceptos en x: x 2 2x + 8 = 0 (x 2 + 2x 8) = 0 x 2 + 2x 8 = 0 (x + 4) (x 2) = 0 x = -4 x = 2 Los int-x son (-4, 0) y (2,0). Como alternativa pueden utilizar la fórmula cuadrática. x = b ± b2 4ac 2a a =-1, b = -2, c = 8 x = 2 ± x = 2 ± 36 2 x = 4, x = 2 ( 2)2 4( 1)(8) 2( 1)
17 Forma Estándar Una ecuación cuadrática está en la forma estándar f(x) = a(x h) 2 + k. La forma estándar nos permite ver características útiles de la gráfica de f : o (h,k) es el vértice de la gráfica o a es coeficiente principal: a >0 gráfica abre hacia arriba (U), f tiene un mínimo a<0 la gráfica abre hacia abajo, f tiene un máximo
18 Ejemplo Determinar las coordenadas del vértice a) f(x) = -2(x 5) Solución:
19 Ejemplo Determinar las coordenadas del vértice b) g(x) = 3(x + 2) Solución:
20 Ejemplo Determinar las coordenadas del vértice c) h(x) = -(x + 4) 2 7 Solución:
21 1) f(x) = -3x 2 6x + 4 Ejemplo Escribir las funciones en forma estándar. 2) f(x) = 2x x + 22
22 Ejemplo Hallar la ecuación de una función cuadrática, f(x) = ax 2 + bx + c, que tiene vértice V(2, 3) y que pasa por (5, -15). Solución:
23 Ejemplo Hallar la ecuación (en forma general) de una función cuadrática cuya gráfica se muestra. Solución:
24 Pag. 187 Aplicaciones
25 Pag. 188 Aplicaciones
26 Ejemplos adicionales
27 Ejemplo Determinar interceptos en x y el vértice con TI-84..
28 Usando la TI 84 Dado f x = 2x 2 3x 5 Complete la tabla de valores: Entrar la función bajo Y= luego ir a TBLSET Para llenar la tabla de la derecha comenzar la tabla en -2 indicar el incremento en las x oprimir <ENTER> e ir a <TABLE> X Y
29 Usando la TI 84 Determine los interceptos en x de f x = 2x 2 3x 5. Obtener la gráfica de la función. Oprimir <CALC> Elegir Zero que es para hallar los ceros de la función. Colocar el cursor en un valor más pequeño que el intercepto, oprimir enter Colocar el cursor en un valor más grande que el intercepto, oprimir enter Coloque el cursor cerca del intercepto, oprima enter
30 Usando la TI 84 Determine el máximo o mínimo de f x = 2x 2 3x 5. Obtener la gráfica de la función. Observe la gráfica y determine si tiene un máximo o mínimo. Oprimir <CALC> Elegir minimum o maximum Colocar el cursor en un valor de x más pequeño que la coordenada en x del vértice Colocar el cursor en un valor de x más grande que la coordenada en x del vértice Coloque el cursor cerca la coordenada en x del vértice, oprima enter El vértice es (0.75, )
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