1. CÁLCULO DE PRIMITIVAS

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1 1 1. CÁLCULO DE PRIMITIVAS Definición 1.1. Primitiva. Una función F (x) es primitiva de f(x) si F (x) = f(x) para todo x del dominio de f. Obsérvese que si F (x) es primitiva de f(x), entonces F (x) + C también lo es para todo C R. Definición 1.. Dada la función f(x), llamamos integral indefinida de f(x) al conjunto de todas sus primitivas. Se denota f(x) dx = F (x) + C, donde C es una constante arbitraria y F (x) es una primitiva cualquiera de f(x). Obsérvese que f(x) + g(x) dx = f(x) dx + g(x) dx y af(x) dx = a f(x) dx. DIFERENCIALES f (x) = dy dx = d(f(x)), d(f(x)) = f dx (x)dx 1. d(f(x)) n = n(f(x)) n 1 f (x)dx. d(ln f(x)) = f (x) f(x) dx. d(log a f(x)) = log a e f (x) f(x) dx 4. d(a f(x) ) = ln a a f(x) f (x)dx 5. d(e f(x) ) = e f(x) f (x)dx 6. d(sen f(x)) = cos(f(x))f (x)dx 7. d(cos f(x)) = sen(f(x))f (x)dx 8. d(tg f(x)) = f (x) cos f(x) dx 9. d(cotg f(x)) = f (x) sen f(x) dx 10. d(sec f(x)) = f (x) sec f(x) tg f(x)dx 11. d(cosec f(x)) = f (x) cosec f(x) cotg f(x)dx 1. d(arc sen f(x)) = f (x) dx 1 f(x) 1. d(arc cos f(x)) = f (x) dx 1 f(x) INTEGRALES f(x) + C = f (x)dx 1. f(x)n+1 n+1 + C = f(x) n f (x)dx. ln f(x) + C = f (x) f(x) dx. log a f(x) + C = f (x) f(x) log a e dx 4. a f(x) + C = a f(x) f (x) ln a dx 5. e f(x) + C = e f(x) f (x)dx 6. sen f(x) + C = cos(f(x))f (x)dx 7. cos f(x) + C = sen(f(x))f (x)dx 8. tg f(x) + C = f (x) cos f(x) dx 9. cotg f(x) + C = f (x) sen f(x) dx 10. sec f(x)+c = f (x) sec(f(x)) tg(f(x))dx 11. cosec f(x)+c = f (x) cosec(f(x)) cotg(f(x))dx 1. arc sen f(x) + C = f (x) 1 f(x) dx 1. arc cos f(x) + C = f (x) dx 1 f(x) 14. d(arc tg f(x)) = f (x) 1+f(x) dx 15. d(arccotg f(x)) = f (x) 1+f(x) dx 14. arc tg f(x) + C = f (x) 1+f(x) dx 15. arccotg f(x) + C = f (x) 1+f(x) dx Integración por partes. fg = fg f g Integración por sustitución. f(x) dx = f(g(t))g (t) dt

2 1 CÁLCULO DE PRIMITIVAS 1.1. INTEGRALES INMEDIATAS. EJEMPLOS Instrucciones de uso: tápese la solución antes de empezar a hacer la integral. Después de resuelta, compruébese que es correcta (sólo después) (x+1) dx = 1 (x+1) + C. x+1 (x +x+1) dx = 1 x +x+1 + C. 1 1 x dx = +x+1 x+1 + C 4. 1 x +x +x+1 dx = 1 (x+1) + C 5. x x +1 + C x x+1 x+1 dx = 6(x+1)7/6 7 + C 7. x+1 x+1 dx = x C 8. x 1 + x dx = (1+x ) / 9 + C 9. x 1 x dx = (1 x ) / + C xdx = (1+x)/ + C x+5 dx = 1 ln x C 1. ax+b dx = ln ax + b + C a 1. x x + dx = 1 ln x + + C 14. x 6x +1 dx = 1 9 ln 6x C 15. e x 1+e x dx = ln(1 + e x ) + C 16. sen x cos x dx = ln sen x+cos x +C sen x+cos x dx = ln(ln x) + C x ln x (1+x dx = ln(arc tg x) + C ) arc tg x 19. e x+1 dx = 1 ex+1 + C 0. e x xdx = 1 e x + C 1. e x +1 x dx = 1 ex +1 + C. e tg x sec xdx = e tg x + C. 5 x 9 x dx = 45x ln 45 + C 4. arc tg x e 1+x dx = e arc tg x + C 5. e x+1 dx = 1 ex+1 + C 6. x cos(x + )dx = sen(x + ) + C 7. cos( x + 1)dx = sen( x + 1) + C 8. cos(x + 6)dx = sen(x + 6) + C 9. cos( x) x dx = sen( x) + C 0. cos(ln x) dx = sen(ln x) + C x 1. cos(tg x) cos dx = sen(tg x) + C x. cos(arc tg x) 1+x dx = sen(arc tg x) + C. 1 arc tg(x+7) 1+(x+7) dx = + C 4. x 1+x 8 dx = arc tg(x4 ) 4 + C 5. e x 1+e x dx = arc tg(e x ) + C 6. sec x 1+tg x = x + C 7. x 1+4 x dx = arc tg(x ) + C ln 8. 1 x(1+x) dx = arc tg( x) + C 9. 1 x(1+(ln x) dx = arc tg(ln x) + C ) x dx = arc tg(x + 1) + C +x x dx = 1 arc tg( x ) + C x dx = 1 arc tg( x ) + C x +4x+ dx = 1 arc tg(x + 1) + C 45. sec ( x + 1)dx = tg( x + 1) + C 46. sec (x + 6)dx = tg(x + 6) + C 47. x sec (x )dx = 1 tg(x ) + C 48. sen(x + 5)dx = 1 cos(x + 5) + C 49. x sen(x + )dx = cos(x + ) + C 50. sen(ln x) dx = 1 cos(ln x) + C x 51. sen( x) x dx = cos( x) + C 5. sen(arc tg x) 1+x dx = cos(arc tg x) + C 5. x+1 x +x 6 dx = ln x + x 6 + C 54. x 1 x x 6 dx = 1 ln x x 6 + C

