Cálculo integral de funciones de una variable: integral indefinida

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1 Cálculo integral de funciones de una variable: integral indefinida BENITO J. GONZÁLEZ RODRÍGUEZ DOMINGO HERNÁNDEZ ABREU MATEO M. JIMÉNEZ PAIZ M. ISABEL MARRERO RODRÍGUEZ ALEJANDRO SANABRIA GARCÍA Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna Índice 1. Integral indefinida Introducción Tabla de integrales indefinidas Técnicas de integración Linealidad (superposición) Cambio de variable (sustitución) Integración por partes Integración de ciertas funciones que contienen trinomios cuadráticos Integración de funciones racionales: descomposición en fracciones simples Integración de funciones racionales: método de Hermite-Ostrogradski Integración de funciones trigonométricas Integración de funciones irracionales Integración de funciones trascendentes MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 013

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3 CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE: INTEGRAL INDEFINIDA 1/30 1. Integral indefinida 1.1. Introducción Problema: Dada una función f (x), encontrar otra, F(x), tal que F (x) f (x). Definición Si f :]a,b[ R R es una función dada, y se cumple que F (x) f (x) (x ]a,b[), se dice que F(x) es una función primitiva de f (x) en ]a,b[. Teorema Dos funciones primitivas de f (x) en ]a,b[ difieren en una constante. Definición El conjunto de todas las funciones primitivas de f (x) se denomina integral indefinida de f (x) y se denota f (x). En virtud del Teorema 1.1., si F(x) es una primitiva de f (x) entonces cualquier otra primitiva de f (x) tiene la forma F(x) +C para alguna C R, lo que abreviamos escribiendo f (x) F(x) +C. 1.. Tabla de integrales indefinidas 1. x r xr + 1 +C r + 1 (r 1). ln x +C x 3. e x e x +C a x ax +C (a > 0, a 1) lna senx cosx +C cosx senx +C tgx ln cosx +C secx ln secx + tgx +C cosecx ln cosecx ctgx +C ctgx ln senx +C MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 013

4 /30 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA sec x tgx +C cosec x ctgx +C shx chx +C chx shx +C 1 x 1 ln 1 + x 1 x +C arctgx +C 1 + x arcsenx +C 1 x ) (x x + 1 ln + x + 1 +C x x 1 ln + x 1 +C 1.3. Técnicas de integración Linealidad (superposición) [ n c j f j (x) j1 ] n j1 c j f j (x) Cambio de variable (sustitución) Para el cálculo de f (x) ponemos x g(t), donde g C 1 admite inversa: t g 1 (x). Entonces: f (x) f [g(t)]g (t) h(t), h(t) f [g(t)]g (t). Elegimos g de forma que la nueva integral indefinida sea más fácil de calcular. Obtenida ésta, deshacemos el cambio: f (x) h(t) H(t) +C H[g 1 (x)] +C F(x) +C. Ejemplo senxcosx OCW-ULL 013 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA

5 CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE: INTEGRAL INDEFINIDA 3/30 senxcosx Cambio: senx t, cosx senxcosx t 3 t3/ +C 3 sen3/ x +C. Ejemplo (Integral 15 de la tabla) 1 x 1 1 x 1 ( 1 x ) x 1 1 x 1 x x 1 Cambio: x + 1 t, ; x 1 s, ds 1 1 ds t s 1 ln t 1 s ln x + 1 x 1 +C. Ejemplo (Integral 16 de la tabla) 1 + x 1 + x Cambio: x tgt, sec t ; 1 + tg t sec t t +C arctgx +C. Ejemplo (Integral 17 de la tabla) 1 x MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 013

6 4/30 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA 1 x Cambio: x sent, cost ; sen t + cos t 1 t +C arcsenx +C. Ejemplo (Integral 18 de la tabla) x + 1 x + 1 Cambio: x sht, cht ; ch t sh t 1 t +C argshx +C. Notemos que argshx t lne t ln( sht + cht) ln ( ) x + x + 1. Ejemplo (Integral 19 de la tabla) x 1 x 1 Cambio: x cht, sht ; ch t sh t 1 t +C argchx +C. Notemos que argchx t lne t ln( cht + sht) ln x + x Integración por partes u dv uv v du OCW-ULL 013 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA

7 CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE: INTEGRAL INDEFINIDA 5/30 Esta fórmula se usa para integrar expresiones representables como producto de dos factores, u y dv, tales que la obtención de v a partir de dv y el cálculo de v du constituyan, en conjunto, un problema de más fácil solución que el cálculo directo de u dv. Su principal aplicación es la integración de expresiones que contienen funciones trigonométricas inversas, así como el cálculo de integrales del tipo x k senax, x k cosax, x k e ax, x k lnx, que se efectúa mediante fórmulas de reducción. Ejemplo I e ax cosbx, J e ax senbx I e ax cosbx e ax u, cosbx dv; ae ax 1 du, senbx b v I 1 b eax senbx a b e ax senbx 1 b eax senbx a b J (1.1) J e ax senbx e ax u, senbx dv; ae ax du, 1 b cosbx v J 1 b eax cosbx + a b e ax cosbx 1 b eax cosbx + a b I (1.) Las ecuaciones (1.1) y (1.) dan lugar a un sistema lineal de dos ecuaciones en las dos incógnitas I, J: I + a b J 1 b eax senbx a b I J 1 b eax cosbx. El valor de las integrales buscadas se obtiene resolviendo el sistema (1.3), y resulta ser: (1.3) I eax a (acosbx + bsenbx), + b MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 013

8 6/30 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA J eax a (asenbx bcosbx). + b Ejemplo (Fórmula de reducción) I m x m e ax (m N) x m u, mx m 1 du, e ax dv; e ax a v I m eax a xm m a Por aplicación reiterada de la fórmula (1.4) y teniendo en cuenta que I 0 x m 1 e ax eax a xm m a I m 1. (1.4) e ax eax a +C obtenemos finalmente I m eax a [ x m m m(m 1) a xm 1 + a x m ( 1) m m! ] a m +C Integración de ciertas funciones que contienen trinomios cuadráticos ax + bx + c (a 0) Completamos cuadrados en el denominador: [ ax + bx + c a x + b a x + c ] [ ( a x + b ) ( ) ] [ ( c + a a a b 4a a x + b ) ] ± m, a donde c a b 4a ±m. OCW-ULL 013 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA

9 CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE: INTEGRAL INDEFINIDA 7/30 Se toma el signo + ó según que el denominador tenga raíces complejas ó reales, respectivamente. m 0 ax + bx + c 1 a ( x + b a ) Cambio: x + b t, ; a t ax + b a 1 a t 1 at +C ax + b +C. m 0 ax + bx + c 1 a ( x + b a ) ± m Cambio: x + b mt, m ; a t 1 ma t ± 1. ax + b ma Si comparece el signo + (integral 16 de la tabla): ax + bx + c 1 ma arctgt +C 1 ax + b arctg ma ma +C. Si comparece el signo (integral 15 de la tabla): ax + bx + c 1 ma ln t 1 t + 1 +C 1 ma ln ax + b ma ax + b + ma +C. Ejemplo x x 5 x x 5 (x 1) 6 Cambio: x 1 6t, 6; t x t ln t 1 t + 1 +C 1 6 ln x 1 6 x C Ax + B ax (a 0) + bx + c Intentamos que en el numerador aparezca la derivada del denominador para escribir la integral como suma MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 013

10 8/30 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA de una inmediata y otra del tipo ( ) B Ab a A Ax + B ax + bx + c a (ax + b) + ax + bx + c A ax + b a ax + bx + c + ( B Ab a ) ax + bx + c. La primera integral se calcula por sustitución: A a ax + b ax + bx + c Cambio: ax + bx + c t, (ax + b) A a t A a ln t +C A a ln ax + bx + c +C. La segunda es del tipo Ejemplo x + 3 x x 5 1 x + 3 x x 5 (x ) + 4 x x 5 1 x x x x x 5 1 ln x x 5 x ln x C. Hemos aprovechado el resultado obtenido en el ejemplo anterior I k (x + bx + c) k (k N, k ; b 4c < 0) (x + bx + c) k [ (x + b ) + m ] k Cambio: x + b mt, m ; t 1 (t + 1) k m k 1 1 m k 1 1 m k 1 (t + 1) k 1 1 m k 1 x + b m t + 1 (t + 1) k 1 t (t + 1) k. m k 1 El cálculo de la segunda integral se efectúa por partes: t (t + 1) k OCW-ULL 013 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA

11 CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE: INTEGRAL INDEFINIDA 9/30 t (t + 1) k 1 t (t + 1) k t u t, dv du, t (t + 1) k ; v 1 (k 1)(t + 1)k 1 [ 1 t (k 1)(t + 1) k k 1 (t + 1) k 1 ]. Por consiguiente, I k 1 m k 1 (t + 1) k 1 1 (k 1)m k 1 (t + 1) k 1 + t (k 1)m k 1 (t + 1) k 1 k 3 (k 1)m k 1 (t + 1) k 1 + t (k 1)m k 1 (t + 1) k 1 k 3 (k 1)m [(mt) + m ] k 1 + t (k 1)m[(mt) + m ] k 1 k 3 (k 1)m (x + bx + c) k x + b 4(k 1)m (x + bx + c) k 1. En definitiva: I k k 3 (k 1)m I 1 x + b k 1 + 4(k 1)m (x + bx + c) k 1. La fórmula obtenida permite reducir el cálculo de I k al de I 1, que es una integral del tipo Ejemplo (x + x + 3) (x + x + 3) [(x + 1) + ] Cambio: x + 1 t, ; t x (t + 1) 4 t (t + 1) 1 u t, dv t (t + 1) ; [ t + 1 t (t + 1) t ] t (t + 1) MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 013

12 10/30 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA du, v 1 t t t t + 1. Luego: (x + x + 3) [ ] t 8 t t + 1 [ ] t 8 t arctgt +C x + 1 4(x + x + 3) arctg x + 1 +C Ax + B (x + bx + c) k (k N, k ; b 4c < 0) Esta integral se expresa como suma de una inmediata y otra del tipo Ax + B (x + bx + c) k A A (x + b) + ( B Ab ) (x + bx + c) k x + b (x + bx + c) k + ( B Ab A 1 (k 1) (x + bx + c) k 1 + ) ( B Ab (x + bx + c) k ) (x + bx + c) k. Ejemplo x 1 (x + x + 3) x 1 1 (x + x + 3) (x + ) (x + x + 3) 1 (x + x + 3) x + 1 (x + x + 3) 1 arctg x + 1 +C x + (x + x + 3) 1 arctg x + 1 +C. Hemos utilizado el resultado que se obtuvo en el ejemplo anterior. OCW-ULL 013 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA

13 CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE: INTEGRAL INDEFINIDA 11/ ax + bx + c (a 0) Como en 1.3.9, completamos cuadrados en el denominador para escribir: ax + bx + c (x ) a[ + b ]. a ± m m 0 En este caso, necesariamente a > 0. a ( x + a b ) Cambio: x + b a t, ; t ax + b a 1 a x + a b 1 1 ln t +C 1 ln ax + b +C a t a a (recuérdese que C es una constante arbitraria). m 0 (x ) a[ + b ] a ± m Cambio: x + b mt, m ; a t a(t ± 1). ax + b ma Si a < 0, la nueva integral es expresable en la forma 1 a 1 t (integral 17 de la tabla), de modo que ax + bx + c 1 arcsent +C 1 arcsen ax + b a a ma +C. Si a > 0, la nueva integral se escribe en la forma 1 a t ± 1 (integrales 18, 19 de la tabla), de modo que MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 013

