Funciones. Guía de Ejercicios

Transcripción

1 . Módulo 4 Funciones Guía de Ejercicios

2 Índice Unidad I. Concepto de función, dominio y recorrido Ejercicios Resueltos... pág. 02 Ejercicios Propuestos... pág. 06 Unidad II. Gráfico de funciones Ejercicios Resueltos... pág. 08 Ejercicios Propuestos... pág. 16 Unidad III. Funciones lineales y cuadráticas Ejercicios Resueltos... pág. 18 Ejercicios Propuestos... pág. 24 1

3 Unidad I. Concepto de función, dominio y recorrido Ejercicios Resueltos 1. Considerando el conjunto A = {1, 2, 3}, el conjunto B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} y la relación de dependencia, o correspondencia, entre A y B que asigna a cada elemento su cuádruple. Decida si esta relación es una función de A en B y determine su dominio y recorrido. A los elemento 1,2 y 3 del conjunto A, les corresponden, respectivamente, los elementos 4, 8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B, la relación de dependencia es una función de A en B. Dominio= {1, 2, 3} = A y Recorrido= {4, 8, 12} 2. Sean A = { 4, 1, 0, 4, 9}, B = { 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4} y la relación que asigna a cada elemento de A el resultado de extraer su raiz cuadrada. Determine si esta relación es función de A en B. En este caso, al elemento 0 de A le corresponde el elemento 0 de B; al elemento 4 de A, el elemento 2 de B; al elemento 9 de A, el elemento 3 de B; a 4 y 1 de A no les corresponden elementos de B. Por lo tanto existen elementos de A que no se corresponden con un elemento de B. Luego, esta relación entre elementos de A y B no es una función de A en B. 3. Dada la relación h definida de A R en R por: x x + 2, determine su dominio. Buscamos el conjunto A, cuyos elementos son todos los números reales x, para los cuales x + 2 es un número real x + 2 R x de otro modo x + 2 sería la raiz cuadrada de un número negativo, que no es un número real. Por lo tanto, el dominio es el conjunto de todos los números reales que satisfacen x + 2 0, x 2 Podemos escribir este conjunto como A = Dom(h) = {x R/x 2}. Este conjunto o intervalo de números reales se escribe [ 2, + ). 2

4 4. Dada la función real Determine su dominio y recorrido. g : A R, g(x) = 1 4x 1 Buscamos el conjunto de todos los números reales x para los cuales g(x) es un número real. Numerador y denominador deben ser números reales, lo que en este caso es cierto para todo valor real de x. Además, como una fracción representa una división, el denominador que corresponde al divisor no puede ser cero, porque la división por cero no está definida. Entonces se tiene 1 4x 1 R 4x 1 0 Resolviendo 4x 1 = 0 tenemos x = 1/4, que es el único número para el cual el denominador es cero. Por lo tanto el dominio de la función es el conjunto de todos los números reales sin 1/4. { 1 Dom(g) = R 4} Para el recorrido buscamos el conjunto de todos los números reales y que son la imagen de algun x en el dominio de g. Como regla, para determinar el recorrido de una función, despejaremos x de su expresión analítica y = 1 4x 1 x = 1 + y 4y En este caso, x también resulta ser un cuociente, que es número real si el divisor es distinto de cero. Como 4y = 0 si y = 0, entonces diremos que el recorrido de g son los números reales sin el cero, es decir Rec(g) = R {0} 3

5 5. Determine cuáles de los siguientes diagramas sagitales muestran funciones de A en B. Justifique su respuesta. a) f es función de A en B pues a cada elemento de A le corresponde sólo un elemento de B. b) f no es función de A en B pues a un elemento de A le corresponden dos elementos de B. c) f no es función de A en B pues a un elemento de A no le corresponde ningún elemento de B. 6. Escriba la expresión analítica de las siguientes funciones a) Asignar a cada número real su inverso aditivo. b) Asignar a cada número real distinto de cero, el recíproco de su cuadrado. a) El inverso aditivo de un número real x se escribe como x, por lo que la función es f(x) = x. b) El cuadrado de un número real x se escribe como x 2 y el recíproco de este se escribe como 1 x 2,. Por lo tanto la función es f(x) = 1 x 2 4

