Integrales racionales

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1 hapter Integrales racionales Son del tipo dx donde P(x) y Q(x) son dos polinomios en x Q(x) asos: ) Si grado Q(x). Efectuamos la división entre ambos polinomios y: Q(x) dx = (x)dx + R(x) Q(x) dx siendo (x) yr(x) el cociente y resto de la división efectuada B) Si grado R(x) <Q(x) Para resolver este tipo de integrales, tendremos que utilizar el siguiente teorema de Álgebra: Si Q(x) =(x α) t (x β)(ax + bx + c)(dx + ex + f) p (con b 4ac < 0 y e 4df < 0) ygrador(x) <grado Q(x) entonces: R(x) Q(x) = (x α) t + (x α) t t (x α) + t (x α) + B (x β) + Mx+ N ax + bx + c + B x + dx + ex + f + B x + (dx + ex + f) B P x + P (dx + ex + f) P

2 HPTER. INTEGRLES RIONLES Nota: todas las integrales racionales, después de determinar los coeficientes adecuados, quedarán reducidas a la resolución de las siguientes integrales B. dx = B ln x β (x β) B (x α) t dx = B (x α) t dx = B(x α) t+ + = t + B (t )(x α) t + Mx+ N ax + bx + c dx = M a ln ax µ + bx + c + N bm µ H axb a H arctan + H Mx+ N (ax + bx + c) p dx Se resuelve por Partes (Facultad) Ejemplos Example x + x +4 dx = xdx+ 4x + I = x +4 dx = 4 I = I = ln x +4 + x x +4 dx + 4x + x x dx = +4 + I x x +4 dx + dx 4( x 4 +) x +4 dx µ x = ln x +dx +4 + arctan x + Por lo tanto Example x J J = x + x x dx = +4 ln x +4 +arctan x + x on lo que: x x +4 dx = dx = + x dx 8 x +4 dx =x dx = arctan x + x x dx =x 4arctan x + +4 x dx = +

3 ... P (X) DX SIENDO GRDO P (X) <GRDO Q(X) = Q(X) dx siendo grado <grado Q(x) = Q(x) a Situación Si Q(x) =a(x x )(x x ) ygrado. omo a(x x )(x x ) = a (x x ) + B (x x ) Determinamos los coeficientes y B, conloque: a(x x )(x x ) dx = a (x x ) dx + B dx (x x ) a(x x )(x x ) dx = a [ ln (x x )+Bln (x x )] + Exercise.. x +5 x 5x + dx omo las raíces o ceros de x 5x +son, Entonces;: la descomposición factorial de x 5x +es: ³ x 5x += x (x ) Por lo que la fracción se puede descomponer así: x +5 x 5x + = " (x ) + B (x ) Determinemos los coeficientes y B omo x +5 x 5x + = (x ) + B(x ³ ) x +5=(x ) + B(x x (x ) ) Si asignamos a x los valores, tendremos 8= B B =4 7= = De lo cual se deduce que: x +5 x 5x + dx = " (x )dx + 4 (x ) dx = 7ln x +8 ln x +

4 4 HPTER. INTEGRLES RIONLES a Situación Si Q(x) =a(x x ) ygrado <. omo a(x x ) = a (x x ) + B (x x ) Determinamos los coeficientes y B, con lo que: Exercise.. a(x x ) dx = a (x x ) dx + B dx = (x x ) a (x x ) + B ln (x x ) + 4x + 4x 4x + dx omo 4x 4x +=4(x ), entonces: 4x + 4x 4x + = " 4 (x + B ) (x ) 4x + 4x 4x + = " 4 (x + B ) (x ) 4x += + B(x ) ( 5= Si asignamos a x los valores, 0 tendremos =5 B B =4 on lo que: 4x + 4(x dx = " 5 ) 4 (x dx + 4 ) (x )dx = " 5 4 x +4ln x + a Situación Si Q(x) no tiene raíces reales Exercise.. 4x + 5 4(x dx = 4x +ln x + ) 4x +5 x +x +4 dx El polinomio x +x +4no tiene raíces reales; ya que su discriminante =

5 .. P (X) DX SIENDO GRDO P (X) <GRDO Q(X) = 5 Q(X) 4x +5 I = x +x +4 dx = 4 x + x +x +4 dx +5 x +x +4 dx I = 4 x + 4 x dx +(5 +x +4 ) x +x +4 dx I =ln x +x +4 + x +x +4 dx =ln x +x +4 + J alcúlemos ahora J J = x +x +4 dx = +( x + ) dx (x +) + dx = +( x + ) dx = J = +( x + ) dx = arctan x + + on lo que : I =ln x +x +4 + Exercise..4 x +4x + x 4x +4 dx = arctan x + dx+ + 6x x dx =x + J 4x +4 6x Para resolver J tendremos que descomponer la fracción x 4x +4 = 6x (x ) Por el teorema anterior 6x (x ) = (x ) + B = 6x = + B(x ) x Si le damos a x el valor tendremos = Si le damos a x el valor 0 tendremos = B B =6 6x x 4x+4 dx = dx +6 (x ) x dx = x +6ln x + x +4x + x dx =x +6ln x + 4x +4 x x Exercise..5 x + x dx. omox +x =(x+)(x ) entonces por el teorema anterior

