CÁLCULO DE PRIMITIVAS
|
|
- Andrés de la Fuente Espinoza
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 CÁLCULO DE PRIMITIVAS David Ariza-Ruiz Departamento de Análisis Matemático Seminario I 7 de noviembre de 202 (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 / 42
2 Definición y propiedades Primitiva. Integral indefinida I Definición. Sea f : S R R, con S abierto. Una primitiva de f es una función F : S R R tal que F (x) = f (x) para todo x S. Propisición 2. Si S es un intervalo abierto y F es una primitiva de f, entonces todas las primitivas de f son de la forma F(x) + C, con C R. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de / 42
3 Definición y propiedades Primitiva. Integral indefinida II Definición 3. Se llama integral indefinida de f al conjunto de todas sus primitivas, y se denota por f (x)dx. Observación 4. Usando la proposición anterior, tenemos que f (x)dx = F(x) + C con C R y siendo F (x) = f (x). (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de / 42
4 Definición y propiedades Primitiva. Integral indefinida III Observación 5. De la definición de integral indefinida se deduce ( ) f (x)dx = f (x), es decir, la derivada de una primitiva cualquiera de la función integrando f es igual a la propia función f. Ejemplo 6. Demostrar que la función F(x) = 5 cotx es la primitiva de la función f (x) = en el intervalo (0,π). sen 2 x (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de / 42
5 Propiedades Definición y propiedades Integral del producto de un número por una función. α f (x)dx = α f (x)dx para todo α R. Integral de la suma o diferencia. (f (x) ± g(x) ) dx = f (x)dx ± g(x) dx. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de / 42
6 Integrales inmediatas Integrales inmediatas x n dx = xn+ + C con n. n + dx = log x + C. x a 2 x 2 dx = arcsen( x a ) + C. e x dx = e x + C. sen(x)dx = cos(x) + C. a 2 + x 2 dx = a arctan( x a ) + C. cos(x)dx = sen(x) + C. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de / 42
7 Integrales inmediatas Integrales inmediatas (Ejemplos) (5x 4 3x 3 + 2x π ) dx = x x4 + x 2 πx + C, con C R. 2 ( ) 3 x 2 4senx dx = 3 + 4cosx + C, con C R. x xdx 2 = x C, con C R. 5 2x dx = 5 2 ( 2x ) 2 7 arctan 7 + C, con C R. 5 Hallar F(x) sabiendo que F (x) = 6x + 3 y F( 2) = 4. Solución: F(x) = 3x 2 + 3x 2. 6 Hallar F(x) sabiendo que F (x) = 9x 2 + 4x 0 y F( ) = 0. Solución: F(x) = 3x 3 + 2x 2 0x +. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de / 42
8 Métodos de integración Cambio de variable. 2 Integración por partes. 3 Integración de funciones racionales. Tipo p(x) q(x), siendo p(x) y q(x) polinomios. 2 Tipo R(sen x, cos x). [ ) m 3 Tipo R x,( ax+b n cx+d, ( ax+b cx+d ( ) 4 Tipo R x, ±a 2 ± b 2 x 2. ) p ] q, con m,n,p,q Z, n,q 0. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de / 42
9 Cambio de variable Métodos de integración Cambio de variable Este proceso se hace en tres pasos: Paso. Hacemos un cambio de variable. Para ello, sustituimos la variable x por t, teniendo en cuenta dx y dt. Paso 2. Integración de la nueva función en t. Si la integral de la nueva función en t es más sencilla que la dada, se procede a su cálculo. en caso contrario hay que elegir otro cambio de variable u otro método de integración. Paso 3. Deshacemos el cambio de variable, sustituyendo la variable t por x en la primitiva hallada en el paso 2. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de / 42
10 Cambio de variable (Ejemplos) Cambio de variable 2 3 (2x + ) 5 dx x + x 2 dx tan(x) dx tan(x) cos 2 dx (x) cos(6x) sen(6x) + 4 dx 4 5 log 3 (x) dx x x log 4 (x) dx 8 9 cos x dx x cosx + sen 2 x dx (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de / 42
11 Integración por partes Integración por partes u(x) v (x)dx = u(x) v(x) v(x) u (x)dx. Formalmente, u dv = uv v du. un día vi una vaca sin rabo vestida de uniforme. La elección de u se hace usando la regla ALPES. A tipo Arcotan, Arcsen, Arccos,... L funciones Logarítmicas. P tipo Polinomios. E tipo Exponencial. S tipo Seno, coseno, tangente (trigonométricas). (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 202 / 42
12 Integración por partes Integración por partes (Ejemplos) I xe x dx 6 x 2 sen(x)dx x cos(x)dx x 2 log(x)dx log(x) dx 7 8 e x cos(x)dx e x cos(x)dx 5 arctan(x) dx 9 x arctan(x) dx (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de / 42
13 Integración por partes Integración por partes (Ejemplos) II A veces no está claro que una integral se resuelva integrando por partes. { u = a 2 a 2 x 2 x 2 du = a x dx= 2 x 2 dx dv = dx v = x Luego, } = x a 2 x 2 [ = x a 2 x 2 a 2 a 2 x + a2 x 2 ] dx 2 a 2 x 2 = x a 2 x 2 + a 2 a 2 x 2 dx x 2 + a 2 dx = x a 2 x 2 + a 2 arcsen ( ) x a x 2 + a 2 dx x 2 a 2 x 2 dx a 2 x 2 dx = x a 2 2 x 2 + a2 2 arcsen( x a) + C, con C R. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de / 42
14 Funciones racionales I Tipo p(x), con p(x),q(x) polinomios I q(x) Ejemplo 7. { e x dx = t = e x e x = t + dt = e x dx dx = t+ dt } = dt =? t(t + ) MÉTODO: Descomponer p(x) q(x) en fracciones simples. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de / 42
