Chapter Audio Summary for McDougal Littell Algebra 2

Transcripción

1 Chapter 8 Exponential and Logarithmic Functions Al principio del capítulo 8 representaste gráficamente funciones exponenciales generales. Luego aprendiste sobre la base natural e. Examinaste la relación inversa entre funciones logarítmicas y exponenciales. Luego usaste la fórmula del cambio de base y las propiedades de los logaritmos para extender y condensar funciones logarítmicas. También resolviste ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Por último, evaluaste y representaste gráficamente funciones logísticas, resolviste ecuaciones logísticas y usaste funciones de crecimiento logístico para hacer modelos de problemas de la vida real. Abre el texto en la página 524 para ver el Chapter Review. Lección 8.1 Crecimiento exponencial Términos importantes que debes saber: función exponencial, base de una función exponencial, asíntota, función de crecimiento exponencial y factor de crecimiento. El primer objetivo de la lección 8.1 es representar gráficamente funciones de crecimiento exponencial. Una función de crecimiento exponencial tiene la forma y = ab x en la que a > 0 y b > 1. Para representar gráficamente y =2 5 x+2 4, primero haz un bosquejo de la gráfica de y =2 5 x (que se muestra en rojo). La gráfica pasa por los puntos (0, 2) y (1, 10). Luego traslada la gráfica 2 unidades a la izquierda y 4 unidades hacia abajo. Observa que la gráfica (que se muestra en azul) pasa por los puntos ( 2, 2) y ( 1, 6). Puedes ver que la asíntota es la recta y = 4. Recuerda que una asíntota es una recta a la que se aproxima una gráfica a medida que se aleja del origen. El segundo objetivo de la lección 8.1 es usar funciones de crecimiento exponencial para hacer modelos de situaciones de la vida real, como por ejemplo el crecimiento de la Internet. Ahora intenta hacer los ejercicios 1 a 4. Si necesitas ayuda, repasa los ejemplos resueltos de las páginas 466 a 468. Lección 8.2 Decrecimiento exponencial Términos importantes que debes saber: función de decrecimiento exponencial y factor de decrecimiento. El primer objetivo de la lección 8.2 es representar gráficamente funciones de decrecimiento exponencial. Una función de decrecimiento exponencial tiene la forma y =ab x, en la que a > 0 y 1

2 x, marca (0,4) y (1, 4/3). De derecha a b < 1. Para representar gráficamente y =4 1 3 izquierda dibuja una curva que comience justo por encima del eje de x, que pase por los dos puntos, y que se dirija hacia arriba. Puedes ver que la asíntota es la recta y = 0, ó el eje de x. Tómate un tiempo para comparar las funciones de crecimiento exponencial y de decrecimiento exponencial. Observa que para la función de crecimiento exponencial, b > 1; para la función de decrecimiento exponencial, b < 1. Observa también que a es el intercepto en y en ambas gráficas. El segundo objetivo de la lección 8.2 es usar funciones de decrecimiento exponencial para hacer modelos de situaciones de la vida real, como por ejemplo la disminución de ventas de discos. Ahora intenta hacer los ejercicios 5 a 12. Si necesitas ayuda, repasa los ejemplos resueltos de las páginas 474 a 476. Lección 8.3 El número e Términos importantes que debes saber: base natural e, o número de Euler. El primer objetivo de la lección 8.3 es usar el número e como la base de funciones exponenciales. El número e es un número irracional con un valor aproximado de Para representar gráficamente una función exponencial con la base e, usa e y marca algunos puntos. Compara las gráficas de y =3e 2x (que se muestra en rojo) e y =3e 2x (que se muestra en azul). Para ambas funciones, el intercepto en y es 3, la asíntota es y = 0, el dominio está formado por todos los números reales, y el rango es y > 0. El segundo objetivo de la lección 8.3 es usar la base natural e en situaciones de la vida real, como por ejemplo hallar la presión de aire en Mt. Everest. Ahora intenta hacer los ejercicios 13 a 16. Si necesitas ayuda, repasa los ejemplos resueltos de las páginas 480 a 482. Lección 8.4 Funciones logarítmicas Términos importantes que debes saber: logaritmo de y con base b, logaritmo común y logaritmo natural. 2