6 6 HPTER. INTEGRLES RIONLES x (x +)(x ) = (x +) + B = x =(x ) + B(x +) (x ) Si le damos a x el valor tendremos 7 = = 7. Si le damos a x el valor tendremos =B B = x x +x dx = 7 x+ dx + x dx = 7 ln x + + ln x + dx siendo grado <grado Q(x) = Q(x) a Situación Si Q(x) =a(x x ) Entonces: a(x x ) = a Determinamos los coeficientes, B, y: a(x x ) dx = a (x x ) dx + a(x x ) dx = a Exercise.. (x x ) + B (x x ) + (x x ) (x x ) B x x x x +x dx. omo x x +x =(x ) entonces B (x x ) dx + (x x ) + ln x x x x (x ) = (x ) + B (x ) + x x x = + B(x ) + (x ) Si x = = Si x =0 = B + B = Si x = 5= + =; B = x x (x ) dx = = (x ) dx + (x ) dx + (x ) +ln x + x dx (x x ) + x dx =

7 .. P (X) DX SIENDO GRDO P (X) <GRDO Q(X) = 7 Q(X) a Situación Si Q(x) =a(x x ) (x x ) Entonces: a(x x ) (x x ) = a (x x ) + B (x x ) + (x x ) Determinamos los coeficientes, B, y: a(x x ) (x x ) dx = a (x x ) dx + B (x x ) dx + a(x x ) dx = a (x x ) + B ln x x + ln x x + 0 Exercise.. x 4 x 5x +8x 4 dx. omo x 5x +8x 4=(x )(x ) x 4 (x )(x ) = (x ) + B x + x x 4=(x ) + B(x )(x ) + (x ) Si x = = Si x = 8= Si x =0 4= 8+B 4 B =4 x 4 (x )(x ) dx =8 (x ) dx +4 x dx x dx x 4 8 dx == +4ln x ln x + (x )(x ) x a Situación Si Q(x) =a(x x )(x x )(x x ) ygrado. omo a(x x )(x x )(x x ) = a (x x ) + B (x x ) + (x x ) Determinamos los coeficientes y B, con lo que: dx == a(x x )(x x )(x x ) a [ ln x x + B ln x x + ln x x ]+ 0 dx (x x )

8 8 HPTER. INTEGRLES RIONLES Exercise.. x x + x +x x dx omo x +x x =(x )(x +)(x +) x x + (x )(x +)(x +) = x + B x + + x + x x +=(x +)(x +)+B(x )(x +)+(x )(x +) Si x = =6 = 6 Si x = = B B = Si x = 7= = 7 x x + (x )(x +)(x +) dx = 6 x dx x + dx+7 x x+ (x )(x+)(x+) dx= 6 ln x ln x ln x a Situación Si Q(x) =(x x ) ax + bx + c siendo = b 4ac < 0 Entonces: (x x )(ax + bx + c) = (x x ) + Mx+ N ax + bx + c Determinamos los coeficientes, B, y: x + dx = (x x )(ax + bx + c) dx = (x x ) dx + Mx+ N ax + bx + c dx = ln x x + J Donde J = M a ln ax + bx + c +(N bm µ a ) ax + b arctan + Exercise..4 x + x + x +x 4 dx omo x + x +x 4=(x )(x +x +4) x + (x )(x +x +4) = x + Mx+ N x +x +4 x +=(x +x +4)+(Mx+ N)(x )

9 .. P (X) DX SIENDO GRDO P (X) <GRDO Q(X) = 9 Q(X) Si x = 4=7 = 4 7 Si x =0 = 6 7 N N = 5 7 Si x = = 7 +( M 5 7 )( ) M = 4 7 x+ (x )(x +x+4) dx = x dx + 7 x 5 7 x +x+4 dx = 4 7 ln x 7 J 4x +5 siendo J = x +x +4 dx Resuélvela tú (integral de tipo ln + arctag ).omprueba que: Por lo que J =ln x +x +4 + arctan x + x+ (x )(x +x+4) dx = 4 7 ln x 7 Ã + ln x +x +4 + arctan x+!+ Exercise..5 x x + x dx omo x =(x )(x +x+)entonces x x + (x )(x + x +) = x + Mx+ N x + x + x x +=(x + x +)+(Mx+ N)(x ) Si x = = = Si x =0 = N N = Si x = = 7 +M M = x x+ x dx = siendo J = x dx + x x +x+ dx = ln x + J x x +x+ dx = ln x + x + arctan x+ +(ompruébalo) x x+ x dx = ln x + µ ln x + x + arctan x+ +