15 Funciones racionales I Tipo p(x), con p(x),q(x) polinomios II q(x) Si el grado de p(x) es mayor que el de q(x), efectuamos la división de polinomios. D x 2 x 5 x 3 4 x 2 x 5 2 x 4 2 x 4 x 3 4 x 2 x 4 2 x 3 x 3 4 x x 3 x 2 x 2 x 2 x 3 2 x 2 x c x d x x 2 4 x x 2 x 5 x En este caso, si c(x) es el cociente, y r(x) el resto, entonces p(x) r(x) q(x) dx = c(x)dx + q(x) dx. r x (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de / 42
16 Funciones racionales I Tipo p(x), con p(x),q(x) polinomios III q(x) Sea pues el grado de p(x) estrictamente menor que el de q(x). En este caso, podemos descomponer p(x) q(x) en fracciones simples. Llamamos fracciones simples a aquellas que son de la forma A (x α) n ó Mx + N (ax 2 + bx + c) m, donde A,α,M,N,a,b,c R y n,m N con n,m y b 2 4ac < 0. Cómo descomponer p(x) q(x) en fracciones simples? Hay que fijarse en las raíces de q(x). (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de / 42
17 Funciones racionales I Tipo p(x), con p(x),q(x) polinomios IV q(x) Distinguimos 4 casos: Caso. q(x) sólo tiene raíces reales simples. Caso 2. q(x) tiene raíces reales múltiples (repetidas). Caso 3. q(x) tiene raíces complejas (no reales) simples. Caso 4. q(x) tiene raíces complejas (no reales) múltiples (repetidas). [ESTE CASO NO LO ESTUDIAREMOS] (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de / 42
18 Funciones racionales I Caso. q(x) sólo tiene raíces reales simples Si q(x) = (x α )(x α 2 ) (x α n ), tenemos que p(x) q(x) = A + A A n, x α x α 2 x α n donde A,A 2,...,A n son constantes a determinar. En tal caso, obtenemos que [ p(x) q(x) = A + A A ] n dx x α x α 2 x α n = A dx + A 2 x α dx + + A n x α 2 x α n dx = A log x α + A 2 log x α A n log x α n + C, con C R. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de / 42
19 Funciones racionales I Caso. q(x) sólo tiene raíces reales simples (Ejemplo) Ejemplo 8. Calcular I = Como deducimos que 3x 3 5x 2 4x + 4 x 4 x 3 4x 2 + 4x dx. 3x 3 5x 2 4x + 4 x 4 x 3 4x 2 + 4x = 3 x x + 4 x 5 x 2, I = 3log x log x + 4log x 5log x 2 + C, con C R. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de / 42
20 Funciones racionales I Caso 2. q(x) tiene raíces reales múltiples I Si, por ejemplo, α es una raíz de q(x) con multiplicidad k. Es decir, q(x) = (x α ) k (x α 2 ) (x α n ), tenemos que p(x) q(x) = A, + A,2 x α (x α ) A,k (x α ) }{{ k } corresponden al factor (x α ) k + A 2 x α donde A,,A,2,...,A,k,A 2,...,A n son constantes a determinar. A n x α n, (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de / 42
21 Funciones racionales I Caso 2. q(x) tiene raíces reales múltiples II En tal caso, obtenemos que p(x) q(x) = A, dx + A,2 x α (x α ) 2 dx + + A,k (x α ) k dx+ + A 2 dx + + A n x α 2 x α n dx = A, log x α A,2 A,k x α (k )(x α ) k + + A 2 log x α A n log x α n + C, con C R. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de / 42
22 Funciones racionales I Caso 2. q(x) tiene raíces reales múltiples (Ejemplo) Ejemplo 9. Calcular I = 8x 2 20x + 3 x 3 4x 2 + 5x 2 dx. Como deducimos que 8x 2 20x + 3 x 3 4x 2 + 5x 2 = 3 x (x ) x 2, I = 3log x + + 5log x 2 + C, con C R. x (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de / 42
23 Funciones racionales I Caso 3. q(x) tiene raíces complejas (no reales) simples. I Al hacer la factorización de q(x) nos sale un factor irreducible del tipo ax 2 + bx + c, con b 2 4ac < 0. En este caso en la descomposición de p(x) q(x) en fracciones simples, le corresponde el sumando Mx + N ax 2 + bx + c donde M,N son constantes a determinar. Así pues, tendremos que hallar (entre otras) la integral Mx + N ax 2 + bx + c dx, la cual se reduce a una tipo logarítmica y otra tipo arcotangente. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de / 42
24 Funciones racionales I Caso 3. q(x) tiene raíces complejas (no reales) simples. II Ejemplo 0. Calcular I = x x 2 + 2x + 7 dx. I = 2 2x x 2 + 2x + 7 dx I = 2 2x + 2 x 2 + 2x + 7 dx I = 2 log x 2 + 2x + 7 x 2 + 2x + 7 dx Buscamos la derivada del denominador Separamos integrales (Logaritmo+Arcotangente) (x + ) dx La o integral inmediata y la 2 o completamos cuadrados I = 2 log x 2 + 2x + 7 ( ) 4 arctan x+ 4 + C Es una integral tipo arcotangente con C R. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de / 42
25 Ejemplos Métodos de integración Funciones racionales I x 2 x 2 + dx 7 x x 2 3x 4 dx 2 x 2 5x + 4 dx x + 8 x 3 + x 2 + x + dx x 3 3x 2 + x 2 dx 4 x 2 4 dx x(x + )(x 2 4) dx 3x 5 x 3 x 2 x + dx 9 0 x 3 + x dx 5x 3 + 2x 2 + 3x + x 4 x 2 + 2x + 2 dx 5x 3 9x 2 + 4x 0 4x 4 4x 3 + 0x 2 dx (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de / 42
26 Tipo R(sen x, cos x) Métodos de integración Funciones racionales tipo II Sea R una función racional en sus argumentos. Si R es impar en seno, hacemos el cambio t = cosx. Si R es impar en coseno, hacemos el cambio t = senx. Si R es par en seno y coseno, hacemos el cambio t = tanx. Si no se da ninguno de los casos anteriores, hacemos t = tan( x 2 ). (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de / 42
27 Funciones racionales tipo II Tipo R(senx,cosx), con impar en seno Que R(senx,cosx) sea impar en seno significa que R( senx,cosx) = R(senx,cosx). En este caso hacemos el cambio t = cosx x = arccos(t) observando que dx = t 2 dt. Ejemplo. Calcular I = sen 3 x cos 4 xdx. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de / 42