3 1. INTEGRALES RACIONALES x 1+x dx = arc tg x + ln(1 + x ) + C 56. x +1 x dx = + x + ln x 1 + C x (x 1) dx = 1 x 1 + C 58. (ln x) (ln x)4 dx = + C x sen (x) cos(x)dx = 1 9 sen (x) + C 60. sen x+tg x cos x dx = ln cos x + 1 cos x +C 61. x 1 x 6x+5 dx = 1 6 ln x 6x C 6. x x 4 dx = 1 6 (1 x ) / + C 64. dx = ln sen x + C cosec x cotg x 65. x x 4 + dx = 6 arc tg( x ) + C 66. x +x (x+1) dx = x x+1 + C 67. dx = cot x + csc x + C 1+cos x 68. dx 5 16x = 1 arc sen(4x/5) + C dy y +10y+0 = 5 5 (y+5) 5 arc tg( )+C dx x 4 = arc sen( 0+8x x 6 ) + C 71. dx x+6 = arc sen( 8 1x x 8 ) + C 7. x+1 x +x 4 dx = x + x 4 + C 7. dx 1 cos x = 1+cos x sen x + C 74. e x 1+e 4x dx = 1 arc tg(ex ) + C 75. cos x sen x+8 dx = sen x arc tg( 8 ) + C 76. dx = 1 x 4 9(ln x) arc sen(ln(x ))+C 77. sec x dx = 1 arc sen( tg x) + C 1 4 tg x 1.. INTEGRALES RACIONALES Dados dos polinomios P (x),, si grad(p (x)) grad(), se tiene P (x) R(x) = C(x) + siendo grad(r(x)) < grad(). Entonces P (x) dx = C(x)dx + R(x) dx. Calculemos R(x) dx con grad(r(x)) < grad(). 1. DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES. Supondremos que queda factorizado del siguiente modo: = k(x α) q (x ρ) r [(x a) + b ] m [(x c) + d ] n R(x) = A 1 x α + + A s (x α) q + + R 1 x ρ M 1x + N 1 (x a) + b + + M mx + N m [(x a) + b ] m M 1 x + N 1 (x c) + d + + M nx + N n [(x c) + d ] n R r (x ρ) r + Al hacer la suma de las fracciones se iguala el numerador a R(x) y se determinan los coeficientes A i,..., R i, M i, N i,..., M i, N i. Para calcular R(x) dx bastará determinar las integrales de las fracciones del segundo miembro de la igualdad. i) A 1 x α dx = A 1 log x α + C