6 7. Dada la expresión racional f(x) = x x(x 2) Para que ella esté definida en R, se requiere que a) x sea un número real con x 0 y x 2. b) x sea un número real con x = 0 y x = 2. c) x sea un número real positivo con x 2. d) x sea un número real no negativo. e) x sea un número real cualquiera. Para que la expresión anterior esté definida en R, se necesita que la cantidad subradical de la raiz sea no nagativa y que el denominador sea distinto de cero. Ahora bien, las condiciones anteriores pueden escribirse mediante un sistema así Si y sólo si x 0, x(x 2) 0 x 0, x 0, (x 2) 0 Lo que nos da como solución x > 0 y x 2. Es decir, x debe ser un número real positivo distinto de dos. 8. Dada las funciones f y g definidas por f(x) = x 2 + x g(x) = x 2 x Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a g(n + 1)? a) f(n) b) f(n) + 1 c) f(n) 1 d) g(n) + 1 e) g(n) 1 g(n + 1) = (n + 1) 2 (n + 1) = n 2 + 2n + 1 n 1 = n 2 + n = f(n) 5

7 Ejercicios Propuestos 1. Sea f la función definida por f(x) = { 1 si 0 x 1 2 si 1 < x 2 a) Trace la gráfica de f. b) Sea g(x) = f(2x). Describa el dominio de g y represéntelo gráficamente. c) Sea h(x) = f(x 2). Describa el dominio de h y represéntelo gráficamente. d) Sea k(x) = f(2x) + f(x 2). Describa el dominio de k y represéntelo gráficamente. 2. Cuál de las siguientes ecuaciones no representa una función? a) y = x b) y = 4 c) y = x d) y = x 2 + 5x e) x = π 3. Dadas las siguientes funciones, encuentre para cada una de ellas, si existen, las imágenes de 1 y 2. a) f(x) = 5x 2 b) f(x) = 1 x 2 c) f(x) = 5 4. Determine el dominio y recorrido de las siguientes funciones reales a) f(x) = 2x + 1 b) f(x) = x 2 2 c) f(x) = x 5. El conjunto de todos los valores de x en R para los cuales la espresión x + 2 es un número real está en la opción x 3 a) {x R : x 2 o x > 3} b) {x R : 2 x < 3} c) {x R : x 2} d) {x R : x > 3} e) R {3} 6

8 6. Dadas las siguientes funciones, encuentre para cada una de ellas, si existen, las preimágenes de 5 y 5. a) f(x) = x b) f(x) = x 2 c) f(x) = 1 x 7. Dadas las siguientes funciones, encuentre para cada una de ellas su dominio y recorrido a) f(x) = x + 2 b) f(x) = 1 x 2 c) f(x) = x x Escriba la expresión analítica de las siguientes funciones a) Asignar a cada número real el cuádruple de su cubo. b) Asignar a cada número real la mitad del mismo aumentada en 3. c) Asignar a un número el área del cuadrado que tiene por lado dicho número. d) Asignar a un número el volumen de una esfera que tiene por diámetro el doble de dicho número. 7

9 Unidad II. Gráfico de funciones Ejercicios Resueltos 1. Cuál es la gráfica que muestra el cobro de un taxi cuya bajada de bandera es $200 con lo que quedan cancelados los primeros 200 metros y cada 200 metros adicionales el taximetro sube $90? Con el primer pago de $200 quedan cancelados los primeros 200 metros por lo que el gráfico no debe variar entre los 0 y los 200 metros. Luego aumenta $90 cada 200 metros, entonces el gráfico será constante entre 200 y 400 metros, 400 y 600 metros, y asi sucesivamente. Ahora sabemos que el gráfico debe tener una forma escalonada. Otra consideración importante es que al terminar de recorrer 200 metros el taximetro cobra inmediatamente los $90 de los 200 metros siguientes, por lo que el gráfico que muestra esta situación es la alternativa d). 2. La gráfica que representa a f(x) = x es La gráfica de la función f(x) = x tiene su vértice en el punto (0, 0). La función f(x) = x 1 lo tiene en el punto (1, 0) ya que el 1 dentro del valor absoluto despaza al gráfico hacia la derecha. Finalmente la función f(x) = x tiene su vértice en el punto (1, 1) ya que el +1 fuera del valor absoluto desplaza el gráfico hacia los y > 0. Luego el gráfico de la función es el que muestra la alternativa b). 8