28 Funciones racionales tipo II Tipo R(senx,cosx), con impar en seno (Ejemplos) Ejemplo 2. Calcular las siguientes integrales senx dx. 4 tanx cosx + 5 dx. 2 senx(cos 2 x + 5cosx) (sen 2 x )(cosx + ) dx. 5 senx cos 2 x + 2sen 2 x dx sen 2 x senx(2 cosx) dx. 6 cos 4 x sen 7 xdx. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de / 42
29 Funciones racionales tipo II Tipo R(senx,cosx), con impar en coseno Que R(senx,cosx) sea impar en coseno significa que R(senx, cosx) = R(senx,cosx). En este caso hacemos el cambio t = senx x = arcsen(t) observando que dx = t 2 dt. Ejemplo 3. Calcular I = sen 4 x cos 7 xdx. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de / 42
30 Funciones racionales tipo II Tipo R(senx,cosx), con impar en coseno (Ejemplos) Ejemplo 4. Calcular las siguientes integrales 2 3 cosx dx. cosx 2sen 2 x dx. 4 cos 2 x cosx( + senx) dx cos 3 (2 senx)(senx ) 2 dx. sen 2 x cosx 2sen 2 x + cos 2 x 5 dx. cos 3 x sen 0 xdx. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de / 42
31 Funciones racionales tipo II Tipo R(senx,cosx), con par en seno y coseno Que R(senx,cosx) sea par en seno y coseno significa que R( senx, cosx) = R(senx,cosx). En este caso hacemos el cambio t = tanx observando que dt = cos 2 x dx = ( + tan2 x)dx. Ejemplo 5. Calcular I = 9 sen 2 x dx. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de / 42
32 Funciones racionales tipo II Tipo R(senx,cosx), con par en seno y coseno (Ejemplos) Ejemplo 6. Calcular las siguientes integrales tanx senx cosx dx. senx cosx sen 4 x + cos 4 x dx. sen 4 x + cos 4 x dx sen 2 x + cos 2 x dx. cos 2 x 4sen 2 x + cos 2 x dx. (senx + cosx) 2 dx. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de / 42
33 Funciones racionales tipo II Tipo R(senx,cosx) y el C.V. t = tan ( ) x 2 Siempre se puede hacer el cambio t = tan ( x 2), que nos dará una integral racional en t. En este caso: dx = 2 2t dt senx = + t2 + t 2 cosx = t2 + t 2 tanx = 2t t 2. Las tres últimas fórmulas se recuerdan fácilmente con el triángulo de la figura, considerando que el seno de un ángulo de un triángulo rectángulo es igual al cateto t 2 2 t puesto partido por la hipotenusa, el coseno es igual al cateto adyacente/contiguo por la hipotenusa, y la tangente es igual al cateto opuesto partido por el cateto adyacente. x t 2 (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de / 42
34 Funciones racionales tipo II Tipo R(senx,cosx) y el C.V. t = tan ( x 2 ) [Ejemplos] Ejemplo cosx + senx dx senx dx. cosx dx cosx dx cosx + cosx dx. senx dx. cosx dx. 4senx + 3cosx dx. 5 senx + senx dx. 0 + senx + cosx dx. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de / 42
35 [ ) m Tipo R x,( ax+b n cx+d, Métodos de integración ) p q ( ax+b cx+d Funciones racionales tipo III ], con m,n,p,q Z, n,q 0. Hacemos el cambio de variable t α = ax + b cx + d donde α = m.c.m.(n,q). Ejemplo 8. Calcular I = x+3 + x+2 x+3 x+2 dx. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de / 42
36 [ ) m Tipo R x,( ax+b n cx+d, Métodos de integración ) p q ( ax+b cx+d Funciones racionales tipo III ], con m,n,p,q Z, n,q 0. [Ejemplos] Ejemplo 9. Calcular las siguientes integrales 2 x 2 x + x dx. x x 5 6 x 5 ( + 3 x ) dx. 4 5 x + 3 x + x x + dx. (x + 3) 6 (x 2) dx x + x dx x x ( x) 2 dx. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de / 42
37 ( ) Tipo R x, a 2 b 2 x 2 Métodos de integración Funciones racionales tipo IV Para resolver ( ) R x, a 2 b 2 x 2 dx hacemos el cambio de variable bx = a cost, o el otro cambio de variable bx = a sent. Ejemplo 20. Calcular I = x x 2 dx. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de / 42
38 ( ) Tipo R x, a 2 b 2 x 2 Métodos de integración Funciones racionales tipo IV [Ejemplos] Ejemplo 2. Calcular las siguientes integrales 25 9x 2 dx. 4 9 (x 2) 2 dx. 2 3 x 2 9 4x 2 dx. ( x 2 ) 3 dx x 2 dx. x 3 (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de / 42
39 ( ) Tipo R x, a 2 + b 2 x 2 Métodos de integración Funciones racionales tipo IV Para resolver ( ) R x, a 2 + b 2 x 2 dx hacemos el cambio de variable bx = a tant. Recordar que sen 2 α + cos 2 α = y + tan 2 x = cos 2 x. Ejemplo 22. Calcular I = x x 2 dx. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de / 42
40 ( ) Tipo R x, a 2 + b 2 x 2 Métodos de integración Funciones racionales tipo IV [Ejemplos] Ejemplo 23. Calcular las siguientes integrales x 2 dx (x 2) 2 dx. 2 3 x x 2 dx. ( + x 2 ) 3 dx x 2 dx. x 3 (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de / 42
41 ( ) Tipo R x, a 2 + b 2 x 2 Para resolver Métodos de integración Funciones racionales tipo IV ( ) R x, a 2 + b 2 x 2 dx hacemos el cambio de variable bx = a sect. Entonces, dx = a sect tant dt. b Recordar que Ejemplo 24. Calcular I = secα = cosα x x 2 dx. y + tan 2 α = sec 2 α. (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de / 42
42 ( ) Tipo R x, a 2 + b 2 x 2 Métodos de integración Funciones racionales tipo IV [Ejemplos] Ejemplo 25. Calcular las siguientes integrales x 2 dx (x 2) 2 dx. 2 3 x x 2 dx. ( + x 2 ) 3 dx x 2 dx. x 3 (Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de / 42