14 1/30 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA ax + bx + c 1 ln t + t ± 1 +C a 1 ln a 4a(ax ax + b + + bx + c) +C (C es una constante arbitraria). Ejemplo x + 4x + 10 x + 4x + 10 (x + ) + 6 Cambio: x + 6t, 6 ; t x + 6 t t + 1 ln t C ln (x x ) + 6 x +C ln + + x + 4x C Ax + B (a 0) ax + bx + c Procedemos como en y : Ax + B Aa ax + bx + c (ax + b) + ( B Ab ) a ax + bx + c A ( ax + b a ax + bx + c + B Ab ) a ax + bx + c. La primera integral ya es inmediata, pero para mayor claridad se puede calcular por sustitución: A ax + b a ax + bx + c Cambio: ax + bx + c t, (ax + b) A a A A t +C ax t a a + bx + c +C. La segunda es del tipo Ejemplo x + 3 x + 4x + 10 OCW-ULL 013 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA

15 CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE: INTEGRAL INDEFINIDA 13/30 5x x + 4x + 10 (x + 4) 7 x + 4x x + 4 x + 4x x + 4x ln x + + x + 4x + 10 x + 4x C. Hemos hecho uso del resultado obtenido en el ejemplo anterior (Ax + B) (A 0) ax + bx + c Esta integral se reduce a una del tipo En efecto, se tiene: ax + bx + c Cambio: 1 Ax + B t; x 1 ( ) 1 Bt, A t a ( ) 1 Bt A + b ( ) 1 Bt + c t A t 1 A t [ a(1 Bt) + bat(1 Bt) + ca t ] 1 A t [ (ab bab + ca )t + (ba ab)t + a ]. De este modo: donde m ab bab + ca, n ba ab. (Ax + B) ax + bx + c mt + nt + a, Ejemplo (x + 1) x + x (x + 1) x + x + 1 Cambio: 1 x + 1 t; x 1 t, t t MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 013

16 14/30 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA t t + 1 (t 1 ) Cambio: t 1 3 v, dv v v + 1 ln + v dv; v 1 1 x x +C ln 1 + x 1 x + x + x + 1 +C Integración de funciones racionales: descomposición en fracciones simples Q(x) f (x), Q(x), f (x) polinomios Suponemos que la función racional Q(x) es irreducible (Q(x), f (x) no tienen raíces comunes). f (x) Si grado Q(x) grado f (x) (función racional impropia), se efectúa la división para obtener: Q(x) R(x) P(x) + f (x) f (x), siendo R(x), P(x) polinomios, con grado R(x) < grado f (x). Si grado Q(x) < grado f (x) (función racional propia), entonces Q(x) es descomponible en fracciones f (x) simples, de los tipos: A (i) x a, cuya integral es A Aln x a +C. x a (ii) A (x a) k, cuya integral es A (x a) k A +C. (k 1)(x a) k 1 Ax + B (iii) x (b 4c < 0), que es una integral del tipo bx + c Ax + B (iv) (x + bx + c) k (b 4c < 0; k N, k ), que es una integral del tipo Para obtener la descomposición en fracciones simples de Q(x), hallamos las raíces de f (x). f (x) Cada raíz real a de multiplicidad r produce r términos A 1 x a + A (x a) A r (x a) r. Cada raíz compleja α ± iβ de multiplicidad s produce s términos M 1 x + N 1 (x α) + β + M x + N [(x α) + β ] M s x + N s [(x α) + β ] s. OCW-ULL 013 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA

17 CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE: INTEGRAL INDEFINIDA 15/30 Los coeficientes indeterminados A i (1 i r), M j, N j (1 j s) se calculan por reducción a común denominador e igualación. Ejemplo x 8x (x 1) (x + 1) Observamos que la función racional 4x 8x (x 1) (x + 1) es propia. Las raíces del denominador son x 1 (real, de multiplicidad ) y x ±i (compleja, de multiplicidad ). Por consiguiente: Para obtener A, B, C, D, E, F: 4x 8x (x 1) (x + 1) A x 1 + B (x 1) + Cx + D x Ex + F (x + 1). (1.5) Se reduce a común denominador el segundo miembro de (1.5) y se igualan los numeradores: 4x 8x A(x 1) ( x + 1 ) + B ( x + 1 ) + (Cx + D)(x 1) ( x + 1 ) + (Ex + F)(x 1). (1.6) Se agrupan los coeficientes de las distintas potencias de x en el segundo miembro de (1.6), identificándolos con los correspondientes del primer miembro. Resulta así un sistema lineal de seis ecuaciones en las seis incógnitas A, B, C, D, E, F: A +C 0 A + B C + D 0 A + C D + E 0 A + B C + D E + F 4 A +C D + E F 8 A + B + D + F 0. (1.7) Se obtienen los valores de los coeficientes resolviendo el sistema. Como norma general, mediante la regla de Cramer; pero se simplifica la tarea si Se reduce el orden del sistema sustituyendo las raíces de f (x) en el segundo miembro de la ecuación MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 013