3 El primer objetivo de la lección 8.4 es evaluar funciones logarítmicas. Los ejemplos usan la definición de logaritmo para evaluar expresiones y para representar gráficamente una función logarítmica. Para representar gráficamente la función logarítmica f (x) =2 logx +1, marca puntos tales como (1, 1) y (10, 3). La recta x = 0 es una asíntota. El dominio es x > 0, y el rango está formado por todos los números reales. Recuerda que el logaritmo común tiene base 10 y el logaritmo natural tiene base e. El segundo objetivo de la lección 8.4 es representar gráficamente funciones logarítmicas para hacer modelos de situaciones de la vida real, como por ejemplo hallar la pendiente de una playa. Ahora intenta hacer los ejercicios 17 a 24. Si necesitas ayuda, repasa los ejemplos resueltos de las páginas 486 a 489. Lección 8.5 Propiedades de logaritmos Un término importante que debes saber: cambio de fórmula base. El primer objetivo de la lección 8.5 es usar propiedades de logaritmos. Usa la propiedad del cociente de logaritmos para volver a escribir log 2 3x/y como log 2 3x log 2 y. Luego usa la propiedad del producto de logaritmos para volver a escribir log 2 3x en la expresión, para obtener log log 2 x log 2 y. Al extender o condensar una expresión con logaritmos, puedes asumir que las variables son positivas. El segundo objetivo de la lección 8.5 es usar propiedades de logaritmos para resolver problemas de la vida real, como por ejemplo hallar la energía necesaria para el transporte molecular. Ahora intenta hacer los ejercicios 25 a 31. Si necesitas ayuda, repasa los ejemplos resueltos de las páginas 493 a 495. Lección 8.6 Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas El primer objetivo de la lección 8.6 es resolver ecuaciones exponenciales. Recuerda que puedes resolver una ecuación exponencial al aplicar un logaritmo de cada lado de la ecuación. Puedes resolver una ecuación logarítmica al elevar cada lado a una potencia. En el primer ejemplo, toma el logarítmo común de cada lado y usa una calculadora para simplificar. En el segundo ejemplo, eleva cada lado a una potencia usando base 4 y resuelve x. 3

4 El segundo objetivo de la lección 8.6 es resolver ecuaciones logarítmicas para resolver problemas de la vida real, como por ejemplo hallar el diámetro de un espejo de un telescopio. Ahora intenta hacer los ejercicios 32 a 35. Si necesitas ayuda, repasa los ejemplos resueltos de las páginas 501 a 504. Lección 8.7 Hacer modelos con funciones exponenciales y potenciales El primer objetivo de la lección 8.7 es hacer modelos de datos con funciones exponenciales. Dados dos puntos cualesquiera sobre una curva exponencial, puedes escribir la función cuya gráfica pasa por esos puntos. El segundo objetivo de la lección 8.7 es hacer modelos de datos con funciones potenciales. El ejemplo muestra cómo hallar una función potencial que pasa por los puntos (3, 2) y (9, 12). Sustituye las coordenadas en la fórmula y = ax b para obtener las ecuaciones 2 =a 3 b y 12 =a 9 b. Luego resuelve el sistema de ecuaciones por medio de la sustitución. Obtienes a y b De manera que la función es y =0.333x Ahora intenta hacer los ejercicios 36 a 41. Si necesitas ayuda, repasa los ejemplos resueltos de las páginas 509 a 512. Lección 8.8 Funciones de crecimiento logístico Un término importante que debes saber: función de crecimiento logístico. El primer objetivo de la lección 8.8 es evaluar y representar gráficamente funciones de crecimiento logístico. El ejemplo muestra la gráfica de la función de crecimiento logístico y = e 2x. Observa algunas características importantes de la gráfica. Tiene las asíntotas y = 0 e y = 6. El intercepto en y es 1.5. El punto de crecimiento máximo es ln 3 2, ,3 ( ). Recuerda que mientras las funciones de crecimiento exponencial aumentan sin límite, las funciones de crecimiento logístico tienen un límite superior. El segundo objetivo de la lección 8.8 es usar funciones de crecimiento logístico para hacer modelos de cantidades de la vida real, como por ejemplo una población de levaduras. 4

5 Ahora intenta hacer los ejercicios 42 a 44. Si necesitas ayuda, repasa los ejemplos resueltos de las páginas 517 a