1. Algunas primitivas inmediatas (o casi inmediatas).
Cálculo I. o Matemáticas. Curso 00/0. Cálculo de Primitivas. Algunas primitivas inmediatas (o casi inmediatas). (5x 6) = 5 (5x 6) 5 = 5 (5x 6) + C. Nota: Si f(x) = 5x 6 su derivada es 5. En la primera
Más detallesHerramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas
ir Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas, Grupo de Innovación Didáctica Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura ir ir Índice. Definiciones y propiedades Método de por
Más detallesContenidos de los preliminares
Preliminares del tema Contenidos de los preliminares Propiedades de los logaritmos Un par de primitivas elementales Algunas ideas sobre la función arcotangente Funciones hiperbólicas Descomposición en
Más detalles1. CÁLCULO DE PRIMITIVAS
1 1. CÁLCULO DE PRIMITIVAS Definición 1.1. Primitiva. Una función F (x) es primitiva de f(x) si F (x) = f(x) para todo x del dominio de f. Obsérvese que si F (x) es primitiva de f(x), entonces F (x) +
Más detallesUnidad Temática Cálculo de primitivas
Unidad Temática 5 5.1 Análisis Matemático (Ingeniería Informática) Departamento de Matemática Aplicada Facultad de Informática Universidad Politécnica de Valencia Contenidos 1 Integración Primitiva Integración
Más detallesFunciones de Una Variable Real II: Cálculo de Primitivas
Universidad de Murcia Departamento Matemáticas Funciones de Una Variable Real II: Cálculo de Primitivas B. Cascales, J. M. Mira y L. Oncina Universidad de Murcia http://webs.um.es/beca Grado en Matemáticas
Más detallesFunciones racionales. Tema 5: Integración. Integrales reducibles a racionales. Primera reducción. Primeros ejemplos. Definición
Funciones racionales Funciones racionales Tema 5: Integración. Integrales racionales y reducibles a racionales Análisis Matemático Grado en Física Definición Una función f se dice que es racional si f
Más detallesB. Cálculo de primitivas.
50CAPÍTULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE PRIMITIVAS y y f(x) x y y F (x) x F (x) 8 >< >: x si x [0, ] x + six (, ] x si x (, ] Figura 5.5: B. Cálculo de primitivas. 5.. Integración inmediata. Definición
Más detallesAntiderivada o Primitiva
Octubre 2013 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Definición de Antiderivada En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Definición de Antiderivada Ejemplos En esta Presentación...
Más detallesANÁLISIS MATEMÁTICO IES A SANGRIÑA 2016/2017
ANÁLISIS MATEMÁTICO 4. INTEGRACIÓN INDEFINIDA UN POCO DE HISTORIA El símbolo de integración fue introducido por el matemático alemán Gottfried Leibniz en 1675, basándose en la palabra latina summa, suma,
Más detallesIntegrales indenidas
Integrales indenidas Adriana G. Duarte 7 de agosto de 04 Resumen Antiderivación. Integrales indenidas, propiedades. Técnicas de integración: inmediatas,por sustitución, por partes. Ejemplos y ejercicios.
Más detallesUniversidad de Chile Integración por partes. Ingeniería Matemática SEMANA 6: PRIMITIVAS
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Diferencial e Integral 08- Ingeniería Matemática SEMANA 6: PRIMITIVAS 3.3. Integración por partes Proposición 3. (Fórmula de integración
Más detallesINTEGRACIÓN POR PARTES Y POR DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES
INTEGRACIÓN POR PARTES Y POR DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES INTEGRACIÓN POR PARTES Este método permite resolver un gran número de integrales no inmediatas. 1. Sean u y v dos funciones dependientes
Más detallesCálculo de Primitivas
. Primitivas de una función Sea I un intervalo y f : I IR. Se dice que f tiene tiene una primitiva en I si existe una función G : I IR, continua en I, derivable en el interior de I y verificando que G
Más detalles1. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN 2. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA 3. INTEGRALES INMEDIATAS Ejemplos de integrales inmediatas tipo potencia
Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. INTEGRALES INMEDIATAS.. Ejemplos de integrales inmediatas tipo potencia.. Ejemplos de integrales inmediatas
Más detallesintegración de funciones racionales
VIII 1 / 6 Ejercicios sugeridos para : los temas de las clases del 26 de febrero y 2 de marzo de 2004. Tema : Integración de funciones racionales. 1.- Diga, justificando, cuales de las siguientes fórmulas
Más detallesMétodo de integración por fracciones parciales
Método de integración por fracciones parciales Temas Fracciones parciales. Método de integración por fracciones parciales. Capacidades Descomponer una fracción en suma de fracciones parciales. Conocer
Más detalles1 Repaso. Cálculo I. 1 o Matemáticas. Curso 2002/2003. Cálculo de Primitivas. (5x 6) f(x) 1 2 f (x) dx, que es inmediata: + 1 x 1
Cálculo I. o Matemáticas. Curso /. Cálculo de Primitivas Repaso (5 6) d = 5 (5 6) 5 d = 5 (5 6) + C. Nota: Si f() = 5 6 su derivada es 5. En la primera igualdad multiplicamos y dividimos por 5. Así tenemos
Más detalles2. La fórmula de la derivada de un producto de dos funciones, aplicada a f(x) g(x), permite escribir,