10 3. Cuál es la ecuación de la parábola de la figura adjunta? En la gráfica se puede ver que los puntos donde corta al eje x son el 1 y 2, que corresponde a los ceros o raices de la función. Esto nos dice como se escribe la función de la forma (x + 1)(x 2). Además de esto la orientación del gráfico de la función nos dice que esta debe llevar un signo negativo, ya que la parábola se abre hacia abajo. Luego la ecuación de la parábola de la figura es (x + 1)(x 2). 4. Cuál de los siguientes gráficos representa a la función f(x) = x 2 5x + 6? 9

11 La función se puede escribir de la forma f(x) = x 2 5x + 6 = (x 2)(x 3) Entonces el gráfico de la función debe cortar al eje de las abscisas en x = 2 y x = 3. Tambien podemos ver que el signo positivo que acompaña al término cuadrático hace que la orientación de la parábola sea abierta hacia arriba, por lo que el gráfico de la función es el que muestra la alternativa a). 5. Cuál de los siguientes gráficos representa mejor al gráfico de la función f(x) = x 2 1? La función se puede escribir de la forma f(x) = x 2 1 = (x + 1)(x 1) Entonces el gráfico de la función debe cortar al eje de las abscisas en x = 1 y x = 1. Tambien podemos ver que el signo positivo que acompaña al término cuadrático hace que la orientación de la parábola sea abierta hacia arriba, por lo que el gráfico de la función es el que muestra la alternativa a). 10

12 6. Cuál de los siguientes gráficos representa mejor la función f(x) = (x + 1) 2 + 1? La función se puede escribir de la forma f(x) = (x + 1) = x(x + 2) Entonces el gráfico de la función debe cortar al eje de las abscisas en x = 0 y x = 2. Tambien podemos ver que el signo negativo que acompaña al término cuadrático (y que luego está fuera de la factorización) hace que la orientación de la parábola sea abierta hacia abajo, por lo que el gráfico de la función es el que muestra la alternativa d). 11

13 7. El gráfico de la función f(x) = 5 5x x 2 es La ecuación del eje de simetría de la parábola dada por la función f(x) = 5 5x x 2 es x = b 2a = 5 2 = 5 2 Entonces, ya que conocemos la ecuación del eje de simetría de la parábola, podemos concluir que la gráfica que representa a la función es la que muestra la alternativa a), ya que esta es la única que muestra el eje de simetría en el lado negativo de las abscisas. 12

14 8. Cuál de los siguientes podría ser el gráfico de la función que expresa la relación entre el cateto de un triángulo rectángulo isósceles y el área del triángulo? En un triángulo rectángulo isósceles de lado x el área está dada por x2. Entonces la función que expresa la relación entre el cateto y el 2 área es f(x) = x2 2 13

15 Ahora buscamos algunos puntos del gráfico, asignando valores a x f(1) = 12 2 = 1 22, f(2) = 2 2 = 4 2 = 2 Con estos dos puntos del plano cartesiano ya es posible afirmar que el gráfico de la función que expresa la relación entre el cateto y el área es el que se muestra en la alternativa a). 9. Cuál es el gráfico de 2x y = 3? La ecuación tambien se puede escribir de la forma y = mx + n y queda como y = 2x + 3. Esto nos permite conocer su pendiente m = 2 y el intercepto con el eje de las ordenadas, n = 3. Entonces podemos descartar las alternativas con pendientes negativas y el intercepto nos sirve para determinar sin duda que la alternativa correcta es la letra a). 14

16 10. El gráfico de la función tiene eje de simetría de ecuación Encuentre el valor de u. f(x) = 3(x u)(x 5) x = 17 6 La función se puede escribir como f(x) = 3(x u)(x 5) = 3x 2 3(u + 5)x + 15a Con esto podemos obtener la ecuación del eje de simetría e igualarlo al que se nos da en el enunciado x = b 2a = 3(u + 5) 6 = 17 6 Con esto resulta que el valor de u es 3(u + 5) = 17 u =

17 Ejercicios Propuestos 1. Considere la función f(x) = x 2 8x + 15 cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El gráfico de la función intersecta en dos puntos al eje x. II) Su valor mínimo es -1. III) f( 3) > 0 2. En que punto(s) el gráfico de la función intersecta al eje y? f(x) = x 2 x 6 3. Cuál(es) de los siguientes puntos pertenece(n) al gráfico de la función f(x) = x 2 + 1? I) (0, 1) II) (1, 0) III) ( 1, 0) 4. Una función cuya gráfica tiene la misma forma de la gráfica de y = 2x 2 es I) y = x II) y = 2(x + 1) III) y = 2(x + 1) Respecto del gráfico de la función es correcto afirmar que f(x) = x 2 + 4x + 1 I) tiene un mínimo valor en el punto de abscisa 2. II) es simétrico respecto de la recta de ecuación y = 2. III) interseca al eje y en el punto de coordenadas (0, 1). 6. La recta L que pasa por el origen (0, 0) se corta con la parábola de ecuación y = 3 x 2 en un punto de abscisa 1. Encuentre el otro punto en donde la recta se corta con la parábola. 16

18 7. Si el gráfico de la función y = (x 3) 2 se traslada 4 unidades a la izquierda y 2 unidades hacia abajo, entonces cuál es la ecuación de eje de simetría del nuevo gráfico? 8. Si la ecuación de una parábola es y = 3 2x 3x 2 entonces cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La parábola corta sólo uno de los ejes coordenados. II) La parábola corta ambos ejes coordenados. III) La parábola corta al eje X en dos puntos distintos. 9. Considere la parábola y = 1 (x 1)2 2 Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La parábola se abre hacia arriba II) Su vértice se encuentra en (1,0) III) Su eje de simetría es x = Encuentre un intervalo en el cual la función dada por f(x) = x 2 + 8x 3 es estrictamente creciente. I) ]4, + [ II) ], 4[ III) ], 4[ 17

19 Unidad III. Funciones lineales y cuadráticas Ejercicios Resueltos 1. Un triángulo isósceles tiene un perímetro de 8 cm. Exprese el área A del mismo como una función de la longitud b de su base. En un triángulo isósceles de perímetro 8 centímetros y base b, los lados miden cada uno l = 8 b 2 Utilizamos pitágoras para calcular la altura del triángulo ( ) 8 b 2 ( b 2 h b + b = = 2 2) 2 4 b2 4 = 16 4b Entonces la altura del tríangulo es h = 16 4b = 2 4 b, luego el área en función de la base b es A = b h 2 = b 2 4 b 2 = b 4 b 2. Suponga que una fábrica que produce cierto artículo pierde $100 si está inactiva, mientras que si está operando a su capacidad, que es de 100 unidades por hora, obtiene un beneficio de $ Si la relación entre beneficio y unidades producidas es lineal, determine la función de beneficio. Si la relación entre beneficio y unidades producidas es lineal, entonces la función de beneficio se puede escribir como B = au + b en donde B es el beneficio, U las unidades producidas, a y b constantes reales. Para determinar estas constantes debemos utilizar los datos del enunciado en la relación que planteamos anteriormente. Si está operando a su capacidad, que es de 100 unidades por hora, obtiene un beneficio de $1.000 ; esto se escribe en 1000 = a b = 100a + b De la misma forma, pierde $100 si está inactiva se escribe como 100 = a 0 + b = b 18

20 Ya teniendo b = 100 podemos calcular a despejandola de la segunda ecuación a = 1000 b 100 = 1000 ( 100) 100 = = 11 Entonces la función de beneficio es B = au + b = 11U La presión P de una muestra de gas es directamente proporcional a la temperatura T e inversamente proporcional a su volumen V. a) Determine una función que permita calcular la presión de la muestra. b) Determine una función que permita calcular la presión si 100 litros de gas ejercen una presión de 33,2 kpa a una temperatura de 400 K (temperatura absoluta medida en la escala de Kelvin). c) Si la temperatura se incrementa a 500 K y se reduce el volumen a 80 litros, cuál es la presión del gas? a) Si la presión es directamente proporcional a la temperatura e inversamente proporcional al volumen, entonces esto se puede escribir como P = c T V En donde c es la constante de proporcionalidad. b) Utilizando la expresión anterior con los datos que nos entregan 400 [K] 33, 2 [kp a] = c 100 [lt] c = 33, [ ] kp a = 8, 3 K lt [ ] kp a K lt Entonces la función que permite calcular la presión [ ] kp a T P = 8, 3 K lt V c) Con una temperatura de 500 K y un volumen de 80 litros [ ] kp a 500 [K] P = 8, 3 K lt 80 [lt] = 51, 875 [kp a] 19

21 4. La trayectoria de un proyetil está dada por la ecuación y(t) = 100t 5t 2 donde t se miden en segundos y la altura y(t) se mide en metros, entonces en cuál(es) de los siguientes valores de t estará el proyectil a 420 metros de altura sobre el nivel del suelo? I) 6 segundos II) 10 segundos III) 14 segundos Si queremos conocer el tiempo en el que el proyectil estará a 420 metros, entonces reemplazamos esa altura en la ecuación 420 = 100t 5t 2 y resolvemos la ecuación para encontrar los valores del tiempo 5t 2 100t = 0 t 2 20t + 84 = 0 t = 20 ± = 20 ± 64 2 = 20 ± 8 2 Las dos soluciones son t 1 = 14 y t 2 = 6, que corresponden a los tiempos en que el proyectil se encuentra a 420 metros de altura. 5. Cuáles deben ser lo valores de P y Q para que la parábola de ecuación y = P x 2 3x + Q intersecte al eje y en el punto (0, 4) e intersecte al eje x en el punto (4, 0)? Los puntos deben pertenecer a la parábola de ecuación y = P x 2 3x + Q, entonces los usamos para encontrar las constantes. Primero el punto (0, 4) Luego el punto (4, 0) 4 = P (0) 2 3(0) + Q Q = 4 0 = P (4) 2 3(4) + Q = 16P 12 4 = 16P 16 P = 1 Finalmente los valores de las constantes P y Q son 1 y 4, respectivamente. 20

22 6. Cuál debe ser el valor de k para que la parábola tenga el vértice en el punto (2, 1)? y = x 2 + kx + 3 Sabemos que el vértice de una parábola tiene coordenadas ( b ) 4ac b2, 2a 4a Reemplazamos con los valores de las constantes de la ecuación y = x 2 + kx + 3 ( k 2 ) 12 k2, 4 Utilizamos, por ejemplo, la abscisa de este punto para encontrar el valor de k, igualandola con la abscisa de (2, 1) k 2 = 2 k = 4 7. Encuentre la ecuación del eje de simetría de la parábola y = 3(x 5) Sabemos que la ecuación del eje de simetría de una parábola de ecución y = ax 2 + bx + c es x = b 2a Entonces escribimos la ecuación de la parábola de la forma en que necesitamos para conocer los valores de las constantes a, b y c Entonces la ecuación del eje de simetría es y = 3(x 5) = 3(x 2 10x + 25) + 2 = 3x 2 30x = 3x 2 30x + 77 x = 30 6 = 5 21

23 8. Encuentre las coordenadas del vértice de la parábola de ecuación y = (x + 1) 2 2 Primero escribimos la ecuación de la parábola de manera conveniente y = (x + 1) 2 2 = (x 2 + 2x + 1) 2 = x 2 2x 1 2 = x 2 2x 3 Y reemplazamos en las coordenadas del vértice de la parábola ( b ) ( 4ac b2, = 2 2a 4a 2, 12 4 ) = ( 1, 2) 4 9. Encuentre la ecuación de la parábola que tiene vértice en el punto (2, 3) y que pasa por el punto (3, 5). Primero, una parábola se puede escribir de forma general como y = ax 2 + bx + c Conocemos las coordenadas del vértice de la parábola, entonces lo igualamos a De igualar las abscisas se obtiene Y de igualar las ordenadas ( b ) 4ac b2, = (2, 3) 2a 4a b 2a = 2 a = b 4ac b 2 4a = 3 a 2 4ac + 12a = 0 22

24 Para encontrar c utilizamos el punto (3, 5), que pertenece a la parábola. Entonces reemplazando en la forma general de una parábola 5 = a(3) 2 + b(3) + c 5 = 9a 3a + c 5 = 6a + c c = 5 6a Usamos c en la ecuación anterior para dejarla sólo en función de a a 2 4a(5 6a) + 12a = 25a 2 8a = a(25a 8) = 0 Del resultado anterior tenemos dos posibles valores para a, pero desechamos a = 0 puesto que si este fuera el caso no tendriamos una función de segundo grado como la parábola. Entonces a = 8 25 b = 8 25, c = = Entonces la ecuación de la parábola que buscamos es y = ax 2 + bx + c = 8 25 x x Se arroja una pelota desde el suelo y la altura, en metros, viene dada por la ecuación y = 5t t siendo t el tiempo en segundos. Cuál es la altura máxima que alcanza? De la ecuación de la parábola podemos ver que su orientación en el plano cartesiano es con su concavidad hacia abajo, por lo que existe un punto de máximo valor, el vértice de la parábola. Entonces, necesitamos la altura, es decir, la ordenada del punto vértice 4ac b 2 4a = 4( 5) ( 5) = = 5 Entonces la altura máxima que alcanza la pelota es de 5 metros sobre el suelo. 23

25 Ejercicios Propuestos 1. Cuál de las funciones siguientes corresponde a una función afín? a) f = {( 1, 1), (0, 0), (1, 1)} b) f = {( 1, 1), (0, 2), (1, 4)} c) f = {( 1, 1), (0, 2), (1, 3)} d) f = {( 1, 1), (0, 1), (1, 2)} e) f = {( 1, 1), (0, 3), (1, 6)} 2. Una empresa de taxis cobra US$2.00 por la primera milla (o fracción) y 20 centavos por cada décima de milla subsiguiente (o fracción). Exprese el costo C (en dólares) de un recorrido como una función de la distancia x (en millas) para 0 < x < 2 y trace su gráfica. 3. La siguiente fórmula relaciona el tiempo transcurrido t con la altura A(t) que alcanza una pelota al ser lanzada desde el suelo: A(t) = 10t 5t 2 donde la altura se mide en metros y el tiempo en segundos. Cuál es la máxima altura que alcanza la pelota? 4. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones relativas a la función es(son) verdadera(s)? f(x) = 2x x + 16 I) Tiene un máximo valor en el punto ( 3, 2). II) Su dominio es el conjunto de los números reales. III) Su recorrido es el conjunto de los números reales menores o iguales que La ecuación de la parábola que tiene la misma forma que y = x 2 pero con vértice en ( 3, 2) es I) y = 3x II) y = (x + 3) 2 2 III) y = (x + 3)

26 6. Si se lanza una piedra verticalmente hacia arriba, ésta sube hasta un cierto punto y luego empieza a caer. La relación que existe entre el tiempo t que la piedra lleva en el aire cuando se encuentra a una altura y viene dada por la fórmula Cuándo alcanzará el punto más alto? y = 5t t La efectividad de un comercial en televisión depende de cuántas veces lo ve un espectador. Después de algunos experimentos, una agencia de publicidad determinó que si la efetividad E se mida en una escala del 0 al 10, entonces E(n) = 2 3 n 1 90 n2 donde n es el número de veces que un espectador ve un cierto comercial. Para que éste tenga una máxima efectividad, cuántas veces deberá verlo un espectador? 8. De entre todos los rectángulos que tienen un perímetro de 20 centímetros, el de mayor área tiene las dimensiones a) 1 cm y 9 cm b) 2 cm y 8 cm c) 3 cm y 7 cm d) 4 cm y 6 cm e) 5 cm y 5 cm 9. Para la fabricación de canaletas para las aguas lluvia se dispone de láminas de 30 centímetros de ancho. Cuál es la medida x para hacer los dobleces de modo que se obtenga una canaleta de máxima capacidad? a) 7,5 cm b) 10 cm c) 12,5 cm d) 15 cm e) 17,5 cm 10. Si P (x) es una función polinomial de segundo grado tal que P (3) = P ( 7) = 0 y P (0) = 42, encuentre el valor de P (4). 25