4 4 1 CÁLCULO DE PRIMITIVAS ii) A 1 dx = (x α) d iii) A 1 (d 1)(x α) d 1 + C si d 1 Mx+N dx = M (x a) +b log[(x a) + b ] + Ma+N b arc tg ( ) x a b + C iv) Mx+N dx = M(x a)+ma+n M dx = [(x a) +b ] d [(x a) +b ] d (Ma + N) dx [(x a) +b ] d La integral dx se resuelve haciendo el cambio [(x a) +b ] d (x a)/b = t y se transforma en = I d = dx x (x + 1) d = + 1 x (x + 1) d dx = dx (x + 1) d 1 Integrando J por partes, {u = x, dv = I d = (d 1)[(x a) +b ] d 1 + x (x + 1) d dx = I d 1 J. x dx (x +1) d }, se obtiene x d (d 1)(x + + 1) d 1 d I d 1 Se calcula de modo recurrente el valor de I d y se resuelve el caso iv).. MÉTODO DE HERMITE. Sea = k(x α) q (x ρ) r [(x a) + b ] m [(x c) + d ] n admitiendo raíces complejas múltiples. R(x) = A x α + + B x ρ + Cx + D (x a) + b + + Ex + F (x c) + d + + d [ a 0 x k + a 1 x k 1 ] + + a k dx (x α) q 1 (x ρ) r 1 [(x a) + b ] m 1 [(x c) + d ] n 1 siendo k = grado del denominador 1. Los coeficientes A,..., B, C, D,..., E, F, a i, se calculan derivando la expresión del cociente, multiplicando ambos miembros de la igualdad por e identificando R(x) con la suma del segundo miembro de la igualdad por. Tendremos entonces: R(x) A B + dx = x α dx + + Cx + D (x a) + b dx + + x ρ dx+ Ex + F (x c) + d dx+ [ a 0 x k + a 1 x k 1 ] + + a k + (x α) q 1 (x ρ) r 1 [(x a) + b ] m 1 [(x c) + d ] n 1

5 1. INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS Fórmulas fundamentales de trigonometría: 1. sen x + cos x = 1 8. sen x sen y = 1 [cos(x y) cos(x + y)]. 1 + tg x = sec x 9. cos x cos y = 1 [cos(x y) + cos(x + y)]. 1 + cotg x = cosec x cos x = sen ( x ) 4. sen x = 1 (1 cos x) cos x = cos ( x ) 5. cos x = 1 (1 + cos x) 1. 1 ± sen x = 1 ± cos( π x) 6. sen x cos x = 1 sen x 1. cos x = cos x sen x 7. sen x cos y = 1 [sen(x y) + sen(x + y)] 14. sen x = sen x cos x Integrales trigonométricas: 1. Las integrales del tipo sen mx cos nxdx, sen mx sen nxdx y cos mx cos nxdx se resuelven con cambios de las fórmulas fundamentales 7, 8 y 9.. Las integrales del tipo sen n xdx y cos n xdx se resuelven: Si n es par, n = k, reduciéndolas de grado con las fórmulas 4 y 5. Si n es impar, n = k + 1, sen n xdx = sen k x sen xdx = (1 cos x) k sen xdx y, desarrollando el binomio, se obtienen integrales inmediatas. Técnicas análogas se utilizan para resolver integrales del tipo sen m x cos n x dx.. Las integrales del tipo R(sen x, cos x)dx se resuelven:.1. Cambio general t = tg x t. Entonces sen x =, cos x = 1 t, 1+t 1+t dx = dt. 1+t Cambios especiales:.. Si R( sen x, cos x) = R(sen x, cos x), impar en sen x, se hace el cambio cos x = t. Entonces, sen x = 1 t, dx = dt. 1 t.. Si R(sen x, cos x) = R(sen x, cos x), impar en cos x, se hace el cambio sen x = t. Entonces, cos x = 1 t, dx = dt. 1 t.4. Si R( sen x, cos x) = R(sen x, cos x), par en sen x y cos x, se t hace el cambio tg x = t. Entonces, sen x =, cos x = 1, 1+t 1+t dx = dt 1+t INTEGRALES IRRACIONALES 1. ( ( ) m/n ( ) ) r/s R x, ax+b cx+d,..., ax+b cx+d dx. Se hace el cambio ax+b cx+d = tp, siendo p = m.c.m.(n,..., s).

6 6 1 CÁLCULO DE PRIMITIVAS. R(x, ax + bx + c)dx. -Si a > 0, se hace el cambio ax + bx + c = ax + t. -Si c > 0, se hace el cambio ax + bx + c = tx + c. -Si a < 0 y c < 0, se hace el cambio ax + bx + c = t(x α) siendo α una raíz de la ecuación ax + bx + c = 0.. R(x, x + a )dx. Se hace el cambio x = a tg t. 4. R(x, x a )dx. Se hace el cambio x = a sec t. 5. R(x, a x )dx. Se hace el cambio x = a sen t. dt t, obtenién- 6. R(a x )dx con a > 0. Se hace el cambio t = a x, dx = 1 1 dose la integral racional R(t) ln a t dt. ln a El caso se puede reducir a los casos, 4 ó 5 completando cuadrados en la expresión ax + bx + c.