INTRO. MÉTODOS DE INTEGR. ( II ) En este tema se continúa con los métodos de integración iniciados en el capítulo anterior, en el que a partir del concepto de primitiva y de las derivadas de las funciones
Más detallesCAPITULO 5. Integral Indefinida. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática
CAPITULO 5 Integral Indefinida 1 Licda. Elsie Hernández Saborío Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Revista digital Matemática, educación e internet (www.cidse.itcr.ac.cr) Créditos
Más detallesMÉTODOS DE INTEGRACION
MÉTODOS DE INTEGRACION En este tema se continúa con los métodos de integración iniciados en el capítulo anterior, en el que a partir del concepto de primitiva y de las derivadas de las funciones elementales
Más detalles1.1. Primitivas inmediatas
1.1. Primitivas inmediatas Sólo sabiendo derivar podemos conocer la primitiva de una amplia variedad de funciones, el conocimiento de dichas primitivas (elementales) junto con algunas técnicas serán suficientes
Más detallesCapítulo 5: Cálculo integral
Capítulo 5: Cálculo integral 1. Lección 18. La integral indefinida 1.1. Concepto de integral indefinida En el capítulo 3 hemos visto la diferencial de una función: dada y = f(x), su diferencial es una
Más detallesINTEGRALES INDEFINIDAS
INTEGRALES INDEFINIDAS Índice: 1. Primitiva de una función--------------------------------------------------------------------------- 2 2. Interpretación geométrica. Propiedades de la integral indefinida--------------------------
Más detalles5. Métodos de integración y aplicaciones de la integral denida 5.5 Fracciones parciales. Métodos de Integración. Integración por fracciones parciales
Métodos de Integración Integración por fracciones parciales P x) Consideremos la función racional donde P, Q son polinomios. Si derivamos una función racional Qx) obtenemos una funciòn racional. Si integramos
Más detalles- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura. Cálculo II
- Fernando Sánchez - - 3 Cálculo Cálculo II de primitivas 04 03 06 Si f es una función elemental, se trata de encontrar una función F que cumpla F (x = f (x. Para una clase amplia de funciones ya se ha
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesALGEBRA I, ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA , Segundo Semestre CAPITULO 6: POLINOMIOS.
ALGEBRA I, ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA 520135, 522115 Segundo Semestre CAPITULO 6: POLINOMIOS. DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1 Definición: Polinomio Sea K
Más detallesCálculo integral de funciones de una variable: integral indefinida
Cálculo integral de funciones de una variable: integral indefinida BENITO J. GONZÁLEZ RODRÍGUEZ (bjglez@ull.es) DOMINGO HERNÁNDEZ ABREU (dhabreu@ull.es) MATEO M. JIMÉNEZ PAIZ (mjimenez@ull.es) M. ISABEL
Más detallesTRIGONOMETRÍA. Para el estudio de dichas relaciones entre lados y ángulos se utilizan triángulos rectángulos como el siguiente.
TRIGONOMETRÍA La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Etimológicamente la palabra trigonometría proviene del griego Tri
Más detalles16) x 2) ( 7) exp(2t) 8) 2. 11) y 5 +y. 12) sen (log(x)) 17) Ch 2 xdx 18) x x 3dx
1.7. Demostrar la fórmula del binomio de Newton: n ( ) n (a + b) n = a j b n j j siendo n un número natural mayor o igual que 1. 1.8. Sea P [x] el conjunto de los polinomios de grado menor o igual a dos
Más detalles- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura. Cálculo II
- Fernando Sánchez - - 3 Cálculo Cálculo II de primitivas 0 03 07 Si f es una función elemental, se trata de encontrar una función F que cumpla F (x) = f (x). Para una clase amplia de funciones ya se ha
Más detallesFundamentos matemáticos. Tema 8 Ecuaciones diferenciales
Grado en Ingeniería agrícola y del medio rural Tema 8 José Barrios García Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna jbarrios@ull.es 2016 Licencia Creative Commons 4.0 Internacional J.
Más detallesTEMA 12.- CÁLCULO DE PRIMITIVAS
TEMA.- CÁLCULO DE PRIMITIVAS.-.- PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN Definición de Función Primitiva Una función F() se dice que es primitiva de otra función f() cuando F'() f() Ejemplos: F() es primitiva de f()
Más detallesDefinición. Se denomina primitiva de la función f(x) en un intervalo (a, b) a toda función F (x) diferenciable en (a, b) y tal que F (x) = f(x).
Tema 5 Integración 5.1 Integral Indefinida Definición. Se denomina primitiva de la función f(x) en un intervalo (a, b) a toda función F (x) diferenciable en (a, b) y tal que F (x) = f(x). Ejemplos: La
Más detallesRepaso de integración
TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Repaso de integración. Tabla de integrales inmediatas n d = n+ + C, si n n + f() n f () d = f()n+ n + + C, si n d = ln + C f() f () d = ln f() + C e d = e + C e f() f ()
Más detallesIntegración por fracciones parciales
Integración por fracciones parciales El cociente de dos polinomios se denomina función racional. La derivación de una función racional conduce a una nueva función racional que puede obtenerse por la regla
Más detallesCálculo de primitivas.