18 16/30 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA (1.6) y se resuelve el nuevo sistema: x 1 4 4B B 1 E 4 E x i 4 8i (Ei + F)( i) E Fi F 8 F 4. Ahora sustituimos en (1.7) los resultados que acabamos de obtener: A +C 0 B C D C D 1 E D D 1 C A. Quedamos ya en disposición de resolver la integral: 4x 8x (x 1) (x + 1) x 1 x + 1 (x 1) x + 1 (x 1) ln x x 1 arctgx x (x + 1) (x 1) ln x x x (x + arctgx +C. + 1)(x 1) x (x + 1) Integración de funciones racionales: método de Hermite-Ostrogradski Simplifica la integración de funciones racionales cuyo denominador tiene raíces múltiples Sea Q(x) una función racional irreducible y propia. Se verifica f (x) Q(x) f (x) d [ ] X(x) + Y (x) P(x) R(x), donde: P(x) polinomio con las mismas raíces que f (x) y multiplicidad disminuida en una unidad; R(x) polinomio con las mismas raíces que f (x) y multiplicidad 1; X(x), Y (x) polinomios con coeficientes indeterminados, tales que: OCW-ULL 013 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA

19 CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE: INTEGRAL INDEFINIDA 17/30 grado X(x) grado P(x) 1, grado Y (x) grado R(x) 1. Los coeficientes de X(x) e Y (x) se calculan por derivación, reducción a común denominador e igualación. Efectuando esta descomposición, se obtiene: Q(x) X(x) Y (x) f (x) P(x) + R(x). Ejemplo x 8x (x 1) (x + 1) 4x 8x (x 1) (x + 1) d ( Ax ) + Bx +C (x 1)(x + Mx + Nx + E + 1) (x 1)(x + 1). 4x 8x (Ax + B)(x 1)(x + 1) (Ax + Bx +C)(3x x + 1) +(Mx + Nx + E)(x 1)(x + 1). (1.8) x 1 4 (A + B +C) A + B +C A B +C x i 4 8i ([(C A) B] + i[(c A) + B]) A + B +C 4. Resolvemos el sistema lineal de tres ecuaciones en las tres incógnitas A, B, C así obtenido; la solución es A 3, B 1, C 0. Sustituyendo estos valores en (1.8), e igualando los coeficientes de las distintas potencias de x en el primer y segundo miembros, encontramos: M 0, N 3, E 1. Por tanto, 4x 8x (x 1) (x + 1) 3x x (x + 1)(x 1) + 3x + 1 (x 1)(x + 1). Para calcular la integral del segundo miembro efectuamos una descomposición en fracciones simples del MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 013

20 18/30 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA integrando: 3x + 1 (x 1)(x + 1) A Bx +C + x 1 x + 1 3x + 1 (A + B)x + (C B)x + (A C) A + B 0 C B 3 A C 1. Luego, A, B, C 1, y en consecuencia 3x + 1 (x 1)(x + 1) x 1 x 1 (x 1) x ln + 1 x + arctgx +C. + 1 Concluimos: 4x 8x (x 1) (x + 1) 3x x (x 1) (x + ln + 1)(x 1) x + arctgx +C. + 1 Compárese con el ejemplo anterior Integración de funciones trigonométricas R(sen x, cos x), R(u, v) función racional Se reduce a la integración de funciones racionales mediante alguna de las sustituciones siguientes: Sustitución trigonométrica universal tg x t; x arctgt, 1 +t, senx sen x cos x sen x cos x sen x + cos x tg x 1 + tg x t 1 +t, cosx cos x sen x cos x sen x sen x + cos x 1 tg x 1 + tg x 1 t 1 +t. Otras sustituciones (I) R( senx, cosx) R(senx,cosx) tgx t; x arctgt, 1 +t, senx senx sen x + cos x cosx tgx 1 + tg x t 1 +t, cosx sen x + cos x tg x t OCW-ULL 013 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA

21 CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE: INTEGRAL INDEFINIDA 19/30 (II) R( senx,cosx) R(senx,cosx) cosx t, senx. (III) R(senx, cosx) R(senx,cosx) senx t, cosx sen m xcos n x (m,n Z) Este es un caso particular del anterior, con R(senx,cosx) sen m xcos n x. Por tanto: (i) m,n pares ó m,n impares R( senx, cosx) R(senx,cosx) (I) tgx t (!) m,n pares y positivos: se transforma el integrando mediante las fórmulas 1 cosx 1 + cosx senx, cosx, senxcosx 1 senx. (ii) m impar R( senx,cosx) R(senx,cosx) (II) cosx t (iii) n impar R(senx, cosx) R(senx,cosx) (III) senx t senmxsennx, senmxcosnx, cosmxcosnx Aplicamos las fórmulas: senmxsennx 1 [ cos(m + n)x + cos(m n)x], senmxcosnx 1 [sen(m + n)x + sen(m n)x], cosmxcosnx 1 [cos(m + n)x + cos(m n)x], MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 013

22 1 +t 0/30 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA que se deducen de las relaciones: sen(m ± n)x senmxcosnx ± sennxcosmx, cos(m ± n)x cosmxcosnx senmxsennx. Ejemplo senx senx Cambio: tg x t; t, senx 1 +t ln t +C ln tg x +C. t Ejemplo senx senx Cambio: cosx t, senx t 1 1 ln 1 t 1 +t +C 1 ln 1 cosx tg 1 + cosx +C ln x +C. Ejemplo sen x sen x Cambio: tgx t; 1 +t, sen x t t + 1 arctg t +C 1 arctg tgx +C. 1 +t OCW-ULL 013 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA

23 CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE: INTEGRAL INDEFINIDA 1/30 Ejemplo sen 3 x + cosx sen 3 x + cosx Cambio: cosx t, senx t ( 1 t + t + 3 ) t t + 3ln t + +C t + cos x cosx + 3ln + cosx +C. Ejemplo cos 3 x sen 4 x cos 3 x sen 4 x Cambio: senx t, cosx t 4 t 1 t 1 3t 3 +C 1 senx 1 3 sen 3 x +C. Ejemplo sen 4 x sen 4 x Fórmula: sen x 1 (1 cosx) 1 4 (1 cosx + cos x ) x 4 senx cos x Fórmula: cos x 1 (1 + cosx) x 4 senx (1 + cos4x) 3x 8 senx + sen4x 4 3 +C. MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 013

24 /30 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA En este ejemplo, tanto la sustitución trigonométrica universal como la sustitución general del caso (I) dan lugar a una integral de resolución más laboriosa. Ejemplo sen x cos 6 x sen x cos 6 x Cambio: tgx t; 1 +t, senx t, cosx 1 1 +t 1 +t (t +t 4 ) t3 3 + t5 5 +C tg3 x 3 + tg5 x 5 +C. Ejemplo sen5xsen3x sen5xsen3x 1 (cosx cos8x) 1 4 senx 1 sen8x +C Integración de funciones irracionales En lo que sigue, R denotará una función racional de sus variables R [ x, ( ) m ( ) r ] ax + b n ax + b s,..., cx + d cx + d Cambio: ax + b cx + d tk, k m.c.m. {n,...,s}. Ejemplo x + 4 x OCW-ULL 013 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA

25 CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE: INTEGRAL INDEFINIDA 3/30 x + 4 x Cambio: x + 4 t, t t t t 4 4 t t 4 t + ln t t + +C x ln x x + 4 +C ( ) R x, ax + bx + c Sustituciones de Euler a > 0 : c > 0 : ax + bx + c ± ( ax +t; x t c t b t a bt + c a ), a (b t a) ax + bx + c xt ± c; x ±t c b a t, ± (t c bt + a c) (a t ) b 4ac > 0, α β raíces reales de ax + bx + c: ax aβ αt at(β α) + bx + c t(x α); x a t, (a t ). Ejemplo x + 4x + 10 x + 4x + 10 Cambio: x + 4x + 10 x +t; x t 10 t + 4, ( t + 4t + 10 ) (t + 4) x t + ln t + +C ln + + x + 4x C. Ejemplo (1 1 + x + x ) x 1 + x + x MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 013

26 4/30 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA (1 1 + x + x ) x 1 + x + x Cambio: 1 + x + x xt + 1; x t 1 1 t, ( t t + 1 ) (1 t ) ( t 1 t + ln 1 +t + x + x 1) 1 t 1 t +C x x + x + ln x x x + x +C. Ejemplo x 1 4x 5x 1 4x 0 x 1, x 1 4 5x 1 4x Cambio: 5x 1 4x t(x 1); x t + 1 t + 4, t + 4 arctg t 5x 1 4x +C arctg +C. (x 1) 6t (t + 4) Sustituciones trigonométricas ( ax + bx + c a x + b a ) + (c b 4a ) Cambio: x + b t, a ) at + (c b. 4a a > 0, c b 4a > 0 a m, c b 4a n ax + bx + c m t + n Cambio: mt ntgv, m n sec v dv OCW-ULL 013 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA

27 CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE: INTEGRAL INDEFINIDA 5/30 n tg v + 1 nsecv ( ) R x, ax + bx + c ( nsenv R mcosv b a, ) n cosv n mcos v dv. a > 0, c b 4a < 0 a m, c b 4a n ax + bx + c m t n Cambio: mt nsecv, m ntgvsecv dv n sec v 1 ntgv ( ) R x, ax + bx + c ( n R mcosv b a, nsenv ) nsenv cosv mcos v dv. a < 0, c b 4a > 0 a m, c b 4a n ax + bx + c n m t Cambio: mt nsenv, m ncosv dv n 1 sen v ncosv ( ) R x, ax + bx + c ( n R m senv b ) n a,ncosv cosv dv. m Ejemplo x + 1 x 1 x 1 x x + 1 x 1 x 1 x Cambio: x sent, cost sent + cost cost 1 sent cost Cambio: tgt v; t arctgv, dv 1 + v ; sent v, cost v 1 + v v + 1 v 1 (v + 1)(v v + 1) dv v + 1 dv v v v + 1 dv MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 013

28 6/30 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA 1 ln v + 1 arctgv 1 ln v v arctg v 1 3 +C 1 ln tg t + 1 t 1 ln tg t tgt arctg tgt 1 3 +C 1 ln tg (arcsen x) + 1 arcsen x 1 ln tg (arcsen x) tg(arcsen x) tg(arcsen x) 1 3arctg +C. 3 Casos particulares (i) Integrales que contienen un trinomio cuadrático, de los tipos , , P(x) (ii) ax + bx + c, P(x) polinomio, grado P(x) n : fórmula de reducción P(x) ax + bx + c d [ ] X(x) ax λ + bx + c + ax + bx + c, donde: X(x) polinomio con coeficientes indeterminados, grado X(x) grado P(x) 1 λ coeficiente indeterminado. Los coeficientes de X(x) y λ se calculan por derivación, reducción a común denominador e igualación. P(x) ax ax + bx + c X(x) + bx + c + λ ax + bx + c. (iii) (iv) (!) La fórmula es válida también para n 1. (Ax + B) n (n N, n ) ax + bx + c Se reducen a las de tipo (ii) mediante el 1 Cambio: Ax + B t. ax + bx + c Se reducen a las de tipo (ii) multiplicando y dividiendo el integrando por sí mismo: ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c. OCW-ULL 013 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA

29 CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE: INTEGRAL INDEFINIDA 7/30 Ejemplo x x x x x x d [ ] (Ax + Bx +C) 1 + x x λ x x (Ax + B) 1 + x x + ( Ax + Bx +C ) 1 x + λ. 1 + x x 1 + x x Reducimos a común denominador e identificamos numeradores: x 3 (Ax + B)(1 + x x ) + (Ax + Bx +C)(1 x) + λ 3Ax 3 + (5A B)x + (A + 3B C)x + (B +C + λ). Igualamos coeficientes: 3A 1 5A B 0 A + 3B C 0 B +C + λ 0. La solución del sistema es: A 1 3, B 5 6, C 19 6, λ 4. Por otra parte, 1 + x x (x 1) + Cambio: x 1 t, x 1 arcsent +C arcsen +C. 1 t Luego: x 3 + 5x x x x + x x 6 + 4arcsen x 1 +C. Ejemplo x + 4x + 1 (x + 1) x 4 + 4x 3 + 5x + x MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 013

30 8/30 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA x + 4x + 1 (x + 1) x 4 + 4x 3 + 5x + x Cambio: 1 x + 1 t; x 1 t x + 4x + 1 (x + 1) x(x + 1) (x + ) Aplicamos la fórmula de reducción: 1, t t t 1 1 t x + 4x + 1 t (x + 1) 3 x(x + ) t 1. 1 t d [ ] (At + B) 1 t + λ. 1 t Derivando, reduciendo a común denominador e igualando coeficientes de potencias de t de igual grado en el primer y segundo miembro obtenemos: A 1, B, λ 0. Luego, x + 4x + 1 (x + 1) x 4 + 4x 3 + 5x + x ( t) 1 t +C (x + 1) x + x (x + 1) +C Integrales binomias: x m (a + bx n ) p (m,n, p Q) Teorema (Chebyshev). Una integral binomia es racionalizable si, y sólo si, ocurre alguno de las tres situaciones siguientes: i) p Z; ii) m + 1 n Z; iii) m + 1 n + p Z. En efecto, tras el Cambio: x n t; x t 1 n, 1 n t 1 n 1 resulta: x m (a + bx n ) p 1 n t m+1 n 1 (a + bt) p. i) p Z m r n q Q ( ) R t,t q r [tipo (I)] Cambio: t v q x v q n OCW-ULL 013 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA

31 CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE: INTEGRAL INDEFINIDA 9/30 ii) m + 1 Z m Z n n p r ( ) s Q R t,(a + bt) r s [tipo (I)] ( v Cambio: a + bt v s s a x b ) 1 n iii) m + 1 n p r s Q + p Z m + 1 n t m+1 n + p 1 Z ) p +p 1 ( a + bt t ( ( ) r ) a + bt s R t, t [tipo (I)] Ejemplo Cambio: a + bt t ( ) 1 a v s n x v s b 3 x x + 3 x x + ( ) x + x 1 3 Cambio: x ( v ) 3, 3 ( v ) 1 v dv; v (v 3 ) v dv 3 7 v7 1 5 v5 + 4v 3 +C 3 ( x ( ) x ) ( x 5 ( 3 + ) + 4 x ) +C Integración de funciones trascendentes R] f (x)], g(t) f 1 (t) x : f [g(t)] racional Se reduce a la integración de funciones racionales mediante el Cambio: f (x) t, f (x) R( f (x)) R(t) f (g(t)). Ejemplo e x 3 e x 1 + e x e x 3 e x 1 + e x MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 013

32 30/30 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA Cambio: e x t, t 1 3t 4ln 1 +t 3t +C 4ln 1 + e x 3e x +C. 1 +t Ejemplo tg 3 x + tgx 1 tgx tg 3 x + tgx 1 tgx Cambio: tgx t, 1 +t t 1 t t 1 ln 1 t +C tgx 4 1 ln 1 tgx +C. 4 OCW-ULL 013 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA