FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
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- José María Cortés Moreno
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1 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES Su expresión algebraica es y = a x donde a > 0 y siempre a 1 Dominio: Dom(f) = IR Recorrido: Im(f) = IR + Es una función continua en todo su dominio Corta al eje de la y en el punto (0, 1) Pasa por el punto (1, a) Crecimiento: Creciente para valores a >1 Decreciente para valores 0 < a <1 Tiene como asíntota horizontal el eje de la x Es una función INYECTIVA a m = a n m= n CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS Su expresión algebraica es y = log a x, donde a > 0 y siempre a 1 Dominio: Dom(f) = IR + Recorrido: Im(f) = IR Es una función continua en todo su dominio Corta al eje de la y en el punto (1, 0) Pasa por el punto (a, 1) Crecimiento: Creciente para valores a>1 Decreciente para valores 0< a<1 Tiene como asíntota vertical el eje de la y Es una función INYECTIVA log m = log n m= n
2 Representación gráfica de algunas funciones exponenciales: y = 0,5 x y = 5 x y = 2 x Representación gráfica de algunas funciones logarítmicas: y = log 2 x y = log 3 x y = log 4 x Funciones Exponenciales y logarítmicas son funciones inversas x y= 2 x x y= log a x
3 DIFERENCIA ENTRE EL CRECIMIENTO LINEAL Y EL CRECIMIENTO EXPONENCIAL Un laboratorio tiene dos cultivos A y B. En el cultivo A el peso aumenta 2g cada día En el cultivo B el peso se duplica cada día Construimos las tablas de valores para ambos cultivos: Cultivo A Días Peso (g) Este crecimiento responde a una función cuya expresión algebraica es y = 2x + 1, y su representación gráfica es una recta. Cultivo B Días Peso (g) 2 0 = = = = = = 32 Este crecimiento responde a una función cuya expresión algebraica es y = 2 x, y su representación gráfica es una curva.
4 EJERCICIOS Y PROBLEMAS: Primero repasaremos las propiedades de los logaritmos: 1. Qué igualdad es correcta? a. log 3 + log 4 = log 7 b. log 12 log 4 = log 3 c. log 5 3 = 3log 5 5 d. log 2 = log 2/5 Ahora unas cuestiones teóricas: 1. Las funciones y = log 3 x ; y = log 4 x ; y = log 1/2 x, tienen algún punto en común? 2. Las funciones y = log a x y su inversa y = a x Tienen algún punto en común? 3. Demuestra que la función y = log a x toma valores negativos para valores de a del intervalo (0,1) A continuación vamos a obtener la función inversa para las siguientes funciones: 1 1. y = x 1 2. y = -3x y = x 3 4. y = 5. y = 5 2x 5 1 x 2 5 Vamos a resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas: 1. Resuelve las ecuaciones logarítmicas: a. log x + log 30 = 4 b. log x 2 = 2 c. log x log5 = 6 d. log (x + 5) = log (x 2-1) 2. Resuelve las ecuaciones exponenciales: a. 3 4x -7 = 9 b. 7 x/3 = 343 c. 9 x2 +x+1 = 729 d. 5 2x2 3x = Resuelve: a. log x 2 log x = 3 b. log (x ) = log(7x -1) c. log (25 - x 2 ) = 2log (x -1) d. 5log x = 3log x + log Resuelve a. 5 3x 2 = 625 b. 4 x2 = 256 c. 6 x2 5x + 6 = 36 d. 2 log x = log (4x + 12) e. 2 x2 + 2x 256 = 0 f. 3 x/2 = 768
5 5. Resuelve: a. 2 2x 5 = 2 b. 4 x 3= 16 c. 7 2x2 = 49 d. 3 x2 3x = 81 e. 5 2x 5 x = 12 pista: hacer t= 5 x f. 3 x/2 = 768 g. log(16 x 2 ) log( 3x 4) = 2 Y terminamos con unos problemas: 1. El número de usuarios de internet crece de forma exponencial y responde a la expresión y = 1,9 x, donde x representa el tiempo en meses y la y el número de usuarios en miles. Cuánto tiempo pasará para que haya 5000 usuarios? y 10000? 2. Un pueblo tiene 1000 habitantes y durante 6 años su población ha crecido a un ritmo del 6% anual. a. Construye una tabla de valores y obtén la expresión algebraica para esta función b. Qué tipo de crecimiento experimenta la población? c. Suponiendo que la población se incrementa en 300 habitantes al año, de qué tipo será entonces el crecimiento de esta población? 3. El crecimiento de un alga en el río Níger avanza de 1 dm 2 a 1,2 dm 2 en un mes. Si sigue este ritmo de crecimiento exponencial a. Qué extensión ocupará el alga pasado 1 año? y 10 años? b. Obtén la expresión algebraica y represéntala gráficamente. 4. La caoba es una madera fina muy apreciada para fabricar muebles, y se encuentra en peligro de extinción. Un bosque con 1000 Tm de caoba pasó en solo un año a tener 750 Tm, (disminuyó un 25%) a. De seguir ese ritmo exponencial, haz una tabla que refleje la cantidad de madera del bosque a lo largo del tiempo. b. Obtener la expresión algebraica de la función c. Representa la función gráficamente d. Cuánto tiempo pasará hasta que el bosque tenga 200 Tm? e. Obtén la función que relacione la cantidad de madera con el tiempo (función inversa)
log = = Las ecuaciones de cancelación cuando se aplican las funciones f x = a x y f 1 = log a x, se convierten en:
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