Cálculo de primitivas. Isabel María Elena Fernández y Celia Rodríguez Alfama * 8 de septiembre de 005 Resumen Vamos a intentar mostrar una introducción al cálculo integral, que es el tema que nos ha quedado
Más detallesGuía de Ejercicios: Métodos de Integración
Guía de Ejercicios: Métodos de Integración Área Matemática Resultados de aprendizaje Resolver integrales usando diferentes métodos de integración Contenidos 1. Método de sustitución simple 2. Método de
Más detallesTEMA 5: INTEGRAL INDEFINIDA.
TEMA : INTEGRAL INDEFINIDA.. Primitivas: propiedades. Integral indefinida.. Integración por partes.. Integración de funciones racionales (denominador con raíces reales simples y múltiples, denominador
Más detallesIntegrales racionales
hapter Integrales racionales Son del tipo dx donde P(x) y Q(x) son dos polinomios en x Q(x) asos: ) Si grado Q(x). Efectuamos la división entre ambos polinomios y: Q(x) dx = (x)dx + R(x) Q(x) dx siendo
Más detallesUniversidad de Antioquia - Depto. de Matematicas
Índice Álgebra y Trigonometría (CNM-108) Clase 6 Trigonometría analítica Departamento de Matemáticas http://ciencias.udea.edu.co/ Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft
Más detallesIntegral. F es primitiva de f F (x) = f(x)
o Bachillerato, Matemáticas II. Integración. Integrales indefinidas. Métodos de integración. Primitiva de una función. Integral indefinida. Sean f y F dos funciones reales definidas en un mismo dominio.
Más detallesBACHILLERATO FÍSICA A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA. Dpto. de Física y Química. R. Artacho
BACHILLERATO FÍSICA A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA R. Artacho Dpto. de Física y Química ÍNDICE 1. Áreas y volúmenes de figuras geométricas. Funciones trigonométricas 3. Productos de vectores
Más detallesLa integral indefinida
Apuntes Matemáticas º de bachillerato Leibniz Tema 7 La integral indefinida Matemáticas º de bachillerato 7. Introducción Def.: Dadas dos funciones, F() y f(), si se verifica que: F () f(), para un cierto
Más detallesESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS 5. INTEGRALES DE FUNCIONES 5. 1 Definición de integral definida
Más detallesUnidad 1 Integrales Indefinidas 1.1 Diferenciales Aproximaciones Anti derivada
Unidad 1 Integrales Indefinidas 1.1 Diferenciales 1.1.1 Aproximaciones 1.1. Anti derivada 1. Integración 1..1 Formulas 1.. Integrales Inmediatas 1..3 Cambio de variable 1.3 Métodos de integración 1.3.1
Más detallesTécnicas de Integración
Técnicas de Integración Índice Capítulo único: Técnicas de Integración. Integración Directa....................................... Integración por Sustitución.................................. Integración
Más detallesS2: Polinomios complejos
S: Polinomios complejos Un polinomio complejo de grado n es un polinomio de la forma: p x = a 0 + a 1 x + a x + + a n x n Donde los a i C se llaman coeficientes y a n 0. Observa que como R C los coeficientes
Más detallesFamiliarizarse con las propiedades y las principales técnicas de integración.
Capítulo 7 Integración Objetivos Familiarizarse con las propiedades y las principales técnicas de integración. 7.1. Definición y propiedades Sea f(x) una función real. Una primitiva o integral indefinida
Más detallesINTEGRACIÓN INDEFINIDA
1. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN Definición: Sean F(x) y f(x) dos funciones reales definidas en un mismo dominio D. Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva de f(x) si se cumple quef'(x) = f(x), x. Dicho
Más detallesFUNCIONES ELEMENTALES.
Departamento de Análisis Matemático FUNCIONES ELEMENTALES.. Polinomios p : R R : p(x) = a n x n + +a x+a 0, x R, donde a 0,a,...,a n son constantes reales. Propiedades de los polinomios: a) p es continuo
Más detallesAntiderivada o Primitiva
Antiderivada o Promitiva agosto 2012 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Definición de Antiderivada. En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Definición de Antiderivada.
Más detallesUnidad II. Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en unaconstante.
Unidad II Integral indefinida y métodos de integración. 2.1 Definición de integral indefinida. Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones
Más detallesCURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES. Unidad didáctica 8. Introducción a la integración INTEGRAL INDEFINIDA
INTEGRAL INDEFINIDA CONCEPTOS BÁSICOS: PRIMITIVA E INTEGRAL INDEFINIDA El cálculo de integrales indefinidas de una función es un proceso inverso del cálculo de derivadas ya que se trata de encontrar una
Más detallesMétodos de integración
Teóricas de Análisis Matemático (8) - Práctica 9 - Métodos de integración Práctica 9 - Parte Métodos de integración Esta parte de la materia está dedicada a estudiar distintos métodos que nos resultarán
Más detallesx ln x dx Solución: Resolvemos la integral por partes. Si hacemos u = ln x y dv = xdx, entonces u =ln x du = 1 x dx x 2 dx = 1 2 x2 ln x x2
Tema 5 Integración Indefinida Ejercicios resueltos Ejercicio Calcular la integral x ln x dx Solución: Resolvemos la integral por partes. Si hacemos u = ln x y dv = xdx, entonces u =ln x du = x dx dv =
Más detallesApuntes de Funciones
Apuntes de Funciones El concepto de función es un elemento fundamental dentro del análisis matemático, así como en sus aplicaciones. Esta idea se introdujo con el objetivo de matematizar la transformación
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Modelo 5 del Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A. Ejercicio 1 de la opción A del modelo 5 de 1999.
IES Fco Ayala de Granada Modelo 5 del 999. Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio de la opción A del modelo 5 de 999. [ 5 puntos] Haciendo el cambio de variable t = e x, calcula Calculamos primero
Más detallesTALLER DE MATEMÁTICAS 1 ECUACIONES POLINÓMICAS
TALLER DE MATEMÁTICAS 1 ECUACIONES POLINÓMICAS NOTAS Toda expresión algebraica del tipo a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 es un polinomio de grado n, si a n 0. Es bien conocida la fórmula que da las
Más detallesPráctico Preparación del Examen
Cálculo Diferencial e Integral (Áreas Tecnológicas) Segundo Semestre 4 Universidad de la República Práctico Preparación del Examen Límites, funciones y continuidad Ejercicio Sea log(+x ) f(x) =, si x
Más detallesx y = x x y = x
FUNCIONES ELEMENTALES: Indice: Algebraicas Polinómicas Racionales Irracionales Trascendentes Exponencial Logarítmica Trigonométrica Trigonométricas recíprocas Algebraicas Funciones polinómicas: X f(x)=
Más detallesTRABAJO PRÁCTICO Nº 4: POLINOMIOS
TRABAJO PRÁCTICO Nº : POLINOMIOS EJERCICIOS A DESARROLLAR Clase ) Dados los polinomios reales P(x) =.x ; Q(x) = 3x3 x + y los polinomios complejos R(x) = i.x ; S(x) = x + ( + i).x i, calcular: a) 3x. P(x)
Más detallesCoordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 7: Lunes 22 - Viernes 27 de Abril. Contenidos
Coordinación de Matemática I (MAT01) 1 er Semestre de 013 Semana 7: Lunes - Viernes 7 de Abril Cálculo Contenidos Clase 1: Álgebra de límites. Teorema del Sandwich. Cálculo de límites. Límites trigonométricos.
Más detallesUn resumen de la asignatura. Junio, 2015
Un resumen de la asignatura Departamento de Matemática Aplicada a las Tecnologías de la Información y las Comunicaciones ETSIT (UPM) Junio, 2015 1 Los Números Reales(R) Los números Irracionales Continuidad
Más detallesCONCEPTOS QUE DEBES DOMINAR
INTERVALOS CONCEPTOS QUE DEBES DOMINAR Un intervalo es un conjunto infinito de números reales comprendidos entre dos extremos, que pueden estar incluidos en él o no. 1. Intervalo abierto (a, b): Comprende
Más detallesDERIVADAS. Problemas con Solución.
DERIVADAS. Problemas con Solución. Aplica la definición de derivada como un límite, para calcular f siendo fx = x + x +. 4. Sea la función fx = x/x, halla la derivada de f en el punto de abcisa usando
Más detallesProblemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás
Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás de mayo de 13 Capítulo 6 Año 5 6.1. Modelo 5 - Opción A Problema 6.1.1 ( puntos) Justificar razonadamente
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2008 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 8 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio,
Más detallesTema 6: Ecuaciones diferenciales lineales.
Tema 6: Ecuaciones diferenciales lineales Una ecuación diferencial lineal de orden n es una ecuación que se puede escribir de la siguiente forma: a n (x)y (n) (x) + a n 1 (x)y (n 1) (x) + + a 0 (x)y(x)
Más detallesCURSO CERO DE MATEMATICAS. Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galván. y José Manuel Rodríguez García
INGENIEROS INDUSTRIALES Y DE TELECOMUNICACIONES CURSO CERO DE MATEMATICAS Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galván y José Manuel Rodríguez García UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Escuela Politécnica
Más detallesCÁLCULO INTEGRAL UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO. Facultad de Ciencias. José Guadalupe Anaya Ortega. Integración en Términos Elementales
CÁLCULO INTEGRAL UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO Facultad de Ciencias José Guadalupe Anaya Ortega Proposito General Proposito General de la Unidad de Aprendizaje Manejar los conceptos fundamentales
Más detallesFactorización. 1) Al factorizar 6x 2 x 2 uno de los factores es. A) 2x + 2. B) 3x + 2. C) 2x 2. D) 3x 2
www.matematicagauss.com Factorización 1) Al factorizar 6x x uno de los factores es A) x + B) x + x x ) Al factorizar a b 4 + 4b uno de los factores es A) 1 + b B) a b a b + a b ) En la factorización completa
Más detallesMatemáticas Empresariales I. Funciones y concepto de ĺımite
Matemáticas Empresariales I Lección 3 Funciones y concepto de ĺımite Manuel León Navarro Colegio Universitario Cardenal Cisneros M. León Matemáticas Empresariales I 1 / 22 Concepto de función Función de
Más detallesUNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
Opción A Ejercicio 1.- Sea f : R R definida por f(x) = x 3 +ax 2 +bx+c. a) [1 75 puntos] Halla a,b y c para que la gráfica de f tenga un punto de inflexión de abscisa x = 1 2 y que la recta tangente en
Más detallesCálculo:Notas de preliminares
Cálculo:Notas de preliminares Antonio Garvín Curso 04/05 1 Recordando cosas Recordaremos los conjuntos con los que vamos a trabajar, en especial R y R n. A fin de cuentas el cálculo trata basicamente de
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesgr(p(x)) = n = deg(p(x)), cuando a n 0. El conjunto de todos los polinomios con coeficiente en K lo denotamos por K[x]
Capítulo 5 Polinomios Definición 22 Sea K igual a Z,Q,R,C, un polinomio en la variable x con coeficientes en K es una expresión de la forma p(x) = a n x n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0, donde a i con i desde
Más detallesCapítulo 2: Funciones, límites y continuidad
Capítulo : Funciones, ites y continuidad 1. Lección 6. Funciones racionales 1.1. Funciones polinómicas Las funciones polinómicas son las de la forma y = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 siendo los
Más detallesDERIVACIÓN DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES
DERIVACIÓN DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES 2 El procedimiento mediante el cuál se obtiene la derivada de una función se conoce como derivación. Llamaremos funciones elementales a las funciones polinómicas,
Más detalles1. Para la función f(x) = x sen x, halle su polinomio de Taylor de orden 2 en a = 0. x x3 3!, x x3
Cálculo I (Grado en Ingeniería Informática) Problemas resueltos, - y -4 (tercera parte) Preparado por los profesores de la asignatura: Pablo Fernández, Dragan Vukotić (coordinadores), Luis Guijarro, Kazaros
Más detallesApellidos: Nombre: para x 1, determina sus asíntotas. 4. Halla el valor de los parámetros m y n para que la función f sea continua en todo.
EXAMEN DE MATEMÁTICAS CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: C Día: 3- II- 6 CURSO 05-6. Halla el dominio de definición y recorrido de las funciones a) f(x)= 9 b) g(x)= 4. Calcula
Más detallesPRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA ALUMNOS DE BACHILLERATO LOE Septiembre 2013 MATEMÁTICAS II. CÓDIGO 158
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA ALUMNOS DE BACHILLERATO LOE Septiembre 2013 MATEMÁTICAS II. CÓDIGO 158 OBSERVACIONES IMPORTANTES: El alumno deberá responder a todas las cuestiones de una de las
Más detallesREPASO DE FUNCIONES FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
REPASO DE FUNCIONES FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL CORRESPONDENCIA. Se llama CORRESPONDENCIA entre dos conjuntos A y B a toda ley que asocia elementos del conjunto A con elementos del conjunto B. Se
Más detallesSoluciones de los ejercicios del examen de Cálculo del 29 de junio de 2007 Primero de Ingeniería de Telecomunicación
Soluciones de los ejercicios del examen de del 29 de junio de 27 Primero de Ingeniería de Telecomunicación Ejercicio a Justifica que la ecuación x 2 = x sen x+ cos x tiene exactamente dos soluciones reales.
Más detallesFigura 1. Círculo unidad. Definición. 1. Llamamos número π (pi) al valor de la integral
ANÁLISIS MATEMÁTICO BÁSICO. LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. La función f(x) = 1 x 2 es continua en el intervalo [ 1, 1]. Su gráfica como vimos es la semicircunferencia de radio uno centro el origen de coordenadas.
Más detallesDefinición 1.1 Se llama función (real de variable real) a toda correspondencia (o regla), f, que a cada número x le asigna un único valor f(x).
Tema Funciones de una variable... Concepto de función. Definición. Se llama función (real de variable real) a toda correspondencia (o regla), f, que a cada número x le asigna un único valor f(x). La regla
Más detallesALGEBRA y ALGEBRA LINEAL. Primer Semestre CAPITULO 6. POLINOMIOS DE UNA VARIABLE.
ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL 520142 Primer Semestre CAPITULO 6. POLINOMIOS DE UNA VARIABLE. DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1 Definición: Polinomio Sea K (Q,
Más detallesMATEMÁTICAS II - EXAMEN SEGUNDO PARCIAL - 17/01/2013
MATEMÁTICAS II - EXAMEN SEGUNDO PARCIAL - 7// Código: Grado: Ing. Electrónica Rob. y Mec. Ing. Energía Ing. Organización Ind. Nombre y Apellidos: Ejercicio. Considera la región R del primer cuadrante que
Más detallesMatemáticas II. Segundo de Bachillerato. Curso Exámenes
Matemáticas II. Segundo de Bachillerato. Curso 0-03. Exámenes LÍMITES Y CONTINUIDAD o F. Límites y continuidad o F Ejercicio. Calcular el dominio de definición de las siguientes funciones: f(x) = 4 x h(x)
Más detallesCAPÍTULO VII. INTEGRACIÓN INDEFINIDA
CAPÍTULO VII. INTEGRACIÓN INDEFINIDA SECCIONES A. Integrales inmediatas. B. Integración por sustitución. C. Integración por partes. D. Integración por fracciones simples. E. Aplicaciones de la integral
Más detallesEjercicios de Integrales resueltos
Ejercicios de Integrales resueltos. Resuelve la integral: Ln Ln Llamemos I Ln u du Aplicamos partes: dv v I Ln t t 4 t t t 4 t t 4 t 4 4 4t 4 t t t A t B t A( t) B( t) A ; B 4 t t Ln t Ln t t C Deshaciendo
Más detalles2 x
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Diferencial e Integral 08-2 Importante: Visita regularmente ttp://www.dim.ucile.cl/~calculo. Aí encontrarás las guías de ejercicios
Más detallesTRABAJO DE MATEMÁTICAS. PENDIENTES DE 3º ESO. (2ª parte)
TRABAJO DE MATEMÁTICAS PENDIENTES DE 3º ESO. (2ª parte) 1 OPERACIONES CON POLINOMIOS 1.-) Dados los polinomios: P(x) = 3x 2 + 3x - 1, Q(x) = 3x 2 + 2x + 1 y R(x) = -x 3 + 2x 2 +1. Calcular: a) P - Q R
Más detallesBloque 3. Análisis. 2. Tipos de funciones
Bloque 3. Análisis 2. Tipos de funciones 1. Función lineal Es una función polinómica de primer grado y tiene una ecuación del tipo: y = mx. Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas,
Más detallesUniversidad Simón Bolívar Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas Enero - Marzo, 2008
Universidad Simón Bolívar Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas Enero - Marzo, 8 MA- Practica: semana y/o Ejercicios sugeridos para la semana y/o. Cubre el siguiente material: Propiedades de la
Más detallesMATEMÁTICAS VI. CÁLCULO INTEGRAL UNIDAD I LA INTEGRAL INDEFINIDA
UNIDAD I LA INTEGRAL INDEFINIDA INTRODUCCIÓN El cálculo diferencial proporciona una regla para obtener la derivada de una función sencilla, con esta regla se obtienen las fórmulas para derivar todo tipo
Más detallesIntegral indefinida. Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.
Integral indefinida 1. Integración Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x). Se dice, entonces,
Más detallesTarea 1. César Hernández Aguayo
Solución: Tarea 1. César Hernández Aguayo 1. Graficar y explicar cómo surge la gráfica. f(x) = sen 1 (x). La función seno inverso, denotada por sen 1, está definida por f = sen 1 x si y sólo si x = sen
Más detalles